شرح حساب ستراتونوفيتش مقابل إيتو
تعرّف إلى اختلاف تكاملات ستراتونوفيتش وإيتو العشوائية، وكيف تحول حدود انجرافهما، ولماذا يجب أن تذكر نماذج التمويل الاتفاقية
الإجابة المباشرة
يصف حساب إيتو وحساب ستراتونوفيتش الديناميكيات العشوائية نفسها بعد تحويلها على نحو مناسب، لكنهما يقيمان الدوال المليئة بالضوضاء عند نقطتين مختلفتين في كل فترة. ويضيف التحويل حد انجراف من التباين التربيعي، ولذلك لا تكتمل المعادلة حتى تسمى اتفاقية التكامل
تغير نقطة المعاينة التكامل
يستخدم تكامل إيتو معلومات الطرف الأيسر لكل فترة زمنية. وهذا يجعل دالة التكامل تنبؤية ويمنح التكامل خاصية مارتينغال في ظل افتراضات معيارية
ويستخدم تكامل ستراتونوفيتش نهاية شبيهة بنقطة المنتصف. وهو يتبع قاعدة السلسلة العادية على نحو أقرب عند تغير الإحداثيات بسلاسة
لا تكون أي من الصياغتين أكثر واقعية تلقائيا. وتتبع الاتفاقية المناسبة حد النمذجة وتدفق المعلومات والكمية الممثلة
يغير تحويل الاتفاقيات الانجراف
بالنسبة إلى انتشار أحادي البعد، تتحول dX = a(X)dt + b(X)∘dW بصيغة ستراتونوفيتش إلى dX = [a(X) + 1/2 b(X)b'(X)]dt + b(X)dW بصيغة إيتو
والحد الإضافي ليس تعديلا اختياريا. إنه ناتج عن التغاير التربيعي المشترك بين دالة التكامل المعتمدة على الحالة والحركة البراونية
عندما تكون b ثابتة، تكون b' صفرا وتتفق الصياغتان. وهنا يصبح التقلب المعتمد على الحالة هو موضع كلفة الخلط الصامت
يكشف مثال الضوضاء الضربية الفرق
خذ b(X) = σX وانجراف ستراتونوفيتش يساوي صفرا. يكون انجراف إيتو المكافئ 1/2σ²X
باستخدام σ = 40% يجعل ذلك التصحيح 8% من X سنويا قبل أي انجراف اقتصادي محدد على حدة
وهذا الرقم تغير في التمثيل، لا عائد سهم متوقعا ولا ألفا قابلة للتداول. ويجب أن يحدد نموذج التمويل مقياسه وحمله وتوزيعات أرباحه وقيوده أيضا [!TRYMARK] احتفظ بالاتفاقية مع السيناريو عند تاريخ أو نقطة فحص للأرباح، سجل مدخل السهم وافتراض التقلب والنتيجة المستهدفة وما إذا كان النموذج يستخدم ديناميكيات إيتو أو ستراتونوفيتش. فقد يغير انجراف منسوخ دون اتفاقيته نتيجة Path قبل تحرك السوق
تذكر نماذج التسعير عادة ديناميكيات إيتو
تستخدم نماذج تسعير الأصول المستمرة عادة عمليات إيتو لأن استراتيجيات التداول ذاتية التمويل متكيفة مع المعلومات المتاحة قبل الصدمة التالية
وتكتب لمّة إيتو ومقاييس مارتينغال واشتقاق بلاك–شولز القياسي بهذه الاتفاقية
قد تنتج النماذج الفيزيائية المشتقة من حدود الضوضاء الملونة معادلات ستراتونوفيتش بصورة طبيعية. حوّلها قبل دمجها مع حساب تسعير أو تحوط بإيتو
لا يصلح التحويل مخاطر النموذج
قد تكون المعادلة محوّلة بصورة صحيحة، ومع ذلك تحذف القفزات أو التقلب العشوائي أو السيولة أو التحوط المتقطع أو المعلمات غير الملائمة
تحتاج الأنظمة متعددة الأبعاد إلى مصفوفة يعقوبي كاملة وبنية تغاير، لا إلى اختصار عددي مفرد من نوع نصف b مضروبة في b-prime
اذكر دائما المعادلة التفاضلية العشوائية واتفاقية التكامل ومقياس الاحتمال ووحدة الزمن وتفسير الضوضاء قبل مقارنة النتائج
أسئلة شائعة
هل حساب ستراتونوفيتش أصح من إيتو؟
لا. إنهما وصفان متكافئان عند تحويلهما بصورة صحيحة. وتعتمد الصيغة المناسبة على كيفية نشوء النموذج العشوائي وكيفية استخدامه
لماذا يتغير الانجراف أثناء التحويل؟
يمكن أن تتحرك دالة التكامل مع الحركة البراونية عندما تعتمد على الحالة. ويبقى تغايرها التربيعي المشترك كتعديل انجراف منته
هل يمكنني استخدام قاعدة السلسلة العادية مع عملية إيتو؟
ليس مباشرة. تضيف لمّة إيتو حدا من الرتبة الثانية من التباين التربيعي. وتعيد صياغة ستراتونوفيتش القاعدة ذات الشكل العادي، لكن باتفاقيتها الخاصة