Esscher-Transformation in der Optionsbewertung erklärt
Verstehen Sie exponentielle Gewichtung, Kumulantenverschiebungen, Änderungen des Lévy-Maßes, die Wahl des Martingalparameters, unvollständige Märkte und Existenzprüfungen
Kurzantwort
Die Esscher-Transformation gewichtet ein Ergebnis x mit e^{θx} und normiert mit seiner momenterzeugenden Funktion. In exponentiellen Assetmodellen kann θ so gewählt werden, dass der diskontierte Preis unter dem gekippten Maß ein Martingal ist
Exponentielle Gewichtung ordnet Ergebnisse neu
Für eine Zufallsvariable X mit endlichem M(θ) = E[e^{θX}] definiert man dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)
Positives θ betont größere Ergebnisse und negatives θ kleinere, während die Normierung dafür sorgt, dass die neuen Gewichte eins ergeben
Die Transformation verändert Wahrscheinlichkeiten und nicht beobachtete Ergebnisse und existiert nur dort, wo das exponentielle Moment endlich ist
Die Kumulantenfunktion verschiebt sich sauber
Sei κ(u) = log E[e^{uX}] auf ihrem Momentenbereich
Unter dem Esscher-Maß ist die Kumulantenfunktion κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)
Ableitungen von κ_θ bei null liefern gekippte Momente, wenn diese endlich sind, wodurch die Transformation für Saddlepoint-Methoden und Risikoberechnungen praktisch wird
Ein Prozess braucht eine zeitkonsistente Dichte
Für einen Lévy-Prozess X_t ist der Dichteprozess Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))
Unabhängige stationäre Inkremente machen Z zu einem positiven Martingal, wenn θ im gültigen Momentenbereich liegt
Unter Q_θ bleibt der Prozess ein Lévy-Prozess, aber Drift und Sprunggesetz ändern sich, während Pfadergebnisse und Nullereignisse kompatibel bleiben
Das Lévy-Maß wird exponentiell gekippt
Unter geeigneten Konventionen ändert sich das Sprungmaß von ν(dx) zu ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)
Die Brownsche Varianz bleibt unverändert, während sich die Drift um den Brownschen Tilt, die Sprungkompensation und die Trunkierungskonvention anpasst
Ein Vergleich von Driftparametern ohne Angabe der Trunkierungsfunktion kann daher eine falsche Abweichung erzeugen
Eine Martingalbedingung wählt den Preisbildungsparameter
Für S_t = S_0e^{X_t} mit Carry r-q verlangt die Diskontmartingalität κ_θ(1) = r-q
Gleichwertig löst man κ(θ+1) - κ(θ) = r-q, sofern beide exponentiellen Momente existieren
Die Gleichung kann keine Lösung, eine Lösung oder numerische Instabilität nahe der Momentengrenze haben. Die Parameterwahl ist nicht automatisch
Esscher ist eine Wahl in einem unvollständigen Markt
Sprungrisiko ist im Allgemeinen nicht vollständig abgesichert, sodass viele äquivalente Martingalmaße die No-Arbitrage-Bedingung erfüllen können
Die Esscher-Regel wählt eines davon, indem sie eine exponentiell gekippte Modellfamilie erhält. No-Arbitrage allein bevorzugt es aber nicht gegenüber jeder Alternative
Wirtschaftliche Präferenzen, Kalibrierungsziele, Entropiekriterien, Hedgingziele oder Marktkonventionen können ein anderes Maß nahelegen
Die Validierung muss die Tails einschließen
Prüfen Sie Momentenbereich für θ und θ+1, Normierung der Dichte, äquivalente Unterstützung, Martingalgleichheit und das transformierte Tripel
Kalibrieren Sie über mehrere Laufzeiten und Regime neu, da ein stabiles θ innerhalb der Stichprobe eine instabile Extrapolation der Tails verbergen kann
Vergleichen Sie Optionspreise und Hedgefehler unter alternativen zulässigen Maßen, um die Modellrisikokosten der Esscher-Wahl sichtbar zu machen
Häufige Fragen
Was ist die Esscher-Transformation in einfachen Worten?
Sie erzeugt ein neues Wahrscheinlichkeitsgesetz, indem sie größere oder kleinere Ergebnisse exponentiell stärker gewichtet und anschließend renormiert
Wie wird der Esscher-Parameter für die Optionsbewertung gewählt?
Er wird häufig so gewählt, dass der diskontierte modellierte Assetpreis unter dem transformierten Maß zu einem Martingal wird
Existiert eine Esscher-Transformation immer?
Nein. Die benötigten exponentiellen Momente müssen endlich sein, und die Martingalgleichung kann keine zulässige Lösung besitzen
Ist das Esscher-Martingalmaß eindeutig?
Sein Parameter kann innerhalb der Esscher-Familie eindeutig sein, während weiterhin andere äquivalente Martingalmaße existieren können