KPSS-Stationaritätstest: Nullhypothese, Statistik und Bandbreite

Der Kwiatkowski–Phillips–Schmidt–Shin-Test, kurz KPSS, kehrt die Nullhypothese der bekannten Dickey–Fuller-Tests um. Unter seiner Nullhypothese ist die Reihe stationär um die im Test festgelegten deterministischen Terme. Die ursprüngliche Formulierung lässt in der Alternative eine Random-Walk-Komponente mit positiver Innovationsvarianz zu.

Dieser Unterschied bestimmt, wie das Ergebnis zu lesen ist. Eine hinreichend große KPSS-Statistik ist ein Hinweis gegen die gewählte Nullhypothese der Niveau- oder Trendstationarität. Eine kleine Statistik bedeutet, dass die Stichprobe unter der gewählten Spezifikation nicht genügend Evidenz für eine Verwerfung geliefert hat. Sie beweist nicht, dass der Prozess stationär ist, sein Mittelwert dauerhaft stabil bleibt oder ein Kurs auf ein handelbares Niveau zurückkehrt.

Der Leitfaden zu Stationarität und Einheitswurzel führt in die verwandten Begriffe ein. Der Vergleich von ADF und Phillips–Perron beschreibt zwei Tests, die stattdessen eine Einheitswurzel als Nullhypothese ansetzen. Das sind ergänzende Fragen, keine austauschbaren Varianten desselben Tests.

Der KPSS-Test stellt eine beobachtete Reihe wie folgt dar:

\[ y_t = d_t + r_t + \epsilon_t,\qquad r_t=r_{t-1}+u_t. \]

Dabei bezeichnet \(d_t\) den deterministischen Teil, \(r_t\) die Random-Walk-Komponente und \(\epsilon_t\) einen stationären Fehler. Beim Test auf Niveau-Stationarität enthält \(d_t\) einen Achsenabschnitt. Beim Test auf Trendstationarität enthält er einen Achsenabschnitt und einen linearen Zeittrend.

Die Nullhypothese setzt die Innovationsvarianz des Random Walks auf null: \(\sigma_u^2=0\). Ohne diesen Random Walk schwankt die Reihe um die vorgegebene Konstante oder den deterministischen Trend. Die Alternative erlaubt \(\sigma_u^2>0\), sodass sich Schocks zu einem stochastischen Trend aufbauen können, statt um den gewählten Pfad abzuklingen.

Das ist ein aufrechterhaltenes Modell des Tests, keine Behauptung, jede Alternative müsse einem Lehrbuch-Random-Walk entsprechen. Strukturbrüche, fraktionale Persistenz, nichtlineare Dynamik, veränderliche Varianz und unpassend gewählte deterministische Terme können ebenfalls dazu führen, dass das Stationaritätsmodell schlecht zur Stichprobe passt. Der Test zeigt eine Spannung mit seinen Annahmen auf, bestimmt aber kein einziges Ersatzmodell.

Regressiere zunächst die Beobachtungen auf die gewählten deterministischen Terme und bezeichne die Residuen mit \(\hat e_t\). Ihre kumulierten Partialsummen lauten:

\[ S_t=\sum_{j=1}^{t}\hat e_j. \]

Die KPSS-Statistik wird häufig so geschrieben:

\[ \eta=\frac{1}{n^2\hat{\omega}^{\,2}}\sum_{t=1}^{n}S_t^2, \]

wobei \(n\) der Stichprobenumfang und \(\hat{\omega}^{\,2}\) eine Schätzung der Langfristvarianz der Residuen ist. Haben die Residuen längere Zeit dasselbe Vorzeichen, bewegt sich \(S_t\) von null weg. Durch das Quadrieren der Partialsummen zählen anhaltende Abweichungen stärker als einzelne Vorzeichenwechsel.

Die Statistik ist nichtnegativ. Je größer die kumulierten Abweichungen im Verhältnis zur geschätzten Langfristvarianz sind, desto schwerer lässt sich die Stationaritätsnull aufrechterhalten. Der Nenner ist wichtig: Serielle Abhängigkeit der Residuen verändert, wie stark eine Partialsumme selbst bei einem stationären Prozess schwanken sollte.

Die Niveauvariante fragt, ob die Reihe um eine Konstante stationär ist. Die Trendvariante entfernt zuerst einen Achsenabschnitt und einen linearen Zeittrend und prüft dann die Stationarität der verbleibenden Komponente. Gängige Implementierungen bezeichnen die Fälle als mu und tau; Namen und Ausgabekonventionen hängen jedoch von der Software ab.

Die Wahl verändert sowohl die Residuen als auch die Referenzverteilung. Wird bei einer trendstationären Reihe der Trend ausgelassen, kann ein langes Residuenmuster verbleiben und die Statistik erhöhen. Ein unbegründet hinzugefügter Trend ändert dagegen das getestete Modell und kann die Teststärke für manche Alternativen verringern. Entscheide anhand der Datendefinition und der ökonomischen Frage, und dokumentiere die Wahl, statt sie so lange zu ändern, bis ein gewünschtes Ergebnis erscheint.

Die kritischen Werte des KPSS-Tests folgen nichtstandardisierten asymptotischen Verteilungen, die sich für Niveau- und Trendfall unterscheiden. Vergleiche die Statistik weder mit einem gewöhnlichen t- noch mit einem Chi-Quadrat-Grenzwert und behandle keinen auswendig gelernten Schwellenwert als allgemeingültig. Verwende die passende Tabelle oder Softwareausgabe und nenne das Signifikanzniveau.

Einige Implementierungen geben nur einen p-Wert-Bereich aus, weil sie die Statistik mit einer endlichen Tabelle kritischer Werte vergleichen. Berichte dann den durch die Ausgabe gestützten Bereich, statt unbelegte Dezimalstellen zu ergänzen. Nenne auch den Niveau- oder Trendfall und die Quelle der kritischen Werte, damit andere die Entscheidung nachvollziehen können.

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Ein verbreiteter Schätzer der Langfristvarianz verwendet gewichtete Residuen-Autokovarianzen:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{\ell}w_j\hat{\gamma}_j. \]

Hier bezeichnet \(\hat{\gamma}_j=n^{-1}\sum_{t=j+1}^{n}\hat e_t\hat e_{t-j}\) die Stichprobenautokovarianz bei Verzögerung \(j\) mit Nenner \(n\); Konventionen für endliche Stichproben können je nach Implementierung abweichen.

Bei Bartlett-Gewichten gilt \(w_j=1-j/(\ell+1)\). Die Abschneidebandbreite \(\ell\) legt fest, wie viele Residuen-Autokovarianzen eingehen und wie schnell ihre Gewichte abnehmen. Implementierungen können sich bei Kern, Bandbreitenregel und Konventionen für endliche Stichproben unterscheiden. Nenne diese Einstellungen, damit das Ergebnis reproduzierbar ist.

Diese Bandbreite ist nicht die Anzahl verzögerter Differenzen, die einer ADF-Regression hinzugefügt wird. Beim KPSS-Test steuert sie die Schätzung der Langfristvarianz; bei ADF gehen augmentierende Verzögerungen direkt in die Regression ein. Software kann für beide Einstellungen das Wort „Lag“ verwenden. Eine Angabe wie „Lag 4“ ist daher keine reproduzierbare Beschreibung.

Eine zu kurze Bandbreite kann relevante kurzfristige Abhängigkeit aus der Langfristvarianzschätzung auslassen. Eine sehr lange kann verrauschte Stichproben-Autokovarianzen hinzufügen. Beides kann Statistik, Testgröße oder Teststärke verändern; die Richtung ist nicht für jedes Residuenmuster gleich. Nenne den Kern und die Auswahlregel für Verzögerungen und prüfe, ob eine vernünftige, vorab festgelegte Alternative die Interpretation ändert.

Diese Langfristvarianzkorrektur steht im Zusammenhang mit heteroskedastizitäts- und autokorrelationskonsistenter Kovarianzschätzung. Sie macht den KPSS-Test jedoch nicht robust gegen jede Abhängigkeit, jeden Strukturbruch oder eine ungeeignete deterministische Spezifikation. Der Leitfaden zu Newey–West-Kovarianzen behandelt die allgemeinere Rolle und die Grenzen von HAC-Schätzungen.

Angenommen, eine Trendregression mit sechs synthetischen Beobachtungen ergibt die Residuen \(1,-1,0,0,-1,1\). Sie summieren sich zu null und sind zu einem linearen Zeittrend orthogonal, wie Residuen einer Trendregression es sein sollten. Ihre Partialsummen lauten \(1,0,0,0,-1,0\); die Summe der quadrierten Partialsummen ist also \(2\).

Zur Veranschaulichung verwenden wir Stichproben-Autokovarianzen mit Nenner \(n\) und Bartlett-Gewichte mit Bandbreite eins. Der Varianzterm der Residuen beträgt \(\hat{\gamma}_0=4/6=2/3\). Die Autokovarianz erster Ordnung beträgt \(\hat{\gamma}_1=-2/6=-1/3\), ihr Bartlett-Gewicht ist \(1/2\). Somit gilt:

\[ \hat{\omega}^{\,2}=\frac{2}{3}+2\left(\frac{1}{2}\right)\left(-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}, \qquad \eta=\frac{2}{6^2(1/3)}=\frac{1}{6}\approx0.167. \]

Diese Rechnung mit sechs Punkten veranschaulicht nur den Rechenweg. Die Stichprobe ist viel zu klein für die übliche asymptotische KPSS-Entscheidung. Vergleiche die Statistik nicht mit einem veröffentlichten kritischen Wert, als wäre sie ein empirisches Ergebnis.

Ein KPSS-Test neben einem ADF-Test kann zeigen, wie stark eine Schlussfolgerung von der Nullhypothese abhängt. Lies das Paar als Evidenz unter zwei unterschiedlichen Modellen:

Die Tests können sich bei Verzögerungskorrekturen, deterministischen Spezifikationen, Stichproben und Approximationen für endliche Stichproben unterscheiden. Gleiche diese Entscheidungen nach Möglichkeit an und dokumentiere unvermeidbare Unterschiede. Mache aus den vier Feldern keine automatische Regel zur Datentransformation. Keine Verwerfung bedeutet nicht, dass die jeweilige Null wahr ist.

Ein einmaliger Mittelwertsprung, ein wechselnder Trend oder ein Varianzbruch kann eine innerhalb einzelner Regime stationäre Reihe in der Gesamtstichprobe nichtstationär erscheinen lassen. Umgekehrt kann es bei endlichen Daten schwer sein, eine Wurzel nahe eins von einer Einheitswurzel zu unterscheiden. Kurze Stichproben, Ausreißer, schwere Verteilungsschwänze, nichtlineare Anpassung und fraktionale Integration können die Referenzapproximation ebenfalls beeinträchtigen.

Zeichne Niveau, gewählte deterministische Anpassung und Residuen, bevor du den Test berichtest. Ist ein Bruch plausibel, nutze ein bruchrobustes Design, dessen Nullhypothese, Behandlung des Bruchs und kritische Werte angegeben sind. Wurden mehrere Bruchdaten oder Bandbreiten durchsucht, lege diese Auswahl offen. Der kleinste p-Wert aus der Suche ist kein unbeeinflusstes Testergebnis.

Bei einem vorgeschlagenen Paar oder Spread prüft KPSS nicht, ob die zwei Vermögenswerte kointegriert sind. Der Engle–Granger-Leitfaden erklärt ein residuenbasiertes Kointegrationsverfahren und dessen eigenes Problem kritischer Werte. Der Leitfaden zum Johansen-Kointegrationsrang behandelt einen Systemansatz. Ein KPSS-Ergebnis zu einer einzelnen Preisreihe ersetzt keines von beiden.

Wendest du KPSS auf Residuen aus einer geschätzten Hedge Ratio, einem ARMA-Modell oder einem gewählten Bruchdatum an, stammen diese Residuen aus einem vorherigen Anpassungsschritt. Parameterschätzung und Modellauswahl können die Nullverteilung verändern. Nimm nicht an, die gewöhnlichen kritischen Werte seien für die gesamte Pipeline gültig. Verwende einen für das angepasste Modell kalibrierten Residuentest oder einen Bootstrap, der die Schätzungsschritte wiederholt.

Gib Variable und Transformation, Beobachtungszahl, Niveau- oder Trendnull, deterministische Terme, Kern der Langfristvarianz, Bandbreitenregel, Statistik, passende kritische Werte oder p-Wert und Signifikanzniveau an. Zeige Sensitivitätsprüfungen nur, wenn die Alternativen begründet und transparent dokumentiert sind. Wähle nicht nach vielen getesteten Fenstern und Varianten das marktgängigste Ergebnis aus.

Bei Marktdaten nenne Stichprobendaten, Frequenz, Sitzungsausrichtung, Umgang mit fehlenden Werten und ob eine Preisreihe, Rendite, ein Residuum oder ein Spread getestet wurde. Eine Nichtverwerfung der KPSS-Null ist kein Hinweis, dass ein Spread bald konvergiert. Eine Mean-Reversion-Strategie braucht weiterhin ein definiertes Gleichgewicht, eine Prüfung außerhalb der Stichprobe, zeitlich live verfügbare Signale und realistische Kosten für Spread, Funding, Leihe und Ausführung.

Ein Test des logarithmierten Preisniveaus stellt eine andere Frage als ein Test der Rendite, also der ersten Differenz des Logpreises. Differenzieren kann unter manchen Modellen einen stochastischen Trend entfernen, ändert aber die untersuchte Variable und weist keine langfristige Beziehung zwischen zwei Vermögenswerten nach. Wähle die Transformation anhand des Schätzziels und des Modells und dokumentiere sie ausdrücklich.

Die Arbeit von Kwiatkowski, Phillips, Schmidt und Shin aus dem Jahr 199290104-Y) formuliert den Test als LM-Test der Nullhypothese, dass die Varianz der Random-Walk-Komponente null ist. Die Arbeit von Newey und West aus dem Jahr 1987 ist eine Primärquelle für positiv semidefinite HAC-Kovarianzschätzung. Zum Vergleich mit einer Einheitswurzel-Null siehe die Arbeit von Dickey und Fuller aus dem Jahr 1979.