شرح صيغة فاينمان–كاك لتسعير الخيارات

لتكن dX_s = b(s,X_s)ds + σ(s,X_s)dW_s، وعرّف مولده Lφ = b∂_xφ + 1/2σ²∂_{xx}φ

يلخص المولد التغير الشرطي المتناهي الصغر للدوال الناعمة في الحالة

ويربط نموذج المسار بمعادلة تفاضلية من دون الادعاء بأن المسار غير القابل للاشتقاق في أي مكان له مشتقة عادية

اعتبر ∂_t u + Lu - r u + f = 0 مع قيمة نهائية u(T,x) = g(x)

هنا g مردود نهائي، وr معدل قتل أو خصم، وf مصدر جارٍ تتبع إشارته اصطلاح المعادلة المذكور

ولأن البيانات النهائية معروفة عند T، يعمل التقييم إلى الخلف رغم أن انتشار الحالة يتطور إلى الأمام

في ظل شروط الانتظام والتكامل يساوي u(t,x) التوقع الشرطي لـ g(X_T) المخصوم مضافًا إليه f المتراكم المخصوم

مع D_{t,s} = exp(-∫_t^s r(v,X_v)dv)، يكون التمثيل E[D_{t,T}g(X_T) + ∫_t^T D_{t,s}f(s,X_s)ds | X_t=x]

يؤدي تطبيق صيغة إيتو على D_{t,s}u(s,X_s) إلى جعل انجرافها مساويًا لسالب حد المصدر، فتنتج الهوية بعد أخذ التوقعات

يعطي معدل فائدة قصير ثابت العامل المألوف e^{-r(T-t)}، بينما تحتاج المعدلات المعتمدة على الحالة إلى تكامل مساري

تدخل الأرباح الجارية والقسائم والتكاليف أو حدود المصدر عبر تكامل الزمن بدل إخفائها داخل المردود النهائي

يغيّر تبديل الإشارات في المعادلة التمثيل، لذلك انسخ المؤثر والشرط النهائي واتجاه الزمن حزمة واحدة

تحدد ديناميكيات الأصل المتداول المخصومة تحت قياس تسعير صالح L، وتحل قيمة المشتق معادلة التسعير المرتبطة

للمطالبة الأوروبية بلا مدفوعات جارية، يكون السعر التوقع الشرطي لمردودها النهائي المخصوم

بلاك–شولز مثال على هذا الجسر، وليس تعريف فاينمان–كاك ولا دليلًا على اكتمال كل سوق

تحل الفروق المحدودة المعادلة العكسية على شبكة، بينما تقدر مونت كارلو توقع المسارات الأمامية

يُعد الاتفاق بين تطبيقات مستقلة فحصًا قويًا للإشارات والخصم وشروط الحدود وخطأ أخذ العينات

اختر طرق المعادلات للأسطح والحدود منخفضة الأبعاد، والمحاكاة عندما تجعل الحالات أو دوال المسار الشبكات مكلفة

تتطلب الصيغ الكلاسيكية شروطًا على المعاملات والنمو والانتظام والتكامل والفرادة؛ وتوسع صيغ اللزوجة الأضعف نطاقها

ينشئ التمرين الأمريكي مسألة عائق أو متباينة تغايرية، ولا تنطبق مسائل التمويل أو التحكم غير الخطية على الصيغة الخطية البسيطة

تستبدل القفزات معادلة الانتشار بمعادلة تكاملية تفاضلية، بينما يتطلب اعتماد المسار توسيع الحالة أو طرقًا أخرى