شرح لمّة إيتو في تسعير الخيارات

للمسار الحتمي الأملس x(t)، يوصف تغير f(t, x) محليا بمشتقتها الزمنية ومشتقتها الأولى بالنسبة إلى x

مسار الانتشار مستمر لكنه غير قابل للاشتقاق بسلاسة بالمعنى العادي. وتتدرج زيادته العشوائية خلال فترة قصيرة مثل الجذر التربيعي للزمن

يجعل ذلك التدرج حد تايلور من الرتبة الثانية كبيرا بقدر حد زمني عادي. وإسقاطه يزيل الأثر الذي يظهر لاحقا كجاما في تسعير الخيار

اكتب زيادة براونية على هيئة dW. في حساب إيتو، يسهم dW² بمقدار dt، بينما يتلاشى dt² وdt·dW عند الرتبة ذات الصلة

هذا اختصار لنهاية مسارية: إذ يقترب مجموع مربعات الزيادات البراونية من الزمن المنقضي كلما أصبحت القسمة أدق

وليس جبرا عاديا يقول إن كل صدمة عشوائية مربعة تساوي الزمن. فالقاعدة تخص التكامل العشوائي واتفاقية حده

افترض dS = μSdt + σSdW، وأن قيمة الخيار هي V(t, S). تعطي لمّة إيتو تغيرها العشوائي المحلي

الانجراف هو Vₜ + μS Vₛ + one-half σ²S²Vₛₛ. والحد العشوائي هو σS VₛdW، حيث تشير الرموز السفلية إلى المشتقات الجزئية

تضرب دلتا Vₛ الصدمة من الرتبة الأولى، بينما تدخل جاما Vₛₛ في انجراف الرتبة الزمنية عبر التباين التربيعي

حتى عندما يكون متوسط صدمة السعر العشوائية المشروط صفرا، يجعل التحدب الحركتين الموجبة والسالبة تؤثران في قيمة الخيار بشكل غير متماثل

يقيس الحد one-half σ²S²Gamma مساهمة هذا التحدب المحلي. ويزيد التقلب الأعلى المعدل الذي تتراكم به القيمة النموذجية لعائد منحني

وهذا لا يعني أن جاما الطويلة تحقق ربحا مضمونا. فتحدد ثيتا والعلاوة المدفوعة والمسارات المحققة والقفزات وتغيرات الانحراف والتكاليف الربح والخسارة الفعليين

اجمع خيارا مع دلتا سالبة في الأصل. وتحت افتراضات الانتشار، تلغى حدود dW لحظيا

وتصبح المحفظة المحلية المتبقية خالية من المخاطر في النموذج، ولذلك تفرض انعدام المراجحة أن تحقق معدل الفائدة الخالي من المخاطر بعد معالجة متسقة لتوزيعات الأرباح أو الحمل

وبإحلال هذا الشرط تزول μ وتنتج معادلة بلاك–شولز التفاضلية الجزئية. فالتكرار، لا توقع العائد، هو الذي يحدد علاقة السعر

مع عدة انتشارات مترابطة، يشمل التوسع مشتقات ثانية متقاطعة موزونة بالتغاير. وتربط هذه الحدود الارتباط بالتحدب المشترك

يغير تغيير عملية الحالة مولّد العملية ومعادلة التسعير. وتستخدم نماذج التقلب المحلي والتقلب العشوائي ونماذج الفائدة توسعات إيتو ذات صلة

بالنسبة إلى الدوال غير الملساء بما يكفي، تحتاج الحدود والكسور إلى معالجة ضعيفة أو معممة أو عددية بدلا من اشتقاق عابر

لا تلائم عملية القفز قاعدة براون المستمرة وحدها. وتتضمن صيغة تغيرها مساهمات قفزية منفصلة، وغالبا ما تؤدي إلى معادلة تكاملية تفاضلية

التحوطات الحقيقية متقطعة ومكلفة، ولذلك لا يلغي إلغاء حد dW متناه الصغر خطر الفجوة أو السيولة أو المعلمات أو التنفيذ

استخدم لمّة إيتو لفهم آليات النموذج، ثم اذكر العملية والنعومة والمقياس وافتراضات التداول قبل تفسير سعر أو عامل حساس