Kiểm định Ljung–Box về Tự tương quan Chuỗi thời gian

Đồ thị tự tương quan mẫu có thể cho thấy sự phụ thuộc ở nhiều độ trễ, nhưng đọc và kiểm định từng cột riêng lẻ tạo ra vấn đề kiểm định nhiều lần. Kiểm định Ljung–Box kết hợp \(h\) tự tương quan mẫu đầu tiên thành một thống kê tổng hợp. Giả thuyết không cho rằng các tự tương quan tổng thể từ độ trễ 1 đến \(h\) đều bằng không. Giả thuyết đối cho rằng ít nhất một tương quan khác không.

Box và Pierce phát triển một kiểm định mức độ phù hợp tổng thể cho các mô hình chuỗi thời gian đã ước lượng. Ljung và Box điều chỉnh thống kê để cải thiện xấp xỉ trong mẫu hữu hạn. “Tổng hợp” có nghĩa là một thống kê tóm tắt tương quan tại nhiều độ trễ; điều đó không có nghĩa mọi dạng phụ thuộc chuỗi thời gian đều đã được kiểm định.

Với chuỗi lợi suất, câu hỏi có thể là liệu các lợi suất có dấu trong quá khứ có để lại tương quan chuỗi tuyến tính hay không. Với mô hình ARMA đã khớp, câu hỏi thường là liệu phần dư còn tự tương quan sau khi mô hình đã sử dụng cấu trúc độ trễ được chỉ định hay không. Đây là hai ứng dụng có liên quan nhưng khác nhau, vì vậy hãy nêu rõ chuỗi được kiểm định trước khi diễn giải kết quả.

Gọi \(\hat\rho_k\) là tự tương quan mẫu tại độ trễ \(k\), \(n\) là số quan sát dùng để tính giá trị đó, và \(h\) là độ trễ lớn nhất trong kiểm định. Thống kê Box–Pierce là

\[ Q_{BP}=n\sum_{k=1}^{h}\hat\rho_k^2. \]

Điều chỉnh Ljung–Box gán trọng số cho mỗi độ trễ theo cỡ mẫu còn sử dụng được:

\[ Q_{LB}=n(n+2)\sum_{k=1}^{h}\frac{\hat\rho_k^2}{n-k}. \]

Vì các tương quan được bình phương nên cả tự tương quan dương lẫn âm đều làm tăng thống kê. Điều chỉnh này gán trọng số lớn hơn cho một tương quan ước lượng có cùng độ lớn tại độ trễ có ít cặp quan sát dùng được hơn. Trong mẫu lớn, hai thống kê thường gần nhau; với mẫu hữu hạn, Ljung–Box thường được dùng vì nghiên cứu ban đầu cho thấy xấp xỉ mẫu nhỏ của nó tốt hơn.

Dưới giả thuyết không về nhiễu trắng và các điều kiện chính quy cần thiết, \(Q_{LB}\) được so sánh với phân phối chi bình phương. Với chuỗi thô không ước lượng tham số động, bậc tự do tham chiếu thường là \(h\). Với phần dư từ mô hình ARMA(\(p,q\)) đã ước lượng, điều chỉnh phổ biến là \(h-p-q\), với điều kiện giá trị này dương. Hiệu chỉnh phản ánh các tham số dùng để khớp động học phần dư; đây không phải chỉ dẫn phổ quát rằng phải trừ mọi hệ số trong bất kỳ hồi quy nào. Mô hình tích hợp, mùa vụ, có ràng buộc hoặc chuyên biệt khác có thể cần quy ước khác. Hãy khớp bậc tự do tham chiếu với phép kiểm tra phần dư và định nghĩa phần mềm cụ thể. Ví dụ, kiểm tra phần dư ARMA(2,2) chỉ đến \(h=4\) sẽ cho bậc tự do bằng không theo điều chỉnh phổ biến. Khi đó không thể dùng phép so sánh chi bình phương thông thường; hãy chọn khoảng độ trễ dài hơn đã định trước hoặc một chẩn đoán dành cho mô hình đó, thay vì ép dùng phân phối tham chiếu có bậc tự do bằng không. Hãy nêu lý do chọn chân trời độ trễ.

Giả sử mô hình đã khớp còn \(n=250\) phần dư, và phép kiểm tra năm độ trễ được xác định trước cho các tự tương quan \(0.10, 0.05, -0.08, 0.02, -0.04\). Phép tính Box–Pierce bắt đầu bằng cách bình phương rồi cộng chúng:

\[ 0.10^2+0.05^2+(-0.08)^2+0.02^2+(-0.04)^2=0.0209. \]

Vậy \(Q_{BP}=250(0.0209)=5.225\). Áp dụng trọng số Ljung–Box:

\[ Q_{LB}=250(252)\left(\frac{0.0100}{249}+\frac{0.0025}{248}+\frac{0.0064}{247}+\frac{0.0004}{246}+\frac{0.0016}{245}\right)\approx 5.31. \]

Phép tính này chưa phải giá trị p. Nếu đây là phần dư từ mô hình ARMA(1,1), phân phối tham chiếu phổ biến dùng \(h-p-q=5-1-1=3\) bậc tự do. Chuỗi thô có thể dùng năm bậc tự do theo giả thuyết không riêng. Việc chọn bậc tự do làm thay đổi xác suất đuôi trên. Tất cả số liệu ở đây được đặt ra để minh họa phép tính, không phải dữ liệu thị trường quan sát được hay kết quả mô hình thực tế.

Thống kê nhỏ có nghĩa các tự tương quan bình phương quan sát được không lớn bất thường theo phân phối tham chiếu đã chọn. Điều đó không chứng minh các tương quan chính xác bằng không. Thống kê lớn cho thấy tập hợp này khó phù hợp với giả thuyết không ở mức đã chọn; hãy xem độ trễ và đặc điểm mô hình nào tạo ra kết quả thay vì coi một con số là chẩn đoán đầy đủ.

Giới hạn độ trễ \(h\) xác định câu hỏi được kiểm định. Chỉ kiểm tra một vài độ trễ ngắn có thể bỏ lỡ sự phụ thuộc chậm hơn hoặc mẫu hình hàng tuần trong dữ liệu hằng ngày. Mở rộng đến quá nhiều độ trễ có thể thêm các ước lượng yếu, nhiễu; giảm lực kiểm định với mẫu hình cụ thể ở độ trễ ngắn; và khiến kết quả nhạy với một vài tương quan ở độ trễ dài. \(h\) lớn cũng để lại ít bậc tự do hơn sau khi điều chỉnh ARMA.

Chọn độ trễ theo tần suất lấy mẫu, cấu trúc lịch đã biết, mục đích mô hình và dạng phụ thuộc không nên còn trong phần dư. Với dữ liệu thị trường hằng ngày, độ trễ theo phiên giao dịch không phải lúc nào cũng bằng độ trễ theo ngày lịch. Dữ liệu trong ngày có thể có tính mùa vụ theo giờ và tác động qua đêm. Mô hình mùa vụ có thể cần độ trễ mùa vụ hoặc chẩn đoán mùa vụ; một ngưỡng chung duy nhất có thể che khuất cấu trúc đó.

Nếu thử nhiều giá trị \(h\), phép biến đổi, tài sản hoặc bậc mô hình rồi chỉ báo cáo giá trị p nhỏ nhất, mức ý nghĩa được nêu đã bỏ qua việc tìm kiếm. Hãy nêu khoảng độ trễ và quy tắc quyết định trước khi diễn giải chẩn đoán, hoặc đưa phạm vi tìm kiếm rộng hơn vào kế hoạch suy luận.

Đồ thị tự tương quan thường có các biên xấp xỉ riêng cho từng độ trễ, chẳng hạn \(\pm1.96/\sqrt{n}\). Trong mô hình nhiễu trắng đơn giản, chúng có thể giúp đánh dấu một tương quan mẫu riêng lẻ, nhưng không phải dải 95% đồng thời cho mọi độ trễ. Xem nhiều cột riêng rẽ làm tăng khả năng có ít nhất một cột vượt biên do ngẫu nhiên. Thay vào đó, kiểm định Ljung–Box đặt một câu hỏi chung cho tập độ trễ xác định trước và dùng phân phối tham chiếu của thống kê kết hợp.

Thống kê chung có thể tăng do một tự tương quan tương đối lớn hoặc vài tương quan vừa phải. Sau kiểm định, hãy xem các thành phần theo độ trễ \(n(n+2)\hat\rho_k^2/(n-k)\) và đồ thị ACF. Một cột vượt biên kinh nghiệm không tự động tương đương với kết quả kiểm định tổng hợp có ý nghĩa; đồng thời, mọi cột nằm trong các biên riêng cũng không bảo đảm thống kê chung không có ý nghĩa.

Áp dụng kiểm định cho lợi suất có dấu đặt câu hỏi liệu tự tương quan tuyến tính đến độ trễ \(h\) có đồng thời bằng không hay không. Áp dụng cho phần dư ước lượng đặt câu hỏi liệu mô hình đã chọn có để lại dạng phụ thuộc tuyến tính tương tự hay không. Việc bác bỏ có thể gợi ý kiểm tra đặc tả trung bình, thời điểm ghi nhận, lịch thị trường và đồ thị phần dư; nó không tự xác định hạng tử bị thiếu.

Định nghĩa quan sát có thể tạo ra tự tương quan ngay cả khi lợi suất nền một kỳ không tương quan. Ví dụ, lợi suất cuốn chiếu năm phiên và lợi suất cuốn chiếu năm phiên tiếp theo dùng chung bốn lợi suất hằng ngày. Sự chồng lấn này liên kết cơ học các quan sát liền kề. Ljung–Box có thể bác bỏ đúng giả thuyết không tự tương quan trong chuỗi được tạo theo cách đó mà không cho thấy lợi suất hằng ngày không chồng lấn có thể dự báo được.

Hãy nêu quan sát là lợi suất hằng ngày, lợi suất cuốn chiếu nhiều ngày hay phần dư từ mô hình có kết quả chồng lấn. Căn chỉnh lịch phiên giao dịch, thời điểm đóng cửa và khoảng qua đêm theo câu hỏi kinh tế. Nếu cần các chân trời chồng lấn, hãy dùng phương pháp suy luận và phân phối tham chiếu phù hợp với cấu trúc đó, thay vì diễn giải kết quả thành bằng chứng riêng về lợi thế giao dịch.

Cụm biến động có thể tồn tại ngay cả khi tự tương quan của lợi suất có dấu nhỏ. Bình phương phần dư làm thay đổi câu hỏi: tự tương quan của phần dư bình phương hoặc phần dư chuẩn hóa lấy trị tuyệt đối có thể cho thấy sự phụ thuộc trong quy mô lợi suất. McLeod và Li nghiên cứu tự tương quan phần dư bình phương như một chẩn đoán phụ thuộc phi tuyến sau khi khớp ARMA. Đây vẫn là công cụ chẩn đoán, không phải bằng chứng cho một mô hình biến động duy nhất. Hướng dẫn ARCH-LM trình bày một kiểm định tập trung hơn vào phụ thuộc kiểu ARCH; hướng dẫn GARCH giải thích mô hình hóa phương sai có điều kiện.

Tự tương quan bằng không là điều kiện yếu hơn tính độc lập. Một chuỗi có thể có tương quan bằng không tại các độ trễ được kiểm định nhưng vẫn phụ thuộc qua phép biến đổi phi tuyến, phương sai có điều kiện, phần đuôi hoặc chế độ. Riêng thống kê Ljung–Box cũng không cho biết gì về phân phối chuẩn, tính dừng, cấu trúc nhân quả hay khả năng thu được lợi suất sau chi phí thực hiện.

Xấp xỉ chi bình phương đơn giản phụ thuộc vào mô hình, cách tạo phần dư, cỡ mẫu và cách ước lượng tham số. Nếu khớp ARMA trước, các tự tương quan phần dư là đại lượng được ước lượng chứ không phải tương quan của các đổi mới quan sát trực tiếp. Điều chỉnh bậc tự do phổ biến là quy ước tiệm cận thực dụng, không phải bảo đảm chính xác trong mẫu hữu hạn cho mọi đặc tả.

Mẫu nhỏ, chân trời độ trễ dài, nghiệm AR và MA gần triệt tiêu nhau, ngoại lệ, phương sai có điều kiện thay đổi hoặc phụ thuộc chuỗi nằm ngoài họ mô hình có thể làm xấp xỉ kém tin cậy hơn. Bác bỏ có thể phản ánh đặc tả trung bình sai, vấn đề chất lượng dữ liệu hoặc phân phối tham chiếu không phù hợp. Không bác bỏ có thể do lực kiểm định thấp hoặc lựa chọn độ trễ đã bỏ sót dạng phụ thuộc quan tâm.

Với mô hình phức tạp hoặc phi tiêu chuẩn, hãy dùng thủ tục chẩn đoán có phân phối tham chiếu phù hợp với quy trình khớp mô hình, hoặc đánh giá hiệu chỉnh bằng bootstrap có căn cứ và lặp lại bước ước lượng. Lấy mẫu lại phần dư iid không tự động hợp lệ khi mối lo là phụ thuộc hoặc phương sai thay đổi. Hãy giải thích thiết kế lấy mẫu lại và tách việc chọn mô hình khỏi đánh giá cuối cùng.

Sau khi bác bỏ, hãy xem hàm tự tương quan, tự tương quan riêng phần khi thích hợp, thời điểm xuất hiện phần dư và đóng góp theo độ trễ vào \(Q_{LB}\). Xem mẫu hình tồn tại ngắn hạn hay theo mùa, có phải do thiếu một hạng tử trung bình hay tập trung trong phần dư bình phương không. Việc đổi đặc tả cần dựa trên một câu hỏi mô hình có thể bảo vệ được và cần được đánh giá bằng dữ liệu không dùng để chọn thay đổi đó.

Trong quy tắc giao dịch, mẫu hình có thể dự báo trong mẫu chưa phải lợi thế có thể thực thi. Dự báo bước kế tiếp phải có trước khi gửi lệnh, tồn tại qua một giai đoạn giữ lại ngoài mẫu theo thứ tự thời gian, và tính đến chênh lệch mua-bán, tác động thị trường, hoa hồng, tài trợ, vay mượn và vòng quay. Kiểm định Ljung–Box không kiểm định lợi nhuận ròng của chiến lược và không chứng minh kết quả bác bỏ sẽ duy trì ngoài mẫu.

Hãy báo cáo định nghĩa và số lượng quan sát, chuỗi được kiểm định, phép biến đổi, giới hạn độ trễ, các tự tương quan riêng hoặc đồ thị, phiên bản kiểm định, bậc tự do tham chiếu, thống kê, giá trị p và mức ý nghĩa. Nếu dữ liệu là lợi suất tài chính, hãy nêu cách xử lý phiên giao dịch, giá trị thiếu, chân trời chồng lấn và phương sai có điều kiện đã khớp. Nhờ vậy người đọc biết kiểm định đã làm gì và còn bỏ ngỏ câu hỏi nào.

Bài báo năm 1970 của Box và Pierce phát triển thống kê tổng hợp cho tự tương quan phần dư. Bài báo năm 1978 của Ljung và Box đề xuất điều chỉnh mẫu hữu hạn. Bài báo năm 1983 của McLeod và Li xem xét tự tương quan phần dư bình phương. Tài liệu Box–Ljung của NIST tóm tắt thống kê và điều chỉnh bậc tự do phần dư. Với chẩn đoán liên quan, xem hướng dẫn kiểm định tỷ số phương sai, ARCH-LM và cụm biến động GARCH.