Feynman–Kac-Formel für die Optionsbewertung erklärt
Erfahren Sie, wie Feynman–Kac lineare Bewertungs-PDEs mit abgezinsten bedingten Erwartungswerten verbindet, einschließlich Generatoren, Cashflows, Numerik und Grenzen
Kurzantwort
Die Feynman–Kac-Formel stellt die Lösung einer geeigneten linearen parabolischen PDE als bedingten Erwartungswert über Diffusionspfade dar. In der Finanzwirtschaft verwandelt sie eine Bewertungs-gleichung in erwartete abgezinste End- und laufende Cashflows
Der Diffusionsgenerator bestimmt die lokale Entwicklung
Sei dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s und sei sein Generator Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ
Der Generator fasst die infinitesimale bedingte Änderung glatter Funktionen des Zustands zusammen
Er verbindet das Pfadmodell mit einer Differentialgleichung, ohne zu behaupten, dass der selbst nirgends differenzierbare Pfad eine gewöhnliche Ableitung besitzt
Eine Rückwärts-PDE beginnt mit der Endbedingung
Betrachten Sie ∂_t u + Lu − r u + f = 0 mit dem Endwert u(T,x) = g(x)
Hier ist g ein Endauszahlungsbetrag, r eine Tötungs- oder Diskontrate und f eine laufende Quelle, deren Vorzeichen der angegebenen PDE-Konvention folgt
Da die Enddaten bei T bekannt sind, funktioniert die Bewertung rückwärts, obwohl sich die Zustandsdiffusion vorwärts entwickelt
Der bedingte Erwartungswert liefert die Darstellung
Unter Bedingungen an Regularität und Integrierbarkeit entspricht u(t,x) dem bedingten Erwartungswert aus abgezinster Auszahlung g(X_T) plus abgezinster kumulierter Quelle f
Mit D_{t,s} = exp(−∫_t^s r(v,X_v)dv) lautet die Darstellung E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]
Die Anwendung der Itô-Formel auf D_{t,s}u(s,X_s) macht den Drift gleich dem negativen Quellterm, wodurch sich die Identität nach der Bildung von Erwartungswerten ergibt
Diskontierung ist Teil des Operators
Ein konstanter kurzfristiger Zinssatz ergibt den bekannten Faktor e^{-r(T-t)}, aber zustandsabhängige Zinssätze erfordern ein pfadweises Integral
Laufende Dividenden, Kupons, Kosten oder Quellterme gehen über das Zeitintegral ein, statt im Endauszahlungsbetrag verborgen zu werden
Eine Änderung der Vorzeichen in der PDE ändert die Darstellung. Übernehmen Sie Operator, Endbedingung und Zeitrichtung als ein gemeinsames Paket
Risikoneutrale Optionsbewertung ist ein Spezialfall
Unter einem gültigen Bewertungsmaß bestimmen die diskontierten Dynamiken gehandelter Assets den Generator L, und der Derivatwert löst die zugehörige Bewertungs-PDE
Für einen europäischen Anspruch ohne laufende Zahlungen ist der Preis der bedingte Erwartungswert seiner abgezinsten Endauszahlung
Black–Scholes ist eine Ausprägung dieser Brücke und weder die Definition von Feynman–Kac noch ein Beleg dafür, dass jeder Markt vollständig ist
PDE und Monte Carlo zielen auf denselben Wert
Finite Differenzen lösen die Rückwärtsgleichung auf einem Gitter, während Monte Carlo den Erwartungswert über Vorwärtspfade schätzt
Die Übereinstimmung unabhängiger Implementierungen ist eine starke Prüfung von Vorzeichen, Diskontierung, Randbedingungen und Stichprobenfehlern
Wählen Sie PDE-Methoden für niedrigdimensionale Flächen und Randbedingungen; wählen Sie Simulationen, wenn Zustände oder Pfadfunktionale Gitter teuer machen
Der Satz hat Bedingungen und Grenzen
Klassische Aussagen erfordern Bedingungen an Koeffizienten, Wachstum, Regularität, Integrierbarkeit und Eindeutigkeit; schwächere Viskositätslösungen erweitern den Geltungsbereich
Amerikanische Ausübung erzeugt ein Hindernis oder eine Variationsungleichung, und nichtlineare Finanzierungs- oder Kontrollprobleme passen nicht in die einfache lineare Formel
Sprünge ersetzen die Diffusions-PDE durch eine Integro-Differentialgleichung, während Pfadabhängigkeit oft eine Erweiterung des Zustands oder andere Methoden erfordert
Häufige Fragen
Was sagt die Feynman–Kac-Formel in einfachen Worten?
Sie sagt, dass ein bestimmter Wert aus einer Differentialgleichung durch das Mitteln abgezinster Ergebnisse eines zugehörigen Zufallsprozesses berechnet werden kann
Warum wird die Bewertungs-PDE rückwärts gelöst?
Die Auszahlung ist bei Fälligkeit festgelegt, daher ist der Endwert bekannt und der aktuelle Wert wird zurück in Richtung heute fortgepflanzt
Ist Feynman–Kac dasselbe wie risikoneutrale Bewertung?
Nein. Die risikoneutrale Modellierung liefert ein Bewertungsmaß und einen Generator; Feynman–Kac verbindet anschließend dessen lineare PDE mit dem Erwartungswert
Bewertet die Standardformel amerikanische Optionen?
Nicht direkt. Vorzeitige Ausübung verwandelt die Gleichheit in ein Hindernisproblem oder eine Darstellung als Optimales-Stopp-Problem