شرح معادلتي كولموغوروف الأمامية والخلفية

تستخدم عملية ماركوف مؤثر الانتقال P_{s,t}g(x) = E[g(X_t) | X_s=x] لنقل دالة مستقبلية إلى الحالة الحالية

تقول علاقة تشابمان–كولموغوروف P_{s,t}P_{t,u} = P_{s,u} إن إدخال زمن وسيط لا يغير الانتقال

المعادلتان الأمامية والخلفية وجهان تفاضليان لعائلة شبه الزمرة أو عائلة التطور ذات المعلمتين نفسها

لـ dX_t = b(t,X_t)dt + σ(t,X_t)dW_t يكون المولد L_tφ = b∂_xφ + 1/2a∂_{xx}φ مع a = σ²

ويعمل على دوال اختبار الحالة ويلخص تغيرها الشرطي اللحظي

يعتمد المولد على العملية وفضاء الحالة والمجال وسلوك الحدود؛ فالتعبير التفاضلي الشكلي وحده غير كامل

لدالة نهائية g، عرّف u(s,x) = E[g(X_t) | X_s=x] مع s ≤ t

في ظل انتظام مناسب تحقق u المعادلة ∂_s u + L_su = 0 والشرط النهائي u(t,x) = g(x)

وهي خلفية لأن دالة النهاية ثابتة، بينما يتحرك زمن التكييف s نحو الحاضر

يُعرَّف المرافق L_t† بالعلاقة ∫φ L_t†ρ dx = ∫ρ L_tφ dx بعد معالجة حدود التكامل

بالنسبة إلى انتشار أحادي البعد، L_t†ρ = -∂_x(bρ) + 1/2∂_{xx}(aρ)

ينقل المرافق المولد من دوال الاختبار إلى الكثافات، ويعكس المشتقات حيث يتطلب التكامل بالأجزاء ذلك

إذا كانت ρ(t,x) كثافة الحالة، فإنها تحقق ∂_tρ = L_t†ρ انطلاقًا من توزيعها الابتدائي

وتطور المعادلة نفسها لكثافة انتقال متغير الوجهة، مع تثبيت نقطة البداية

يحدد التطبيع وعدم السلبية والتدفق وشروط الحدود ما إذا كان الحل الشكلي قانون احتمال صالحًا

يحل تقييم المشتقات عادةً معادلة خلفية انطلاقًا من مردود نهائي، ويضيف الخصم حد قتل

أما التنبؤ بالتوزيع ومنحنيات الانكشاف ومعايرة الكثافة وبعض حسابات المخاطر فتحل المعادلة الأمامية انطلاقًا من قانون الحالة اليوم

ينبغي أن يتفق الناتجان بالتكامل: فقيمة خلفية تساوي المردود المستقبلي مدموجًا مع كثافة الانتقال الأمامية

تفرض الحدود الماصة والعاكسة وحدود الدخول والحدود غير القابلة للوصول شروطًا مختلفة للقيمة وتدفق الاحتمال

افحص حفظ الكتلة أو فقدانها المقصود والموجبية والبيانات النهائية والابتدائية وتقطيع المرافق والتقارب مع اتساع الشبكات

يمكن لتقدير مستقل بمونت كارلو أن يكشف أخطاء الإشارة والانجراف والحدود واتجاه الزمن في أي محلل للمعادلات التفاضلية