Affine Prozesse und Riccati-Gleichungen erklärt

Für einen Markov-Zustand X sucht ein affines Modell E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), wobei τ=T−t

Das Wort affin bezieht sich darauf, dass der Logarithmus dieser bedingten Transformation eine Konstante plus eine lineare Funktion des aktuellen Zustands ist

Die Pfade können weiterhin nichtlinear, heteroskedastisch und unstetig sein; sowohl eine Varianz mit Wurzel-Diffusion als auch eine Sprungintensität können in diese Klasse passen

Übliche kanonische Zustände verbinden nichtnegative Koordinaten, etwa Varianz oder Intensität, mit uneingeschränkten reellen Koordinaten, etwa dem Logarithmus des Preises

Drift, Diffusion und Sprungmaße müssen Zulässigkeitsbedingungen erfüllen, damit der Prozess in seinem Zustandsraum bleibt und ein gültiges Markov-Gesetz definiert

Eine Formel, die nur affin aussieht, reicht nicht aus: Negative Varianz, explosive Sprungaktivität oder eine fehlgeschlagene Existenzbedingung können die Spezifikation ungültig machen

Die Transformation kann charakteristische Funktionen, Laplace-Transformationen, Momente, Anleihepreise und Bausteine diskontierter Auszahlungen kodieren

Statt eine vollständige Übergangsdichte wiederherzustellen, wertet man φ und ψ an dem komplexen Argument aus, das die Preisformel benötigt

Diese Trennung ist leistungsfähig: Das stochastische Modell liefert eine Transformation, während eine Inversion oder Auszahlungstransformation sie in Preise umwandelt

Setzt man den exponentiell-affinen Ansatz in die Generatorgleichung ein, werden konstante Terme in φ und zustandslineare Terme in ψ gruppiert

Das Ergebnis ist ein gekoppeltes System wie ∂τφ = F(ψ) und ∂τψ = R(ψ), mit den Anfangsbedingungen φ(0,u)=0 und ψ(0,u)=u

Diffusionsterme machen R quadratisch, während Sprünge Transformationsintegrale hinzufügen. Deshalb heißen die Gleichungen verallgemeinerte Riccati-Gleichungen

CIR verwendet einen nichtnegativen Zustand mit Wurzel-Diffusion, während Heston den Logarithmus des Preises mit der Wurzel-Varianz koppelt und eine affine gemeinsame Transformation bewahrt

Affine Zinsstruktur- und Kreditmodelle können kurzfristige Zinsen, Ausfallintensitäten oder Sprungkompensatoren als affine Funktionen des Zustands modellieren

Die gemeinsame Transformationsarchitektur macht die Modelle nicht gleichwertig; jedes Modell hat andere Zustandsbeschränkungen, Verteilungsschwänze und wirtschaftliche Bedeutungen

Die charakteristische Funktion existiert für reelle Frequenzen, doch exponentielle Momente an komplexen Argumenten können nur in einem begrenzten Bereich existieren

Eine Riccati-Lösung kann in einem endlichen Horizont explodieren. Das signalisiert ein Versagen der Momente und nicht unbedingt das Ende des zugrunde liegenden Wahrscheinlichkeitsprozesses

Geschlossene Ausdrücke benötigen außerdem konsistente Zweige für Quadratwurzel und Logarithmus; algebraisch gleiche Formen können sich in Gleitkommaarithmetik unterschiedlich verhalten

Prüfen Sie Anfangswerte, die Semigruppeneigenschaft, konjugierte Symmetrie, die Martingalbedingung und bekannte Grenzfälle, bevor Sie Optionen bepreisen

Überwachen Sie den Riccati-Solver, den Transformationsbereich, die Stetigkeit der Zweige und die Empfindlichkeit gegenüber Toleranzen über Laufzeiten und Parametergitter hinweg

Affine Handhabbarkeit reduziert ein schwieriges Problem auf kleinere Probleme; sie beseitigt weder Kalibrierungsrisiko, numerischen Fehler noch Modellfehlspezifikation