HAR-RV মডেল ব্যাখ্যা: দৈনিক, সাপ্তাহিক ও মাসিক ভোলাটিলিটি পূর্বাভাস

রিয়ালাইজড ভোলাটিলিটির হেটেরোজেনিয়াস অটোরিগ্রেসিভ মডেলকে সাধারণত HAR-RV বলা হয়। এটি বিভিন্ন সময়সীমায় সংক্ষেপ করা সাম্প্রতিক রিয়ালাইজড ভোলাটিলিটি থেকে ভবিষ্যতের একটি ভোলাটিলিটি মাপ অনুমান করে। একটি প্রচলিত দৈনিক রূপে থাকে সর্বশেষ সম্পূর্ণ দিনের মান, পাঁচ ট্রেডিং দিনের গড় এবং 22 ট্রেডিং দিনের গড়। এগুলো রিগ্রেশনের ইনপুট; লক্ষ্য যদি পরের দিন হয়, তবে HAR-RV পূর্বাভাসটি পরের দিনেরই।

রিয়ালাইজড ভোলাটিলিটির স্থায়িত্ব বোঝার জন্য এটি একটি স্বচ্ছ বেসলাইন। যোগফলভিত্তিক কাঠামোটি সরল রৈখিক রিগ্রেশনে অনুমান করা যায় এবং রিটার্নভিত্তিক GARCH মডেলের সঙ্গে তুলনা করা যায়। তবে এটি পূর্বাভাসের সমীকরণ—কখন ট্রেডে ঢুকতে হবে, কত বড় পজিশন নিতে হবে, বা কোনো সম্পদ আকর্ষণীয় কি না, তার নিয়ম নয়।

Corsi-র মূল গবেষণায় বিভিন্ন সময়মাত্রার ভোলাটিলিটি উপাদানের একটি যোগাত্মক ধাপভিত্তিক মডেল প্রস্তাব করা হয়। বিভিন্ন সময়সীমায় বাজারের অংশগ্রহণকারীদের কাজের ধারণা এতে প্রেরণা জুগিয়েছিল; তবে রিগ্রেশনটি নির্দিষ্ট ট্রেডারকে শনাক্ত করে না বা কোনো গোষ্ঠীই পর্যবেক্ষিত স্থায়িত্বের কারণ—এমন প্রমাণ দেয় না। দৈনিক, সাপ্তাহিক ও মাসিক উপাদানকে অতীত ভোলাটিলিটির পরিসংখ্যানগত সারাংশ হিসেবে দেখুন।

সম্পূর্ণ সেশন \(t\)-এর একটি প্রচলিত রিয়ালাইজড-ভ্যারিয়েন্স মাপ হলো সেশনের ভেতরের রিটার্নের বর্গগুলোর যোগফল:

\[ RV_t = \sum_{i=1}^{M} r_{t,i}^{2} \]

এখানে \(r_{t,i}\) হলো সেশনের \(i\)-তম বিরতির রিটার্ন, আর \(M\) হলো গণনায় অন্তর্ভুক্ত বিরতির সংখ্যা। যোগফলটির একক হলো রিটার্নের বর্গ। এই গাইডে সব HAR component ও forecast example-এ ইচ্ছাকৃতভাবে squared-return scale-এর realized variance ব্যবহার করা হয়েছে। Corsi (2009)-এর original HAR-RV-তে square-root scale-এর realized-volatility measures ব্যবহৃত হয়; convention দুটো সম্পর্কিত হলেও একই regression-এ মেশানো উচিত নয়। Daily, weekly, monthly inputs এবং forecast target একই scale-এ রাখুন। রিয়ালাইজড ভোলাটিলিটি গণনার নির্দেশিকা এ ধরনের মাপের সিদ্ধান্তগুলো ব্যাখ্যা করে।

স্যাম্পলিং বিরতি, দামের উৎস, বাজার সেশন এবং রাতভর রিটার্ন অন্তর্ভুক্ত করার নিয়ম \(RV_t\)-এর অর্থ নির্ধারণ করে। শুধু নিয়মিত সেশনের ইন্ট্রাডে রিটার্ন যোগ করলে ক্লোজ-টু-ওপেন পরিবর্তন নিজে থেকে অন্তর্ভুক্ত হয় না। উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সির স্যাম্পলিংয়ে কোট নয়েজ ও অন্যান্য মার্কেট-মাইক্রোস্ট্রাকচার বৈশিষ্ট্যের প্রভাব থাকতে পারে; Hansen ও Lunde (2006) রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্স মাপে এই নয়েজের প্রভাব বিশ্লেষণ করেছেন। Andersen, Bollerslev, Diebold ও Labys উচ্চ-ফ্রিকোয়েন্সি পর্যবেক্ষণ, রিয়ালাইজড ভোলাটিলিটি এবং নিম্ন-ফ্রিকোয়েন্সির রিটার্ন ভ্যারিয়েশনের সম্পর্ক দেখান; তাঁদের কাঠামো সব স্যাম্পলিং নিয়মকে বিনিময়যোগ্য করে না।

ইতিহাস, রিগ্রেসর ও পূর্বাভাসের লক্ষ্যে একই সংজ্ঞা ব্যবহার করুন। পাঁচ মিনিটের রিটার্নের বদলে এক মিনিটের রিটার্ন ব্যবহার করলে, বা নিয়মিত সেশনের বদলে ক্লোজ-টু-ক্লোজ সময় নিলে সিরিজ, অনুমিত সহগ এবং মূল্যায়ন করা পূর্বাভাস বদলাতে পারে।

দৈনিক মাপকে \(RV_t^{(d)}=RV_t\) ধরা যাক। প্রচলিত একটি নির্মাণে সর্বশেষ পাঁচটি সম্পূর্ণ দৈনিক মানের গড় সাপ্তাহিক উপাদান, আর সর্বশেষ 22টির গড় মাসিক উপাদান:

\[ RV_t^{(w)} = \frac{1}{5}\sum_{j=0}^{4}RV_{t-j}, \qquad RV_t^{(m)} = \frac{1}{22}\sum_{j=0}^{21}RV_{t-j} \]

5 ও 22 দিয়ে ভাগ করলে প্রতিটি সময়সীমার দৈনিক রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্সের গড় পাওয়া যায়। যোগফল নিলে পুরো সময়সীমার সঞ্চিত রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্স পাওয়া যায়। আলাদাভাবে সংজ্ঞায়িত মডেলে যেকোনো রীতি চলতে পারে, তবে সূত্র, লক্ষ্য ও একক মিলতে হবে।

সময়সীমাগুলো একে অপরের সঙ্গে মিলে যায়। সর্বশেষ দৈনিক মান সাপ্তাহিক ও মাসিক গড়ে থাকে, আর সাপ্তাহিক মানগুলো মাসিক উইন্ডোর অংশ। ফলে রিগ্রেসরগুলো অতীতের একই তথ্যকে ভিন্ন দৈর্ঘ্যে সারাংশ করে; নাম আলাদা হলেও সেগুলো স্বাধীন মাপ নয়। সহগগুলোকে তিনটি আলাদা সময়সীমার কারণগত প্রভাব হিসেবেও পড়া উচিত নয়।

পাঁচ ও 22 সাধারণত ট্রেডিং সেশন বোঝায়, ক্যালেন্ডারের সপ্তাহ ও মাস নয়। বাজারের ছুটি, অনুপস্থিত সেশন বা ফিউচার্সের ভিন্ন ট্রেডিং ক্যালেন্ডারের জন্য স্পষ্ট নিয়ম দরকার। সম্পদভেদে অনুমান তুলনা করার আগে পর্যবেক্ষণ ক্যালেন্ডার ও অসম্পূর্ণ উইন্ডোর নিয়ম নথিবদ্ধ করুন।

এক ধাপের মৌলিক দৈনিক HAR-RV রিগ্রেশন হলো

\[ RV_{t+1}^{(d)} = \beta_0 + \beta_d RV_t^{(d)} + \beta_w RV_t^{(w)} + \beta_m RV_t^{(m)} + \varepsilon_{t+1} \]

বাম পাশের \(RV_{t+1}^{(d)}\) হলো পরের সম্পূর্ণ সেশনের রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্স। সব পূর্বাভাসকারী \(t\) সেশন শেষ হওয়ার মধ্যে জানা থাকে। ধ্রুবক \(\beta_0\) এবং সহগ \(\beta_d,\beta_w,\beta_m\) অতীতের পর্যবেক্ষণ থেকে অনুমান করা হয়; \(\varepsilon_{t+1}\) হলো অবশিষ্ট রিগ্রেশন ত্রুটি।

সাধারণ লিস্ট স্কোয়ার্সে নির্দিষ্ট লক্ষ্যের জন্য নমুনার ভেতরের পূর্বাভাস-ত্রুটির বর্গসমষ্টি কমায় এমন সহগ বেছে নেওয়া হয়। প্রতিটি দৈনিক ল্যাগে আলাদা সহগ অনুমান না করেই সংক্ষিপ্ত রৈখিক বেসলাইন পাওয়া যায়। Corsi (2009) HAR-RV নির্মাণ ও তাঁর তথ্য এবং স্পেসিফিকেশনের পূর্বাভাস-ফল উপস্থাপন করেন; অন্য সম্পদ, সময়কাল বা ভোলাটিলিটি মাপেও একই সহগ বা নির্ভুলতা থাকবে—এ নিশ্চয়তা নেই।

গবেষণাপত্রভেদে নোটেশন বদলায়। কিছু HAR রূপ লগারিদম, অন্য ভোলাটিলিটি এস্টিমেটর, অতিরিক্ত ল্যাগ বা ভিন্ন উইন্ডো ব্যবহার করে। তাই “HAR” নাম আছে বলেই প্রতিটি সমীকরণকে একই ধরে নেবেন না।

সহগ অনুমানের পর সর্বশেষ দৈনিক, সাপ্তাহিক ও মাসিক মান বসিয়ে পরের সেশনের পয়েন্ট পূর্বাভাস হিসাব করুন। পূর্বাভাস তৈরির সময় ভবিষ্যৎ রিগ্রেশন ত্রুটি অজানা, তাই তা বাদ থাকে:

\[ \widehat{RV}_{t+1\mid t}^{(d)} = \widehat{\beta}_0 + \widehat{\beta}_d RV_t^{(d)} + \widehat{\beta}_w RV_t^{(w)} + \widehat{\beta}_m RV_t^{(m)} \]

একটি কাল্পনিক গণনায় ধরা যাক অনুমিত ধ্রুবক \(0.10\ \mathrm{bp}^2\) এবং সহগগুলো \(0.50\), \(0.30\), \(0.15\)। সর্বশেষ দৈনিক মান \(4\ \mathrm{bp}^2\), পাঁচ দিনের গড় \(3\ \mathrm{bp}^2\) এবং 22 দিনের গড় \(2\ \mathrm{bp}^2\) হলে:

\[ 0.10 + 0.50(4) + 0.30(3) + 0.15(2) = 3.30\ \mathrm{bp}^2 \]

এগুলো বোঝানোর জন্য তৈরি কাল্পনিক সংখ্যা; বাজারের তথ্য, ফিট করা ফল বা পারফরম্যান্সের দাবি নয়। নির্ধারিত লক্ষ্য ও এককে এটি পরের সেশনের পূর্বাভাস। বর্গমূল নিলে সেই একই সেশনের জন্য basis point-এ ভোলাটিলিটি পাওয়া যাবে; বার্ষিকীকরণে আলাদা ও স্পষ্ট রীতি দরকার।

এক দিনের পূর্বাভাসকে নাম বদলে এক সপ্তাহের পূর্বাভাস বলা যায় না। ভবিষ্যৎ সপ্তাহের সঞ্চিত বা গড় রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্সকে সরাসরি লক্ষ্য ধরে মডেল অনুমান করা যায়, অথবা এক দিনের পূর্বাভাস বারবার চালিয়ে ভবিষ্যৎ দৈনিক, সাপ্তাহিক ও মাসিক ইনপুট কীভাবে হালনাগাদ হবে তা নির্দিষ্ট করা যায়। স্কোর করার আগেই সময়সীমা স্থির করুন। <!-- learn:illustration -->

ভোলাটিলিটিতে অনেক ল্যাগ জুড়ে স্থায়িত্ব দেখা যায়। দীর্ঘ অটোরিগ্রেশন দিয়ে সেই নির্ভরতা ধরা যায়, তবে অনেক সহগ লাগে। HAR-RV অতীতকে কয়েকটি একে অপরের সঙ্গে মিলে যাওয়া গড়ে সংক্ষেপ করে, ফলে অল্প সহগে দীর্ঘ-স্মৃতির মতো কিছু অভিজ্ঞতামূলক ধরন পুনরুৎপাদন করতে পারে।

“আনুমানিক” শব্দটি গুরুত্বপূর্ণ। Corsi-র গবেষণাপত্রে বলা হয়েছে যে HAR-RV মডেলের প্রকৃত দীর্ঘ-স্মৃতি বৈশিষ্ট্য নেই, যদিও সিমুলেশনে দীর্ঘ-স্মৃতির আর্থিক রিটার্নের সঙ্গে যুক্ত কিছু বৈশিষ্ট্য পুনরুৎপাদন করা যায়। তাই এটি কয়েকটি নির্বাচিত ধরনকে ব্যবহারিকভাবে কাছাকাছি আনে; ডেটার নির্ভরতা ধীরে কমে বলে এটি নিজে থেকেই ফ্র্যাকশনালি ইন্টিগ্রেটেড প্রক্রিয়া হয়ে যায় না।

দৈনিক, সাপ্তাহিক ও মাসিক উপাদানও ঐ সময়ে সক্রিয় বিনিয়োগকারীদের সরাসরি গণনা নয়। ভিন্ন সময়সীমার ধারণা মডেলের অনুপ্রেরণা, কিন্তু রিগ্রেশন বিনিয়োগকারীর ধরন বা উদ্দেশ্য আলাদা করে শনাক্ত করে না এবং স্থায়িত্বের কারণও প্রমাণ করে না। ইনপুট ও পূর্বাভাসের আচরণের মধ্যেই ব্যাখ্যা সীমিত রাখুন।

বড় দামের জাম্পে এমন ভবিষ্যৎ ভোলাটিলিটি-সংক্রান্ত তথ্য থাকতে পারে যা মোট ভ্যারিয়েন্সের একক মাপে আড়াল হয়। Corsi, Pirino ও Reno (2010) থ্রেশহোল্ড বাইপাওয়ার পদ্ধতিতে ধারাবাহিক ও বিচ্ছিন্ন পরিবর্তন আলাদা করে এবং পূর্বাভাসে জাম্প-সংক্রান্ত তথ্য পরীক্ষা করেন। বিশেষ করে জাম্পের পর তাঁদের দেখা উন্নতি সেই এস্টিমেটর, ডেটা ও গবেষণা-নকশার ফল।

জাম্প-সচেতন HAR মডেলে ধারাবাহিক ও জাম্প-সম্পর্কিত মাপ, অথবা সেগুলোর ল্যাগযুক্ত গড়, আলাদা ইনপুট হতে পারে। এতে নতুন সিদ্ধান্ত আসে: জাম্প কীভাবে শনাক্ত হবে, ধারাবাহিক উপাদান কীভাবে অনুমান হবে এবং পূর্বাভাসের সময় জাম্প মাপটি জানা থাকবে কি না। “ধারাবাহিক” ও “জাম্প” মডেলের অধীনে এস্টিমেটর-নির্ধারিত উপাদান; নিখুঁত বিভাজনের নিশ্চয়তা নয়।

অতিরিক্ত চলক এক নমুনায় পূর্বাভাস উন্নত করতে পারে, আর অন্যটিতে অনুমানজনিত নয়েজ বাড়াতে পারে। জাম্প সম্প্রসারণকে বেসলাইন HAR-RV-এর সঙ্গে একই পূর্বাভাস সময়, লক্ষ্য, সময়সীমা ও তথ্যসেটে তুলনা করুন। সব জাম্প ভোলাটিলিটি বাড়ার পূর্বাভাস দেয় বা সম্প্রসারণটি সব বাজারে জিতবে—এমন সিদ্ধান্ত নেবেন না।

HAR-RV সহগ নির্ভর করে অনুমানে ব্যবহৃত রিয়ালাইজড-ভোলাটিলিটি সিরিজের ওপর। স্যাম্পলিং বিরতি, সেশনের সীমানা, দাম পরিশোধনের পদ্ধতি ও অনুপস্থিত পর্যবেক্ষণের নিয়ম সিরিজ বদলাতে পারে। সাপ্তাহিক ও মাসিক রিগ্রেসরগুলো দৈনিক মাপের গড় হওয়ায় একই সিদ্ধান্ত তাদের মধ্যেও থাকে।

পূর্বাভাসের সময়কে লক্ষ্য সময় থেকে আলাদা রাখুন। সেশন শেষে করা পূর্বাভাসের পরের-সেশন লক্ষ্যেও একই সম্পদ, রিটার্ন-সংজ্ঞা, সেশন-পরিসর ও একক থাকা দরকার। মাপে রাতভর রিটার্ন বাদ পড়লে সমন্বয় ছাড়া একে ক্লোজ-টু-ক্লোজ সম্পূর্ণ ভ্যারিয়েন্স বলবেন না। ক্যালেন্ডার উইন্ডো, একে অপরের ওপর পড়া বহু-দিনের সময়সীমা ও ছুটির নিয়ম আলাদা করে সংজ্ঞায়িত করতে হয়।

অন্য মডেলের সঙ্গে তুলনাতেও একই বিষয় প্রযোজ্য। GARCH-এর দৈনিক শর্তাধীন-ভ্যারিয়েন্স পূর্বাভাস আর HAR-RV-এর রিয়ালাইজড-ভ্যারিয়েন্স পূর্বাভাসের লক্ষ্যকাল ও একক না মেলালে তুলনা ঠিক হয় না। MIDAS রিগ্রেশন বিভিন্ন ফ্রিকোয়েন্সির পর্যবেক্ষণ যুক্ত করার অন্য পদ্ধতি; প্রতিটি পূর্বাভাসের সময়ে কোন তথ্য জানা ছিল তা সেখানেও নির্ধারণ করতে হবে।

রিয়ালাইজড ভ্যারিয়েন্স ঋণাত্মক নয়, কিন্তু সীমাহীন রৈখিক রিগ্রেশন সহগ বা পূর্বাভাসকে অঋণাত্মক রাখে না। সাধারণ লিস্ট স্কোয়ার্সে নমুনার বাইরে ঋণাত্মক পূর্বাভাস আসতে পারে। লগ স্পেসিফিকেশন বা সীমাবদ্ধ ফিট ভিন্নভাবে অঋণাত্মক পূর্বাভাস দিতে পারে, তবে তাতে মডেল ও সহগের অর্থ বদলে যায়। পূর্বাভাসে নিম্নসীমা বসানোও মডেলিংয়ের সিদ্ধান্ত—বিজয়ী মডেল দেখার পরে নয়, মূল্যায়নের আগে নিয়মটি নির্ধারণ করুন।

অনুমানের নমুনার বাইরে পূর্বাভাস মূল্যায়ন করুন এবং প্রতিটি সময়ে বাস্তবে উপলব্ধ পূর্বাভাস সংরক্ষণ করুন। প্রক্সি, লক্ষ্য, সময়সীমা, সেশন-পরিসর, একক ও একই মূল্যায়ন তারিখ মেলান। পুনরায় অনুমান ও হালনাগাদের নিয়ম জানান এবং নির্দিষ্ট বেসলাইনের সঙ্গে তুলনা করুন। বাস্তবায়িত মাপ অসম্পূর্ণ প্রক্সি হলে পূর্বাভাসের প্রত্যাশিত ক্রম নির্ভর করে লক্ষ্য ও লস ফাংশনের সঙ্গে তার সম্পর্কের ওপর। Patton (2011) ব্যাখ্যা করেন, প্রক্সির নয়েজ থাকলেই প্রতিটি তুলনা নির্ভরযোগ্য হয় না। QLIKE ও বর্গিত ত্রুটির নির্দেশিকা মূল্যায়নের এসব অনুমান আলোচনা করে।

কম লস মানে নির্বাচিত লক্ষ্য, প্রক্সি, নমুনা ও লস ফাংশনে মডেলটির স্কোর ভালো হয়েছে। এটি প্রমাণ করে না যে মডেল ভোলাটিলিটির কারণ, দৈনিক পূর্বাভাস ট্রেডিং সংকেত, বা খরচ ও ঝুঁকির সীমা মেনে কৌশলটি লাভজনক হবে।