Bất đẳng thức biến phân và biên tự do trong quyền chọn

Gọi g(t,S) là payoff thực hiện và V(t,S) là giá trị quyền chọn kiểu Mỹ

Vì người nắm giữ có thể thực hiện ngay, V ≥ g tại mọi thời điểm và trạng thái được phép trước khi đáo hạn

Do đó, payoff là một chướng ngại nằm dưới bề mặt giá trị, chứ không chỉ là điều kiện cuối kỳ

Khi V > g, thực hiện ngay là không tối ưu và quyền chọn vẫn còn hiệu lực

Trong vùng tiếp diễn đó, mô hình khuếch tán cho ∂_tV + LV - rV + f = 0, với các điều chỉnh cho cổ tức hoặc dòng tiền liên tục

Phương trình chỉ đúng ở nơi lựa chọn tiếp diễn; áp đặt nó trong vùng thực hiện sẽ bỏ qua quyền dừng

Một quy ước phổ biến là max(g-V, ∂_tV + LV - rV + f) = 0

Vì vậy V-g ≥ 0, phần dư tiếp diễn có dấu tương thích, và ít nhất một điều kiện ràng buộc tại mỗi điểm

Dạng min tương đương sẽ đảo dấu, nên phải kiểm tra cùng lúc toán tử và quy ước bất đẳng thức

Tập V = g là vùng dừng và V > g là vùng tiếp diễn

Giao diện của chúng là một biên tự do vì vị trí của nó chưa biết trước khi giải bài toán giá trị

Đối với một put kiểu Mỹ tiêu chuẩn, biên này thường là một mức cơ sở tới hạn thay đổi theo thời gian, nhưng lãi suất, cổ tức, bước nhảy và các ràng buộc có thể làm thay đổi hình dạng của nó

Tại một biên chính quy, khớp giá trị cho V = g và điều kiện khớp trơn có thể cho phép các đạo hàm bậc nhất khớp nhau

Khớp trơn chỉ suy ra dưới các điều kiện bổ sung về đường đi và tính chính quy; bước nhảy, điểm gãy của payoff, biên không chính quy hoặc ràng buộc có thể khiến nó thất bại

Hãy xem khớp trơn là một định lý cần chứng minh trong mô hình đã chọn, không phải định nghĩa phổ quát của thực hiện tối ưu

Lưới sai phân hữu hạn dẫn đến một bài toán bổ sung tuyến tính ở mỗi bước thời gian

SOR chiếu, phương pháp phạt, lặp chính sách, cố định mặt trước và các quy tắc dừng hồi quy giải những xấp xỉ khác nhau của cùng một lựa chọn

Hãy kiểm tra tính trội của chướng ngại, tính bổ sung của phần dư, tính đơn điệu của biên, sự hội tụ theo lưới và các cận dưới từ một chính sách thực hiện

Một call kiểu Mỹ trên cổ phiếu không trả cổ tức nhìn chung không được thực hiện sớm theo các giả định tiêu chuẩn về lãi suất dương, nhưng các ngoại lệ vẫn quan trọng

Cổ tức, lãi suất âm, chi phí vay, khoản thanh toán rời rạc, quy tắc thanh toán và thời hạn thực hiện có thể đảo ngược các kết luận quen thuộc

Hãy dùng hợp đồng và các biến trạng thái thực tế; một biên trơn về mặt hình ảnh từ mô hình giản lược không phải bằng chứng về một quy tắc thực hiện có thể giao dịch