Itô এর Lemma ইন অপশন মূল্য ব্যাখ্যা করা হয়েছে

একটি মসৃণ নির্ধারক পথ x(t) এর জন্য, f(t, x) এর পরিবর্তন স্থানীয়ভাবে বর্ণনা করা হয় তার সময় ডেরিভেটিভ এবং x এর ক্ষেত্রে প্রথম ডেরিভেটিভ দ্বারা

একটি প্রসারণ পথ ক্রমাগত কিন্তু সাধারণ অর্থে কোথাও মসৃণভাবে পার্থক্যযোগ্য নয়। সময়ের বর্গমূলের মতো অল্প ব্যবধানের স্কেলে এর এলোমেলো বৃদ্ধি

এই স্কেলিংটি একটি দ্বিতীয়-ক্রম টেলর শব্দটিকে একটি সাধারণ সময়ের শব্দের মতো বড় করে তোলে। এটি ড্রপ করা প্রভাবটি সরিয়ে দেয় যা পরে বিকল্প মূল্যে গামা হিসাবে প্রদর্শিত হয়

dW হিসাবে একটি ব্রাউনিয়ান ইনক্রিমেন্ট লিখুন। Itô বুককিপিং-এ, dW² dt অবদান রাখে, যখন dt² এবং dt·dW প্রাসঙ্গিক আদেশে অদৃশ্য হয়ে যায়

এটি একটি পাথওয়াইজ সীমার জন্য শর্টহ্যান্ড: বর্গাকার ব্রাউনিয়ান ইনক্রিমেন্টের যোগফল একটি বিভাজন আরও সূক্ষ্ম হওয়ার সাথে সাথে অতিবাহিত সময়ে রূপান্তরিত হয়

এটা সাধারণ বীজগণিত নয় যে প্রতিটি এলোমেলো শক বর্গ সমান সময়। নিয়মটি স্টোকাস্টিক ইন্টিগ্রেশন এবং এর সীমাবদ্ধ প্রথার অন্তর্গত

ধরুন dS = μSdt + σSdW এবং একটি বিকল্প মান হল V(t, S)। Itô এর লেমা তার স্থানীয় স্টোকাস্টিক পরিবর্তন দেয়

ড্রিফট হল Vₜ + μS Vₛ + দেড় σ²S²Vₛₛ। এলোমেলো শব্দটি হল σS VₛdW, যেখানে সাবস্ক্রিপ্টগুলি আংশিক ডেরিভেটিভগুলিকে বোঝায়

ডেল্টা Vₛ প্রথম-ক্রমের শককে বহুগুণ করে, যখন গামা Vₛₛ দ্বিঘাত পরিবর্তনের মাধ্যমে টাইম-অর্ডার ড্রিফটে প্রবেশ করে

এমনকি যখন র্যান্ডম মূল্য শকের শূন্য শর্তসাপেক্ষ গড় থাকে, উত্তলতা ইতিবাচক এবং নেতিবাচক চালগুলি বিকল্প মানকে অসমমিতভাবে প্রভাবিত করে

এক-অর্ধ σ²S²গামা শব্দটি এই স্থানীয় বক্রতা অবদানকে পরিমাপ করে। উচ্চতর অস্থিরতা সেই হারকে বাড়িয়ে দেয় যে হারে একটি বাঁকা পেঅফ মডেল করা মান জমা করে

এটি বলে না যে দীর্ঘ গামা একটি নিশ্চিত মুনাফা অর্জন করে। থিটা, প্রদত্ত প্রিমিয়াম, উপলব্ধ পথ, লাফ, তির্যক পরিবর্তন, এবং খরচ প্রকৃত P&L নির্ধারণ করে

অন্তর্নিহিত মধ্যে তার ডেল্টা বিয়োগ সহ একটি বিকল্প একত্রিত করুন। প্রসারিত অনুমানের অধীনে, dW পদগুলি তাত্ক্ষণিকভাবে বাতিল হয়ে যায়

অবশিষ্ট স্থানীয় পোর্টফোলিওটি ঝুঁকিহীন হিসাবে মডেল করা হয়েছে, তাই ধারাবাহিক লভ্যাংশ বা চিকিত্সা বহন করার পরে ঝুঁকিমুক্ত হার অর্জনের জন্য নো-সালিশের প্রয়োজন হয়।

সেই শর্তটি প্রতিস্থাপন করলে μ অপসারণ হয় এবং ব্ল্যাক-স্কোলস আংশিক ডিফারেনশিয়াল সমীকরণ তৈরি করে। প্রতিলিপি, একটি রিটার্ন পূর্বাভাস নয়, মূল্য সম্পর্ক সেট করে

বেশ কয়েকটি পারস্পরিক সম্পর্কযুক্ত বিস্তারের সাথে, সম্প্রসারণটি সহ-ভারীকরণ দ্বারা ওজনযুক্ত ক্রস-সেকেন্ড ডেরিভেটিভস অন্তর্ভুক্ত করে। এই পদগুলি যৌথ বক্রতার সাথে পারস্পরিক সম্পর্ককে সংযুক্ত করে

রাষ্ট্র প্রক্রিয়া পরিবর্তন জেনারেটর এবং মূল্য সমীকরণ পরিবর্তন. স্থানীয় অস্থিরতা, স্টোকাস্টিক অস্থিরতা, এবং রেট মডেলগুলি সমস্ত সম্পর্কিত Itô সম্প্রসারণ ব্যবহার করে

যথেষ্ট মসৃণ নয় এমন ফাংশনগুলির জন্য, সীমানা এবং কিঙ্কগুলির নৈমিত্তিক পার্থক্যের পরিবর্তে দুর্বল, সাধারণীকরণ বা সংখ্যাগত চিকিত্সা প্রয়োজন

একটি লাফ প্রক্রিয়া একা অবিচ্ছিন্ন ব্রাউনিয়ান নিয়মের সাথে খাপ খায় না। এর পরিবর্তন সূত্রে অবিচ্ছিন্ন লাফের অবদান রয়েছে এবং প্রায়শই একটি অখণ্ড-পার্থক্য সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়

প্রকৃত হেজেসগুলি বিচ্ছিন্ন এবং ব্যয়বহুল, তাই একটি অসীম dW শব্দটি বাতিল করা গ্যাপ, তারল্য, প্যারামিটার বা কার্যকর করার ঝুঁকি দূর করে না

মডেল মেকানিক্স বোঝার জন্য Itô এর লেমা ব্যবহার করুন, তারপর একটি মূল্য বা গ্রীক ব্যাখ্যা করার আগে প্রক্রিয়া, মসৃণতা, পরিমাপ এবং ট্রেডিং অনুমানগুলি বর্ণনা করুন