شرح تسعير الخيارات بفورييه–كار–مادان

تبدأ كار–مادان بدالة مميزة محايدة للمخاطر لسعر نهائي لوغاريتمي وبحساب سعر شراء أوروبي عبر الضربات اللوغاريتمية

وتعيد تنظيم التوقع المخصوم نفسه في فضاء فورييه، حيث تصبح الحسابات الشبيهة بالالتفاف جداءات وتكاملات منتظمة

لا تختار الطريقة التقلب أو القفزات أو علاوات المخاطر؛ فهذه تدخل عبر الدالة المميزة الخاصة بالنموذج

عندما تتجه الضربة اللوغاريتمية k إلى سالب ما لا نهاية، يقترب الشراء من منطقة القيمة الذاتية الشبيهة بالسعر الآجل ولا يكون قابلا للتكامل على جميع k

يؤدي ضرب C(k) في e^{αk} من أجل α موجب مناسب إلى جعل الدالة المخمّدة تتناقص عند الطرفين في ظل شرط اللحظة المطلوب

معامل التخميد أداة تحليلية، وليس تفضيلا سوقيا أو معلمة نموذج إضافية للمعايرة

وفقا لاصطلاح شائع، يستخدم تحويل فورييه لـ e^{αk}C(k) الدالة المميزة للسعر اللوغاريتمي عند u−i(α+1)

يتضمن مقام تحويل عائد الشراء α والتردد u؛ وتتغير الإشارات إذا تغير اصطلاح فورييه أو تعريف السعر اللوغاريتمي

تتطلب الإزاحة المركبة أن تكون E[S_T^{α+1}] منتهية، ولذلك قد ينقل α الكبير اعتباطيا خارج مجال لحظات النموذج

يمكن تقييم التكامل منفصلا لكل ضربة، بينما تقيّم FFT شريطا متباعدا بانتظام من الضربات اللوغاريتمية في عملية واحدة

مع N نقطة، يرتبط تباعد التردد η وتباعد الضربة اللوغاريتمية λ بعلاقة عكسية تكتب عادة λη=2π/N

يعني توسيع نطاق الضربات تباعدا أخشن عند ثبات N، ولذلك لا يمكن اختيار التغطية والدقة مستقلتين

يخلق قطع تكامل التردد اللانهائي خطأ ذيلا، بينما يخلق تقطيعه خطأ تربيعا

ويخلق الامتداد الدوري الضمني في التحويل المتقطع خطأ طيا، كما تضيف الضربات خارج الشبكة خطأ استيفاء

قد تحسن أوزان سمبسون التربيع في بعض الإعدادات، لكنها لا تصلح نطاقا غير كاف أو لحظات غير صحيحة أو دالة مميزة غير مستقرة

يجب أن يكون Alpha كبيرا بما يكفي لتخميد العائد، وصغيرا بما يكفي لوجود الدالة المميزة المزاحة وبقائها مستقرة عدديا

تعتمد الاختيارات الجيدة على الأجل ومعلمات النموذج وسلوك الذيل واصطلاح التحويل؛ ولا يضمن وجود Alpha عالمي واحد

اختبر نطاقا من قيم Alpha المقبولة واشترط اتفاق الأسعار ضمن التفاوت المستهدف بدلا من تحسين ناتج واحد

استعد أسعار بلاك–شولز أولا، ثم اختبر تكافؤ الشراء والبيع ورتابة الضربة وتحدبها والحدود وشرط المارتينجال

زد N ونطاق التكامل والدقة كل على حدة لتحديد التقارب، بدلا من تغيير كل الضوابط في آن واحد

قارن الضربات المختارة بالتربيع المباشر وبطريقة تسعير أخرى؛ فالسرعة مهمة فقط بعد فهم ميزانية الخطأ