Kolmogorov-Vorwärts- und Rückwärtsgleichungen erklärt
Verstehen Sie, wie Generatoren bedingte Werte rückwärts und Wahrscheinlichkeitsdichten vorwärts entwickeln, mit Verbindungen zu Fokker–Planck, Bewertung, Kalibrierung und Randbedingungen
Kurzantwort
Die Kolmogorov-Rückwärtsgleichung entwickelt eine zukünftige Auszahlung als Funktion des aktuellen Zustands. Die Vorwärtsgleichung, bei Diffusionen Fokker–Planck-Gleichung genannt, entwickelt die Verteilung zukünftiger Zustände ausgehend von einem Anfangsgesetz
Markov-Übergänge verbinden drei Zeitpunkte
Ein Markov-Prozess verwendet den Übergangsoperator P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x], um eine zukünftige Funktion auf den aktuellen Zustand abzubilden
Die Chapman-Kolmogorov-Beziehung P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} besagt, dass das Einfügen eines Zwischenzeitpunkts den Übergang nicht verändert
Vorwärts- und Rückwärtsgleichungen sind differentielle Betrachtungen derselben Halbgruppe oder derselben zweiparametrigen Evolutionsfamilie
Der Generator beschreibt infinitesimale Veränderungen
Für dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t lautet der Generator L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ mit a = σ²
Er wirkt auf Testfunktionen des Zustands und fasst deren unmittelbare bedingte Veränderung zusammen
Der Generator hängt vom Prozess, vom Zustandsraum, vom Definitionsbereich und vom Verhalten an den Rändern ab; ein formaler Differentialausdruck allein ist unvollständig
Die Rückwärtsgleichung wirkt auf den Anfangszustand
Für eine Endfunktion g sei u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] mit s ≤ t
Unter geeigneten Regularitätsbedingungen erfüllt u die Gleichung ∂_s u + L_su = 0 mit der Endbedingung u(t,x) = g(x)
Sie heißt Rückwärtsgleichung, weil die Endfunktion feststeht und sich der Konditionierungszeitpunkt s zur Gegenwart bewegt
Der adjungierte Operator bewegt Verteilungen
Der adjungierte Operator L_t† ist durch ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx definiert, nachdem Randterme berücksichtigt wurden
Für eine eindimensionale Diffusion gilt L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)
Der adjungierte Operator überträgt den Generator von Testfunktionen auf Dichten und kehrt dabei die Ableitungen um, soweit die partielle Integration dies erfordert
Die Vorwärtsgleichung transportiert Wahrscheinlichkeitsmasse
Wenn ρ(t,x) die Zustandsdichte ist, erfüllt sie ausgehend von ihrer Anfangsverteilung ∂_tρ = L_t†ρ
Auf eine Übergangsdichte angewandt entwickelt dieselbe Gleichung ihre Zielvariable weiter, während der Anfangspunkt festgehalten wird
Normierung, Nichtnegativität, Fluss und Randbedingungen bestimmen, ob eine formale Lösung ein gültiges Wahrscheinlichkeitsgesetz ist
Die Finanzmathematik nutzt beide Richtungen für verschiedene Aufgaben
Die Bewertung von Derivaten löst meist eine Rückwärtsgleichung ausgehend von einer Endauszahlung, wobei die Diskontierung einen Tötungsterm hinzufügt
Verteilungsprognosen, Exposure-Profile, Dichtekalibrierung und manche Risikoberechnungen lösen die Vorwärtsgleichung ausgehend vom heutigen Zustandsgesetz
Beide Ergebnisse sollten durch Integration übereinstimmen: Ein Rückwärtswert entspricht der gegen die Vorwärtsübergangsdichte integrierten zukünftigen Auszahlung
Randbedingungen und Numerik können die Dualität brechen
Absorbierende, reflektierende, eintretende und unzugängliche Ränder verlangen unterschiedliche Bedingungen für Werte und Wahrscheinlichkeitsflüsse
Prüfen Sie Massenerhaltung oder den beabsichtigten Massenverlust, Positivität, End- und Anfangsdaten, die Diskretisierung des adjungierten Operators und die Konvergenz bei wachsenden Gittern
Eine unabhängig implementierte Monte-Carlo-Schätzung kann Vorzeichen-, Drift-, Rand- und Zeitrichtungsfehler in beiden PDE-Lösern aufdecken
Häufige Fragen
Was ist der Unterschied zwischen den Kolmogorov-Vorwärts- und Rückwärtsgleichungen?
Die Rückwärtsgleichung entwickelt eine Funktion des Anfangszustands; die Vorwärtsgleichung entwickelt das Gesetz des Zielzustands
Ist die Vorwärtsgleichung die Fokker–Planck-Gleichung?
Für Diffusionsprozesse ja. Fokker–Planck ist die übliche Bezeichnung für die Kolmogorov-Vorwärtsgleichung der Dichte
Welche Gleichung wird für die Optionsbewertung verwendet?
Europäische Optionswerte werden meist ausgehend von ihrer Endauszahlung rückwärts propagiert, während Vorwärtsgleichungen Zustands-Preisdichten entwickeln können
Warum sind Randbedingungen wichtig?
Sie bestimmen, ob Wahrscheinlichkeit absorbiert, reflektiert, erhalten bleibt oder unzugänglich ist, und verändern damit sowohl Verteilungen als auch Werte