Anleihen-Konvexität erklärt: Die Krümmung über die Duration hinaus

Der Marktpreis einer Anleihe entspricht dem Barwert ihrer erwarteten Zahlungsströme. Ändert sich die Diskontierungsrendite, wird dieser Barwert neu berechnet. Bei einer einfachen festverzinslichen Anleihe ohne eingebettete Option fallen Preis und Rendite in der Regel gegenläufig aus.

Über einen größeren Bereich ist die Preis-Rendite-Beziehung keine Gerade. Die Steigung am aktuellen Punkt zeigt die unmittelbare Preissensitivität; die Krümmung zeigt, wie sich diese Steigung bei größeren Renditebewegungen verändert. Das CFA Institute beschreibt Duration als lineare Näherung und Konvexität als Ergänzung für diese Krümmung in seiner [Übersicht zur renditebasierten Anleihekonvexität]({source:cfaBondConvexity2026}).

Die modifizierte Duration schätzt die prozentuale Preisänderung bei einer kleinen Renditeänderung: ΔP/P ≈ −D × Δy. Δy wird als Dezimalzahl eingesetzt. Bei einer Duration von 6 und einem Renditeanstieg um 0,01 ergibt sich −6 × 0,01, also ungefähr −6 Prozent.

Die Tangente am heutigen Preis ist für kleine Bewegungen ein nützlicher Kurzweg. Sie unterstellt jedoch, dass gleich große Renditeanstiege und -rückgänge gleich große Preisänderungen in entgegengesetzter Richtung bewirken. Die gekrümmte Beziehung erfüllt das nicht exakt. FINRA erklärt Duration als Sensitivität, nicht als Fälligkeit, in seinem [Leitfaden zur Anleiheduration]({source:finraDurationExplainer}).

Konvexität bildet den Effekt zweiter Ordnung ab. In einer üblichen Konvention mit modifizierter Duration lautet die Näherung ΔP/P ≈ −D × Δy + ½ × C × (Δy)². Der erste Term ist die lineare Duration-Schätzung; der zweite ergänzt die Krümmung. Renditeänderungen stehen als Dezimalzahlen in der Formel: 100 Basispunkte (bp) sind 0,01, 25 bp sind 0,0025.

Bei einer festverzinslichen Anleihe ohne Optionen ist die renditebasierte Konvexität positiv. Der Konvexitätsterm erhöht daher die geschätzte Preisänderung in beide Richtungen: Bei fallenden Renditen fällt der geschätzte Gewinn größer, bei steigenden Renditen der geschätzte Verlust kleiner aus als nur mit Duration. Das ist eine modellabhängige Sensitivität, keine Garantie für eine bessere Rendite.

Angenommen, ein hypothetisches Anleiheportfolio hat eine modifizierte Duration von 6 und eine Konvexität von 45. Steigt die maßgebliche Rendite um 100 bp, gilt Δy = +0,01. Der Durationsterm beträgt −6,00 Prozent; der Konvexitätsterm ½ × 45 × 0,01² = +0,225 Prozent. Zusammen ergibt das vor Zinsertrag, Spreadänderungen, Kosten und weiteren Effekten ungefähr −5,775 Prozent.

Fällt die Rendite um 100 bp, ergeben sich +6,00 Prozent aus Duration und erneut +0,225 Prozent aus Konvexität, insgesamt also ungefähr +6,225 Prozent. Bei hypothetischen 10.000 US-Dollar wären das etwa −577,50 beziehungsweise +622,50 US-Dollar. Die Zahlen veranschaulichen nur die Rechnung; sie sind keine Prognose.

Das Beispiel mit positiver Konvexität setzt feste Zahlungsströme ohne eingebettete Optionen voraus. Bei einer kündbaren Anleihe kann der Emittent vorzeitig zurückzahlen. Sinkende Renditen können einen Rückruf attraktiver machen und so den möglichen Preisanstieg begrenzen. Bei hypothekenbesicherten Wertpapieren können niedrigere Zinsen zudem Refinanzierungen und vorzeitige Rückzahlungen beschleunigen.

Nahe am Ausübungsbereich kann eine kündbare Anleihe negative Konvexität zeigen: Das Aufwärtspotenzial bei sinkenden Renditen ist begrenzt, während das Abwärtsrisiko bei steigenden Renditen bestehen bleibt. Das CFA Institute behandelt effektive Duration und effektive Konvexität für kündbare und kündbare Anleihen in seiner [Übersicht zu eingebetteten Optionen]({source:cfaEmbeddedOptions2026}). Wenden Sie die Rechnung für eine optionsfreie Anleihe nicht unverändert auf solche Papiere an.

Duration und Konvexität eines Portfolios fassen zusammen, wie seine Zahlungsströme auf Renditeänderungen reagieren. Eine gebräuchliche Methode bildet wertgewichtete Durchschnitte der Kennzahlen einzelner Positionen. Diese Zusammenfassung ist nützlich, unterstellt aber häufig eine parallele Verschiebung der Renditekurve: Renditen aller relevanten Laufzeiten ändern sich gleich stark.

In der Praxis können kurze, mittlere und lange Renditen unterschiedlich reagieren; die Kurve kann steiler, flacher oder anders geformt werden. Zwei Portfolios mit ähnlicher Gesamtduration und -konvexität können deshalb verschieden reagieren. Key-Rate-Durationen oder andere kurvenspezifische Kennzahlen zeigen solche Risiken genauer. Anleihekonvexität ist nicht dasselbe wie die Krümmung der Zinskurve selbst.

Vergleichen Sie bei einem Anleihefonds Definition, Einheit und Stichtag der Konvexität. Prüfen Sie auch, ob modifizierte, approximative oder effektive Konvexität ausgewiesen wird. Bei eingebetteten Optionen beruhen effektive Kennzahlen auf einem Modell, das Zahlungsströme bei Renditeänderungen neu bewertet; unterschiedliche Modelle und Kurvenschocks können unvergleichbare Werte ergeben.

Trennen Sie Zinssensitivität außerdem von Kreditspread-, Ausfall-, Liquiditäts- und Währungsrisiken. Eine Änderung der Rendite in der Formel ist nicht automatisch eine Änderung des Leitzinses oder aller Marktrenditen. Als Grundlagen dienen Duration und Zinsrisiko bei Anleihe-ETFs und die separate Konvexitätsanpassung bei Futures und Forwards.

Duration und Konvexität beantworten eine begrenzte Frage: Wie unterscheidet sich die geschätzte Preissensitivität bei einem festgelegten Renditeschock von der linearen Duration-Näherung? Sie sagen weder die künftige Rendite noch Gesamtertrag, Erholungszeit oder Eignung einer Anleihe für ein bestimmtes Portfolio voraus.

Halten Sie Schockgröße und Einheit, Kennzahlkonvention und unveränderte Risikofaktoren fest. Betrachten Sie das Ergebnis als Näherung und aktualisieren Sie die Eingaben, wenn Preise, Bestände, erwartete Zahlungsströme oder die Zinskurve wechseln. Eine Konvexitätszahl beschreibt die Krümmung um einen Bezugspunkt, nicht das gesamte Risiko.

Trennen Sie die geschätzte Preissensitivität von der tatsächlich erzielten Gesamtrendite. Duration und Konvexität beschreiben, wie ein Preis am Bewertungsstichtag auf einen bestimmten Renditeschock reagieren könnte. Die tatsächliche Rendite über die Haltedauer kann zusätzlich Kuponerträge, den Roll-down, Veränderungen der Kreditaufschläge, Transaktionskosten und geänderte erwartete Zahlungsströme enthalten. Vergleichen Sie die anfängliche Schätzung mit der späteren Rendite nur bei übereinstimmendem Zeitraum und passenden Risikofaktoren; untersuchen Sie dann die Bestandteile, die die Abweichung erklären. So lässt sich die Näherung beurteilen, sie wird dadurch aber nicht zu einer Renditezusage.