اختبار احتواء التوقعات: هل يتضمن أحد التوقعين معلومات الآخر؟

لنفترض أن A وB يتنبآن بالقيمة نفسها y في التاريخ والأفق نفسيهما. لا يكتفي اختبار الاحتواء بالسؤال عن أيهما سجل خطأ أصغر في الماضي، بل يسأل: بعد أن نعرف توقع A، هل يحتوي توقع B على إشارة إضافية يمكن أن تحسن توقع A وفق صياغة خطية محددة؟ إذا لم يضف B معلومات تنبؤية ضمن ذلك التصميم، يقال إن A يستوعب B، أو إن B لا يضيف ما يكفي لتحسين A.

تعود فكرة تقييم احتواء التوقعات إلى مقارنة النماذج الاقتصادية الخطية، ومنها عرض Chong وHendry عام 1986 Econometric Evaluation of Linear Macro-Economic Models {source:chongHendry1986ForecastEncompassing}. المهم أن كلمة «يستوعب» تصف علاقة مشروطة بين توقعات بعينها وفرضية بعينها؛ ولا تعني أن النموذج A صحيح في كل الأوقات أو أن B عديم الفائدة في سياق آخر.

إذا كان أحد التوقعين أدنى RMSE، فهذا ترتيب لخسارة العينة وفق مقياس محدد. أما الاحتواء فيتناول المحتوى المعلوماتي الإضافي الذي يقدمه توقع منافس بالنسبة إلى توقع مرجعي. يمكن أن يختلف الترتيب بين السؤالين، فلا تستنتج الاحتواء من ترتيب RMSE وحده.

الجذر التربيعي لمتوسط مربعات الأخطاء (RMSE) هو √[(1/n) Σₜ₌₁ⁿ eₜ²]، أي الجذر التربيعي لمتوسط مربعات أخطاء التوقع في هذه العينة.

ينبغي أن يتنبأ f_A,t وf_B,t بالهدف y نفسه، انطلاقًا من تاريخ إصدار المعلومات نفسه، ولأفق زمني واحد. وحّد تعريف الهدف ووحدته، وطوابع الزمن، والعينة، وقاعدة التعامل مع المشاهدات المفقودة. فتوقع إغلاق الغد لا يقارن مباشرة بمتوسط الأيام الخمسة المقبلة، حتى لو حمل الاثنان اسم توقع العائد.

استخدم التوقعات كما كانت متاحة عند كل نقطة إصدار، لا نسخًا أعيد تقديرها بمعلومات مستقبلية. احتفظ بتاريخ البيانات والنموذج، وحوّل أسعار الأصول أو البيانات الاقتصادية المعدلة وفق قواعد معلنة. إذا اختيرت الفترة أو المواصفات بعد رؤية النتيجة، فيجب وصف ذلك ضمن عملية البحث بدل تقديمه على أنه تحقق مستقل خارج العينة.

عرّف الخطأ بتوقيع واضح: e_A,t = y_t − f_A,t، وفرق التوقعات d_t = f_B,t − f_A,t. اكتب الاصطلاح قبل حساب أي معامل؛ فتبديل ترتيب A وB يعكس إشارة d ومعامل المزج. لا يغيّر ذلك المعلومات الكامنة، لكنه يغيّر تفسير الإشارة.

يمكن بناء مزيج خطي تجريبي على الصورة f_C,t = f_A,t + w d_t، أي f_C,t = (1−w)f_A,t + w f_B,t. وتساعد انحدارية الخطأ e_A,t على ثابت وd_t في فهم قيمة w: إذا كان الفرق بين التوقعين مرتبطًا بأخطاء A، فقد يحمل معلومة خطية إضافية. في هذا التمثيل يكون الميل تقديرًا للوزن الإضافي الممنوح إلى B، بينما يمتص الثابت متوسط انحياز A.

لكن هذا التفسير ليس تعريفًا موحدًا لكل اختبارات الاحتواء. فقد تقيد بعض الصياغات الثابت أو انحياز التوقع، وتستخدم أخرى توقعًا مرجعيًا أو معلومات شرطية مختلفة، وتختبر اتجاهًا أحادي الطرف أو قيودًا مشتركة. وقد تتغير المعالجة الملائمة عندما تكون المعاملات مقدرة أو عندما تكون النماذج متداخلة. لذلك يجب ذكر الاختبار والفرضية وشروطه، لا تقديم انحدار واحد أو قيمة حرجة واحدة كأنها قانون عام.

يمكن أن تقع الأوزان المقدرة خارج المجال [0,1]. فهذا يعني أن أفضل تركيب خطي في العينة استقرأ خارج التوقعين بدل الوقوع بينهما. وقد يفرض تطبيق ما أوزانًا غير سالبة أو مجموعًا يساوي واحدًا، لكن القيود تختلف حسب الطريقة. اذكرها، ولا تحوّل وزنًا غير مقيد إلى وزن مقيد من غير إعادة التقدير.

في الانحدار التوضيحي e_A,t = α + β d_t + u_t، يكون الميل السكاني مع ثابت β = Cov(e_A,d)/Var(d)، بشرط Var(d)>0. لذلك تعني β=0 عدم وجود ارتباط خطي بين خطأ A وفرق التوقعات بعد السماح بانحياز ثابت؛ ولا تنفي علاقة غير خطية أو معلومات أخرى.

أما في انحدار بلا ثابت، فالميل السكاني يساوي E[e_A d]/E[d²] إذا كان E[d²]>0، وشرط الميل الصفري هو العزم التقاطعي E[e_A d]=0. لا يساوي هذا العزم التغاير الصفري إلا إذا كان E[e_A]=0 أو E[d]=0. وفي معادلة ذات ثابت، α=0 قيد منفصل؛ وعند β=0 يفرض أن يكون متوسط خطأ A صفرًا. لذا يضيف اختبار α=0 قيد عدم الانحياز ولا يختبر المعلومات الإضافية وحدها.

يحوّل اختبار بعينه سؤال المعلومات الإضافية إلى قيود على معاملات أو فروق توقعات. قد يضم ثابتًا لالتقاط الانحياز، أو يفحص ميلًا إضافيًا، أو يستخدم معلومات متاحة عند نقطة التوقع. كذلك قد تكون الفرضية البديلة أحادية الطرف إذا كان السؤال محددًا مسبقًا بأنه تحسن A، أو ثنائية الطرف إذا كان السؤال عن وجود أي علاقة إضافية. يغيّر كل اختيار ما تختبره الإحصائية وما يلزم لتقدير عدم اليقين.

لذلك فالميل المحسوب في انحدار توضيحي ليس تلقائيًا إحصائية اختبار الاحتواء المنشورة في كل مرجع. قبل النظر إلى قيمة p، طابق الاختبار مع علاقة النموذجين، وموعد تقدير المعاملات، وتصميم خارج العينة، وافتراضات الأخطاء. وعندما تكون النتيجة حساسة لتلك الخيارات، اعرضها بدل اختيار صياغة واحدة بعد معرفة أيها يعطي نتيجة مرغوبة.

<!-- learn:illustration -->

لنفترض أن الفروق d بوحدة نقاط أساس هي [−4، −2، −1، 1، 2، 4]، وأن أخطاء A هي [−1.6، −1.2، 1.5، 0.5، 1.3، 1.5]، ولدينا n = 6. متوسط d يساوي صفرًا، ومتوسط e_A يساوي 1/3 نقطة أساس. مجموع مربعات d هو 42، ومجموع d مضروبًا في انحراف e_A عن متوسطه يساوي 16.4.

لذلك، في انحدار المربعات الصغرى العادي مع ثابت، يكون الميل w = 16.4/42 ≈ 0.3905، والثابت 1/3 نقطة أساس. يعطي المثال تركيبًا خطيًا ملائمًا داخل العينة: f_C = f_A + 0.3905(f_B−f_A). لا يختبر هذا الحساب ما إذا كان الميل مختلفًا إحصائيًا عن الصفر، ولا ما إذا كان المزج يحسن توقعات مستقبلية.

ست مشاهدات لا تكفي لاستخراج قيمة p أو استنتاج احتواء أو تفوق. يلزم تصميم عينة مناسب، وتقدير عدم يقين يطابق بنية الأخطاء وطريقة إنتاج التوقعات. كما أن اختيار الوزن وقياس أدائه على المشاهدات الست نفسها يجعل التقييم داخل العينة بطبيعته.

في المعنى المبسط هنا، فرضية «A يحتوي B» هي أن B لا يقدم إشارة إضافية ذات صلة بعد أخذ A في الحسبان، أو أن وزن التحسين المحدد يساوي صفرًا. لكنها ليست فرضية واحدة بصيغة اختبارية عالمية. ينبغي معرفة ما إذا كان الاختبار يسمح بانحياز، وما المعلومات الشرطية التي يدخلها، وهل البديل أحادي الاتجاه نحو تحسن A، وكيف يعالج معاملات النموذج المقدرة.

ناقش Harvey وLeybourne وNewbold (1998) اختبارات احتواء التوقعات، وأشاروا إلى أن اختبار المربعات الصغرى لا يكون متينًا أمام أخطاء غير طبيعية، مع بحث بدائل Tests for Forecast Encompassing {source:harveyLeybourneNewbold1998ForecastEncompassing}. ولهذا لا تكفي قراءة معامل OLS وقيمة p الافتراضية لبرنامج ما من دون فحص الفرضيات والتوزيع المرجعي.

كما أن p أكبر من 0.05 لا يثبت التكافؤ أو أن B بلا قيمة. قد تعكس النتيجة عينة قصيرة أو خطأ معياريًا كبيرًا أو اختبارًا ضعيف القدرة. الاستنتاج المناسب هو أن البيانات، وفق هذا التصميم وافتراضاته، لم توفر دليلًا كافيًا ضد الفرضية المحددة عند عتبة الاختبار؛ ولا أكثر من ذلك.

اختبار Diebold–Mariano يقارن متوسط خسارة توقعين متزامنين. أما الاحتواء فيسأل عن المعلومة الإضافية في توقع منافس بالنسبة إلى توقع مرجعي. لذلك يمكن لتوقع أن يحقق RMSE أقل من دون أن يضيف B معلومات خطية مفيدة إلى A، والعكس ممكن أيضًا. انظر اختبار Diebold–Mariano لدقة التوقع.

يعالج Clark–West تعديلًا لمقارنة دقة التوقع خارج العينة بين نماذج خطية متداخلة، حيث تضيف ضوضاء تقدير المعاملات الإضافية تعقيدًا إلى توزيع الاختبار. ناقش Clark وMcCracken (2001) قضايا التوزيع لاختبارات دقة التوقع والاحتواء لتوقعات خطوة واحدة من نماذج خطية متداخلة Tests of Equal Forecast Accuracy and Encompassing for Nested Models00071-9) {source:clarkMcCrackenNestedForecasts2001}. لا تستبدل هذا الإطار تلقائيًا بكل اختبار احتواء. ويمكن الرجوع إلى دليل اختبار Clark–West لضبط دقة التوقع في النماذج المتداخلة للاطلاع على التعديل ذي الصلة.

أما مزج التوقعات فيقدّر أو يختار أوزانًا لتحقيق هدف، غالبًا تقليل خسارة داخل تدريب أو خارج عينة. هذا إجراء بناء للتوقع وليس اختبارًا لفرضية احتواء بحد ذاته؛ راجع مقارنة أوزان المزج المتساوية والمقدرة. واختبار Mincer–Zarnowitz يفحص عادة معايرة المستوى والميل بالنسبة إلى القيمة المحققة، لا السؤال ذاته عن المعلومة الإضافية لدى توقع منافس؛ راجع اختبار معايرة التوقعات Mincer–Zarnowitz.

إذا بُنيت التوقعات من انحدارات مقدرة، فقد تدخل أخطاء تقدير المعاملات في توزيع الاختبار. يناقش West (2001) اختبارات احتواء التوقعات التي تعتمد على معلمات انحدار مقدرة، ويوضح لماذا ينبغي مراعاة طريقة إنتاج التوقعات في الاستدلال Tests for Forecast Encompassing When Forecasts Depend on Estimated Regression Parameters {source:west2001EstimatedForecastsEncompassing}. لا يكفي وصف التوقع بأنه «خارج العينة» إذا تجاهل الاختبار أن المعلمات أعيد تقديرها أو أن نافذة التدريب تغيرت.

قبل التحليل، حدد هل النموذجان متداخلان، وهل التقدير ثابت أو متجدد، وهل نافذة الاختبار متداخلة زمنيًا، وكيف تتسلسل الأخطاء. اختر إجراءً للاستدلال يناسب تصميمك، وأبلغ حساسية النتيجة لخيارات مبررة. إذا جربت نماذج أو أهدافًا أو نوافذ عديدة ثم أبلغت عن أفضلها فقط، فنتيجة الاختبار لا تمثل بحثًا مسبق التسجيل.

إذا أظهرت لحظات الانحدار تغايرًا غير متجانسًا أو اعتمادًا تسلسليًا، فقد يكون تقدير تغاير متين للتغاير غير المتجانس والارتباط الذاتي (HAC) من نوع Newey–West خيارًا مناسبًا لتقدير التغاير. يصف Newey وWest (1987) هذا المقدّر {source:neweyWest1987}. اختيار النواة وعرض النطاق يجب أن يلائما تصميم التوقعات؛ فـHAC مكوّن ممكن لتقدير عدم اليقين، وليس اختبار احتواء بحد ذاته.

حتى إذا أضاف B معلومة تنبؤية موثوقة، فهذا لا يثبت أن استخدامه يحقق عائدًا صافيًا موجبًا. يلزم تحديد قاعدة تحويل التوقع إلى مركز، والتوقيت، والتكاليف والتمويل والانزلاق والسيولة وحدود المخاطر. وقد تكون إشارة صغيرة ذات قيمة تنبؤية لكن لا تغطي تكاليف التنفيذ؛ كما قد تكون مفيدة للتحوط أو لإدارة المخاطر دون أن تزيد العائد المتوسط.

عند الإبلاغ، اذكر الهدف والأفق ونقاط الإصدار والعينة المشتركة، وتوقيع الخطأ وd، وصياغة اختبار الاحتواء والفرضية والبديل، ومعالجة الثابت أو الانحياز، وطريقة التقدير، والقيود على الأوزان، وإجراء عدم اليقين. أظهر معامل المزج مع خطأه المعياري أو فاصل الثقة عندما يناسب التصميم، وميّز صراحة بين الحساب داخل العينة والأداء خارجها. لا تصف الاحتواء بأنه ضمان تنبؤ أو تداول.

• Chong وHendry، “Econometric Evaluation of Linear Macro-Economic Models” (1986)، DOI
• Harvey وLeybourne وNewbold، “Tests for Forecast Encompassing” (1998)، DOI
• Clark وMcCracken، “Tests of Equal Forecast Accuracy and Encompassing for Nested Models” (2001)، DOI00071-9)
• West، “Tests for Forecast Encompassing When Forecasts Depend on Estimated Regression Parameters” (2001)، DOI
• Newey وWest، “A Simple, Positive Semi-Definite, Heteroskedasticity and Autocorrelation Consistent Covariance Matrix” (1987) DOI