Lokale vs. strikte lokale Martingale erklärt

Ein adaptierter Prozess M ist ein lokales Martingal, wenn Stoppzeiten τ_n fast sicher gegen unendlich steigen und jeder gestoppte Prozess M_{t∧τ_n} ein Martingal ist

Die Stopps können Ausschläge oder Integrale begrenzen, sodass bedingte Erwartungswerte in jedem lokalisierten Bereich wohldefiniert sind

Lokalisierung ist ein Beweismittel über wachsende sichere Bereiche; sie bedeutet nicht, dass der Prozess nur über kurze Kalenderhorizonte ungefähr ein Martingal ist

Jedes echte Martingal ist lokal, weil man unter der jeweiligen Definition triviale oder begrenzende Stoppzeiten verwenden kann

Die Umkehrung erfordert Bedingungen wie gleichgradige Integrierbarkeit oder geeignete Dominierung, die den Übergang von Grenzwerten durch bedingte Erwartungswerte erlauben

Ohne diese Kontrolle kann Masse über immer seltenere, extreme Pfade entweichen, wenn sich die lokalisierenden Barrieren entfernen

Ein nichtnegatives lokales Martingal ist aufgrund von Fatou-artigen Argumenten ein Supermartingal, also gilt E[M_t] ≤ E[M_s] für s ≤ t

Es ist ein echtes Martingal, wenn der Erwartungswert unter geeigneter Integrierbarkeit erhalten bleibt; bei einem strikten lokalen Martingal besteht tatsächlich ein Erwartungsdefizit

Lokaler Drift null bedeutet daher allein nicht, dass der unbedingte Erwartungswert konstant bleibt

Stochastische Exponentialprozesse sind positive lokale Martingale und natürliche Kandidaten für Dichteprozesse bei Maßänderungen

Bedingungen wie Novikov oder Kazamaki können die Eigenschaft eines echten Martingals nachweisen, sind aber hinreichende Tests und keine austauschbaren Definitionen

Ist die Kandidatendichte strikt lokal, liegt ihr Enderwartungswert unter eins, und sie kann ohne weitere Behandlung nicht das beabsichtigte äquivalente Wahrscheinlichkeitsmaß definieren

Unter manchen Definitionen der Asset-Bewertung liegt der Marktpreis eines diskontierten nichtnegativen strikten lokalen Martingals über einem niedrigeren fundamentalen Erwartungswert

Der fehlende Erwartungswert, oft Martingaldefekt genannt, quantifiziert diese modellabhängige Differenz

Dies ist eine Aussage innerhalb eines festgelegten Maßes, einer Filtration, einer Zulässigkeitsklasse und einer Bewertungsregel und kein automatischer Beleg dafür, dass ein gehandeltes Asset empirisch falsch bewertet ist

Die übliche Put–Call-Parität und die Monotonie des Call-Preises in der Laufzeit nutzen oft die Martingaleigenschaft des diskontierten Basiswerts

Bei strikten lokalen Martingalen kann die Parität einen Defektterm enthalten, und scheinbar natürliche Call-Werte können von Sicherheiten- oder Zulässigkeitskonventionen abhängen

Leiten Sie Identitäten immer aus den Erwartungs- und Handelsannahmen des Modells ab, statt Arbitragefreiheitsformeln unverändert zu übernehmen

Prüfen Sie analytisch oder numerisch die Erhaltung des Erwartungswerts, Randverhalten, Explosion, gleichgradige Integrierbarkeit und die Gültigkeit jedes Dichteprozesses

Monte Carlo kann seltene Pfade übersehen, die für den Erwartungsverlust verantwortlich sind; ein stabiler Stichprobenmittelwert ist daher ein schwacher Beleg für die Martingaleigenschaft

Verwenden Sie PDE-Randbedingungen, Asymptotik, Striktheitskriterien, Trunkierungsstudien und Schätzungen des Martingaldefekts zusammen mit Simulationen