شرح تحويل إشر في تسعير الخيارات

لمتغير عشوائي X ذي M(θ) = E[e^{θX}] منتهية، عرّف dQ_θ/dP = e^{θX}/M(θ)

تؤكد θ الموجبة النتائج الأكبر، وتؤكد θ السالبة النتائج الأصغر، بينما يجعل التطبيع الأوزان الجديدة مجموعها واحدًا

يغير التحويل الاحتمالات لا النتائج المرصودة، ولا يوجد إلا حيث يكون العزم الأسي منتهيًا

لتكن κ(u) = log E[e^{uX}] على مجال عزومها

تحت قياس إشر تكون الدالة التراكمية κ_θ(u) = κ(u+θ) - κ(θ)

تعطي مشتقات κ_θ عند الصفر العزوم المائلة عندما تكون منتهية، فيصبح التحويل مناسبًا لطرق نقطة السرج وحسابات المخاطر

بالنسبة إلى عملية ليفي X_t، تكون عملية الكثافة Z_t = exp(θX_t - tκ(θ))

تجعل الزيادات المستقلة والساكنة Z مارتينجالًا موجبًا عندما تقع θ في مجال العزوم الصالح

تظل العملية تحت Q_θ عملية ليفي، لكن انجرافها وقانون قفزاتها يتغيران مع بقاء النتائج والأحداث الصفرية متوافقة

في اصطلاحات مناسبة يتغير قياس القفزات من ν(dx) إلى ν_θ(dx) = e^{θx}ν(dx)

يبقى التباين البراوني دون تغيير، بينما يتعدل الانجراف بسبب الإمالة البراونية وتعويض القفز واصطلاح القطع

لذلك قد تؤدي مقارنة معاملات الانجراف من دون ذكر دالة القطع إلى اختلاف زائف

بالنسبة إلى S_t = S_0e^{X_t} مع حمل r-q، يتطلب كون السعر المخصوم مارتينجالًا κ_θ(1) = r-q

وبصورة مكافئة، حل κ(θ+1) - κ(θ) = r-q عندما يكون العزمان الأسيان موجودين

قد لا تملك المعادلة حلًا أو تملك حلًا واحدًا أو تعاني عدم استقرار عددي قرب حد العزوم؛ فاختيار المعلمة ليس تلقائيًا

لا تغطي مخاطر القفز عادةً بالكامل، ولذلك قد تحقق قياسات مارتينجال مكافئة عدة منع المراجحة

تختار قاعدة إشر واحدًا منها بالحفاظ على عائلة نموذج مائلة أسيًا، لكن منع المراجحة وحده لا يفضله على كل بديل

قد تفرض التفضيلات الاقتصادية أو أهداف المعايرة أو معايير الإنتروبيا أو أهداف التحوط أو أعراف السوق قياسًا مختلفًا

تحقق من مجال العزوم لـ θ وθ+1 وتطبيع الكثافة والدعم المكافئ ومساواة المارتينجال والثلاثي المحوّل

أعد المعايرة عبر الاستحقاقات والأنظمة، لأن θ مستقرة داخل العينة قد تخفي استقراء ذيل غير مستقر

قارن أسعار الخيارات وأخطاء التحوط تحت قياسات بديلة مؤهلة لكشف تكلفة مخاطر النموذج الناتجة عن اختيار إشر