اختبار كواندت–أندروز: اختبار sup-Wald لتاريخ انقطاع مجهول

يجيب اختبار تشاو عن سؤال محدد: هل تغيرت معاملات الانحدار في تاريخ اختير قبل فحص النتائج؟ في كثير من التطبيقات المالية أو الاقتصادية الكلية لا يوجد تاريخ واحد يمكن تبريره مسبقاً. وتجربة تواريخ متعددة ثم الإبلاغ عن أكثر نتائج تشاو دلالة تجعل اختيار التاريخ جزءاً من الاختبار؛ لذلك تتجاهل القيم الحرجة المعتادة لتاريخ واحد عملية البحث.

تعالج طريقة كواندت ذات النظامين والإطار التقاربي اللاحق لأندروز هذه المسألة بتقييم إحصائية عبر مجموعة تواريخ انقطاع مرشحة. وفي الانحدار الخطي التطبيقي يسمى الحد الأقصى عادة نسبة ترجيح كواندت (QLR) أو sup-F أو sup-Wald، تبعاً للإحصائية الدقيقة ومعالجة التغاير. وقد طور أندروز اختبارات sup-Wald وLM واختبارات شبيهة بنسبة الترجيح لنماذج معلمية أوسع ذات نقطة تغير مجهولة (Quandt, 1960؛ Andrews, 1993).

النطاق هنا محدود عمداً: اختبار احتمال تغير واحد في علاقة انحدار محددة مع جهل تاريخه. لا يقدّر الاختبار عدداً مجهولاً من الانقطاعات، ولا يفسر سبب التغير، ولا يحدد فرصة تداول. تتناول إرشادات Bai–Perron المسألة المختلفة المتمثلة في نمذجة تواريخ انقطاع متعددة مجهولة.

لنفترض أن العينة المرتبة تضم مشاهدات (t=1,ldots,T)، ومتغير نتيجة (y_t)، ومتجه متغيرات تفسيرية (x_t). نموذج التغير الكامل بانقطاع واحد هو

yₜ = xₜ′β₁ + uₜ, t ≤ k yₜ = xₜ′β₂ + uₜ, t > k

حيث إن (k) آخر مشاهدة في النظام الأول. تحت فرضية العدم بعدم وجود انقطاع، يتساوى متجها المعاملات المختبران: (H₀: β₁ = β₂). وتقول الفرضية البديلة بوجود انقطاع إنهما يختلفان في تاريخ مسموح واحد على الأقل. ويمكن لنموذج التغير الجزئي السماح بتغير مجموعة فرعية محددة مسبقاً من المعاملات فقط؛ وهذا يغير عدد القيود والتوزيع المرجعي. حدّد المعاملات المسموح بتغيرها.

يلزم ترتيب يجعل لتاريخ الانقطاع معنى. ففي العوائد اليومية يكون (k) عادة رقم جلسة تداول لا يوماً تقويمياً بالضرورة. وقد تغير المشاهدات المفقودة والعطلات والأسواق غير المتزامنة وترحيل العقود وتغيير تعريف المتغير المستهدف معنى «قبل» و«بعد». عرّف العينة وقاعدة التاريخ قبل تفسير التقسيم المختار كحدث.

الرفض دليل ضد نموذج المعاملات الثابتة المحدد، لمصلحة بديل ما بانقطاع واحد ضمن المجال الذي جرى البحث فيه. ولا يثبت أن إعلاناً بعينه تسبب في الانقطاع، أو أن المتغيرات التفسيرية خارجية، أو أن معاملات ما بعد الانقطاع ستستمر. إذا كان المتوسط الشرطي أو ديناميكية الأخطاء أو عملية القياس محددة على نحو خاطئ، فقد يستجيب الاختبار لذلك بدلاً من تحول واضح في المعلمات.

يترك التاريخ القريب من طرف العينة مشاهدات قليلة جداً لتقدير أحد الجانبين بثبات. وتستبعد نسبة التشذيب (\varepsilon) هذه الأطراف، وتحصر البحث في نسب الانقطاع (lambda=k/T) ضمن مجال محدد مسبقاً مثل ([\varepsilon,1-\varepsilon]). وفي العينة المتقطعة تحول التطبيقات هذا المجال إلى تواريخ صحيحة وتضمن عدداً كافياً من المشاهدات ورتبة كاملة لمصفوفة المتغيرات في كلا الجزأين. أبلغ عن القاعدة الدقيقة، بما في ذلك ما إذا كان (k) آخر مشاهدة قبل الانقطاع أم أول مشاهدة بعده.

لكل (k) مسموح، قدّر نموذج العدم المجمع ونموذج النظامين المقابل، ثم احسب إحصائية لقيود تغير المعاملات. في حالة OLS الكلاسيكية مع أخطاء مستقلة ومتجانسة التباين ومجموعة متغيرات مشتركة، يمكن التعبير عنها بانخفاض مجموع مربعات البواقي. مع الأخطاء الطبيعية، تتبع إحصائية تاريخ محدد مسبقاً توزيع F دقيقاً في العينة المحدودة؛ ومن دون الطبيعية لا تلزم هذه النتيجة الدقيقة. أما صيغة Wald فتقيّم فرق المعاملات المقدر نسبة إلى تغايره المقدر. ومع عدم تجانس التباين أو الارتباط التسلسلي يلزم تغاير متين وطريقة مرجعية ملائمة؛ فتغيير الخطأ المعياري وحده لا يجعل حد F المعتاد صالحاً بعد البحث عن التاريخ.

التشذيب جزء من تصميم الاختبار وليس إعداداً شكلياً. التشذيب الأكبر يقصر البحث ويتجنب الأنظمة الصغيرة جداً لكنه يستبعد الانقطاعات القريبة من الأطراف. والتشذيب الأقل يضم تلك التواريخ، لكنه يجعل التقريبات التقاربية والتقديرات في العينات المحدودة أكثر هشاشة. اختر المجال بناءً على حجم العينة وأبعاد النموذج والسؤال الموضوعي قبل رؤية موضع ذروة الإحصائية.

<!-- learn:illustration -->

لتكن (W(k)) إحصائية Wald لقيود المعاملات المحددة عند التاريخ المرشح (k). تكون إحصائية sup-Wald لانقطاع واحد

supW = max{k ∈ K} W(k)

حيث تمثل (K) مجموعة التواريخ المسموح بها بعد التشذيب. وفي التطبيق الكلاسيكي للانحدار الخطي، غالباً ما تؤخذ أكبر إحصائيات Chow F عند التواريخ المرشحة ويبلغ عنها كإحصائية sup-F أو QLR. والتاريخ الذي يحقق الحد الأقصى (hat{k}=argmax_{kin K} W(k)) هو الذي يعطي أكبر إحصائية في هذا البحث؛ إنه تقدير مختار، لا فترة ثقة ولا توقيت دقيق للتغير الاقتصادي.

هذه التسميات مرتبطة لكنها ليست قابلة للاستبدال دائماً. فقد يكون لاختبار Chow F متجانس التباين عند تاريخ ثابت توزيع F دقيق في عينة محدودة ضمن افتراضاته. لكن الحد الأقصى عبر التواريخ، وإحصائية sup-Wald تقاربية ذات تغاير متين، وإحصائية نسبة الترجيح لا يلزم أن تتطابق قيمها أو قيمها الحرجة. أبلغ عن الإحصائية التي حسبتها ومقدر التغاير وقاعدة التشذيب ومصدر القيم الحرجة بدلاً من الاكتفاء بتسمية «QLR».

إحصائيات التواريخ المرشحة مترابطة بشدة لأن التقسيمات المتجاورة تعيد استخدام معظم المشاهدات نفسها. ولا يعادل الاختبار اختيار أصغر قيمة p لتاريخ ثابت، أو ضربها بعدد التواريخ، أو معاملة كل تاريخ كاختبار مستقل. ويجب أن يعكس التوزيع الصفري المستخدم البحث عن القيمة القصوى.

تحت فرضية عدم وجود انقطاع، لا يوجد تاريخ انقطاع حقيقي لتقديره. يظهر معامل التاريخ تحت البديل ويختفي تحت العدم، لذا لا تنطبق حجج الانتظام المعتادة لاختبار Wald أو F في تاريخ محدد مسبقاً. لذلك ينتج عن أخذ الحد الأقصى عبر التواريخ المرشحة توزيع تقاربي غير قياسي. ومقارنة هذا الحد بقيمة F معيارية تبالغ عموماً في الدليل ضد الاستقرار.

اشتق أندروز توزيعات تقاربية وقِيماً حرجة لاختبارات sup-Wald وLM والاختبارات الشبيهة بنسبة الترجيح، ويحدد طرفا التشذيب وعدد القيود مجال البحث (1993). كما تعتمد القيم المناسبة على النموذج وافتراضات التغاير. استخدم جدولاً أو تطبيقاً أو تقريباً يطابق الاختبار تحديداً؛ ولا تستعر قيمة حرجة لنسبة تشذيب أو عدد قيود مختلف. نشر أندروز تصحيحاً لاحقاً لأن بعض القيم الحرجة لاختبارات sup ذات القيود الثمانية كانت منخفضة أكثر من اللازم، ولذلك يلزم الرجوع إلى الجدول المصحح في تلك الحالة (تصحيح 2003). وقدم هانسن تقريبات عددية للقيم الاحتمالية التقاربية لاختبارات التغير الهيكلي (1997).

اشتق أندروز وبلوبرغر أيضاً اختبارات متوسطة وأسّية لمعاملات إزعاج لا تظهر إلا تحت الفرضية البديلة (1994). وهي إجراءات مرتبطة تراعي البحث، وليست أسماء أخرى لـsup-Wald. إذا استخدمت bootstrap أو معايرة أخرى للعينة المحدودة، فاشرح أسلوب إعادة المعاينة وبيّن أنه يعيد إنتاج بنية العدم والبحث نفسه؛ فالـbootstrap العام لا يعالج اختيار التاريخ أو الاعتماد تلقائياً.

انظر إلى انحدار افتراضي صغير عمداً يقتصر على ثابت، بمشاهدات

y = [0, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 3, 3, 3, 3, 3]

لدينا (T=12) مشاهدة. للتوضيح، اختر (\varepsilon=0.25)، بحيث يحتوي كل جزء على ثلاث مشاهدات على الأقل ويكون آخر تاريخ قبل الانقطاع (k=3,ldots,9) مرشحاً. هذا مثال لحساب البحث، وليس توصية بنسبة تشذيب أو عينة للاستدلال.

المتوسط المجمع هو (23/12)، ومجموع مربعات بواقي النموذج المجمع هو

RSS₀ = Σ yₜ² − (Σ yₜ)²/12 = 59 − 529/12 = 179/12

عند المرشح (k=6)، يكون مجموع وقيم مربعات الجزء الأول 5 لكل منهما، ولذلك يكون مجموع مربعات بواقيه (5−5²/6=5/6). ويحتوي الجزء الثاني ست قيم مقدار كل منها 3، فيكون مجموع مربعات بواقيه صفراً. ومن ثم (RSS₁(6)=5/6). ومع قيد واحد وثابتين مقدرين للجزأين، تكون إحصائية التاريخ الثابت

F(6) = [(RSS₀ − RSS₁(6))/1] / [RSS₁(6)/(12−2)] = 169

يعطي تطبيق الحساب نفسه على المرشحين السبعة قيم F تقريبية (7.21, 12.10, 25.28, 169.00, 20.71, 8.94, 4.59) بالترتيب (k=3,ldots,9). إذن sup-F هو الحد الأقصى 169 عند (k=6). يتحقق الحساب من المرشح الذي يحقق أقصى قيمة لهذه السلسلة المصطنعة، لكنه لا يقدم قيمة p. وبما أن التاريخ جرى البحث عنه، يجب مقارنة 169 بقيمة حرجة غير معيارية تراعي البحث وتصميم الاختبار، لا بتوزيع F المعتاد لتاريخ ثابت.

يعني الرفض أن فرضية المعاملات الثابتة لا تتفق، عند مستوى الدلالة المختار وبناءً على افتراضات الاختبار وقيمه الحرجة، مع أكبر إحصائية في المجال المسموح. ولا يثبت وجود انقطاع وحيد محدد بدقة. قد تتشابه إحصائيات تواريخ متجاورة، وقد تتحرك الذروة الظاهرة بتغيير طرف العينة أو التشذيب أو المتغيرات التفسيرية أو أسلوب التغاير. أبلغ عن مسار الإحصائيات المرشحة أو تحليل مناسب لعدم اليقين في التاريخ بدلاً من تقديم (hat{k}) كتوقيت دقيق.

عدم الرفض لا يثبت استقرار المعاملات. فقد تكون قوة الاختبار منخفضة لتغير صغير أو قريب من طرف مستبعد بالتشذيب أو لمعامل غير داخل في القيود المختبرة. وقد يفوّت اختبار الانقطاع الواحد عدة تغيرات يلغي بعضها أثر بعض جزئياً. وبالمقابل، قد ينتج دليل عدم الاستقرار عن قيمة شاذة أو تغير التباين أو ديناميكيات محذوفة أو تغيير تعريف البيانات أو تكرار البحث عن المواصفات. يجيب الاختبار عن سؤال إحصائي محدود ولا يحدد السبب.

يُختار التاريخ المقدر باستخدام بيانات الاختبار نفسها. فلا تتعامل معه كأنه تاريخ حدث محدد مسبقاً لإجراء اختبار دلالة ثانٍ غير مصحح ثم الادعاء بوجود تأكيد مستقل. إذا وجّه التاريخ تحديث التنبؤ أو قاعدة تداول، فحدّد القاعدة وقيّمها على بيانات لاحقة؛ فإحصائية sup داخل العينة لا تثبت استمرار ما بعد الانقطاع أو القيمة الاقتصادية.

يطرح نموذج Hidden Markov أو تبديل الأنظمة سؤالاً مختلفاً: هل يمكن تمثيل المشاهدات بحالات كامنة قد تتغير مراراً وفق احتمالات انتقال؟ أما اختبار الانقطاع الواحد المجهول فيتناول تقسيماً ثابتاً واحداً إلى قبل وبعد ضمن مجاله. قد تتكامل الطرق، لكن افتراضاتها ومخرجاتها غير قابلة للاستبدال؛ راجع دليل تبديل الأنظمة.

اذكر متغير النتيجة والمتغيرات التفسيرية، وما إذا كان التغير كاملاً أم جزئياً، وقيود المعاملات المختبرة، وتواريخ العينة وترتيبها، وقاعدة تحديد تاريخ الانقطاع. أبلغ عن (T)، وعدد القيود، ونسبة التشذيب أو مجموعة التواريخ المرشحة الدقيقة، والحد الأدنى لحجم كل جزء، وما إذا كانت الإحصائية sup-Wald أو sup-F/QLR أو sup-LM أو إجراءً آخر. ضمّن مقدر التغاير وطريقة حساب القيمة الحرجة أو p وأي تصحيح للعينة المحدودة.

اعرض الإحصائية عبر التواريخ المرشحة وأبلغ عن التاريخ الذي يحقق الحد الأقصى كموقع مختار، مع معلومات عدم اليقين أو الحساسية عند توفرها. وضح ما إذا كان النموذج وتصميم الاختبار محددين مسبقاً، وكيف عولجت المشاهدات المفقودة والبيانات الآنية، وأي عينات أو متغيرات تفسيرية بديلة جرى فحصها. إذا كان التحليل للتنبؤ، فاحصر البحث عن الانقطاع في عينة التدريب وقيّم النموذج المعدّل على بيانات لاحقة لم تُستخدم من قبل.

لا تحدد الدلالة الإحصائية لاختبار انقطاع مجهول سبب حدث ولا تثبت وجود نظام مربح. والنتيجة غير الدالة لا تصادق على الاستقرار. يقتصر الاستنتاج القابل للدفاع على بديل الانقطاع الواحد المحدد، ومجال التواريخ المشذّب، والانحدار والعينة وطريقة الاستدلال التي تراعي البحث.