Tỷ lệ hedge bằng Kalman filter: Hồi quy động cho giao dịch cặp

Tỷ lệ hedge cố định ước lượng một hệ số trên mẫu hình thành rồi giữ nguyên. Mô hình hedge động xem hằng số và độ dốc là các đại lượng ẩn có thể thay đổi theo thời gian. Kalman filter ước lượng chúng theo cách đệ quy, kết hợp ước lượng trước đó với thông tin trong quan sát mới.

Với hai tài sản được xem xét, gọi \(y_t\) là log giá của một tài sản và \(x_t\) là log giá của tài sản còn lại. Hồi quy dài hạn thay đổi theo thời gian có thể viết là \(y_t=\alpha_t+\beta_t x_t+\epsilon_t\). Hệ số \(\beta_t\) mô tả quan hệ được khớp tại thời điểm \(t\); nó không tự động tương đương số cổ phiếu, vị thế trung hòa theo đô la hay quy luật kinh tế ổn định.

Ứng dụng này dùng quy trình đệ quy dự báo và cập nhật tổng quát của mô hình tuyến tính không gian trạng thái. Kalman đưa ra khung lọc đệ quy; các nghiên cứu kinh tế lượng sau đó áp dụng khung này để ước lượng hệ số hồi quy thay đổi theo thời gian. Giao dịch cặp với spread ngẫu nhiên là một ứng dụng, nhưng cần đánh giá giả định giao dịch riêng với thuật toán lọc.

Định nghĩa vectơ trạng thái và hàng quan sát như sau:

\[ \theta_t= \begin{bmatrix}\alpha_t\\\beta_t\end{bmatrix}, \qquad H_t=\begin{bmatrix}1&x_t\end{bmatrix}. \]

Phương trình quan sát là \(y_t=H_t\theta_t+\epsilon_t\). Phương trình này liên kết log giá quan sát được với hằng số và hệ số hedge ẩn, cộng với nhiễu quan sát. Một giả định khởi đầu phổ biến là cả hai hệ số đều tuân theo bước đi ngẫu nhiên:

\[ \theta_t=\theta_{t-1}+\eta_t,\qquad \eta_t\sim N(0,Q),\qquad \epsilon_t\sim N(0,R). \]

\(Q\) là ma trận hiệp phương sai của thay đổi hệ số, còn \(R\) là phương sai nhiễu quan sát. Đặt \(Q=0\) khiến các hệ số cố định trong mô hình này; \(Q\) dương cho phép chúng biến động. Có thể dùng quy luật chuyển trạng thái khác, nhưng mỗi lựa chọn hàm ý giả định riêng về diễn biến của mối quan hệ.

Dùng \(Q\) đường chéo bổ sung giả định rằng các cú sốc làm thay đổi hằng số và độ dốc không tương quan. Các phần tử ngoài đường chéo cho phép chúng cùng biến động, nhưng mẫu phải có đủ thông tin để ước lượng hiệp phương sai đó. Ma trận hiệp phương sai hợp lệ phải đối xứng và nửa xác định dương.

Đặc tả đơn giản này giả định nhiễu quá trình và nhiễu quan sát có trung bình bằng không, không tương quan chuỗi và độc lập với nhau. Đây là các giả định của mô hình; dữ liệu giá không tự động đáp ứng chúng.

Cuối thời điểm \(t-1\), bộ lọc có ước lượng \(\hat\theta_{t-1|t-1}\) và ma trận hiệp phương sai \(P_{t-1|t-1}\). Phương trình trạng thái bước đi ngẫu nhiên dự báo:

\[ \hat\theta_{t|t-1}=\hat\theta_{t-1|t-1}, \qquad P_{t|t-1}=P_{t-1|t-1}+Q. \]

Ước lượng được chuyển tiếp, còn độ bất định tăng thêm theo hiệp phương sai thay đổi hệ số được cho phép. \(P\) mô tả độ bất định của trạng thái hồi quy ẩn theo mô hình đã chỉ định. Nó không dự báo khoản lỗ của giao dịch cặp hay đo toàn bộ rủi ro danh mục.

Dự báo quan sát trước một bước là \(H_t\hat\theta_{t|t-1}\). Dùng trạng thái tiên nghiệm rất quan trọng vì nó được tính mà chưa thấy \(y_t\) mới. Nếu tính phần dư sau khi cập nhật hệ số bằng chính quan sát đó, quá trình cập nhật đã kéo phần dư về gần không.

Vì \(H_t\) chứa \(x_t\), giá hiện tại của biến giải thích ảnh hưởng đến \(S_t\) và gain. Khi độ bất định của độ dốc đáng kể, quan sát tại các mức \(x_t\) khác nhau có thể cung cấp thông tin khác nhau về \(\beta_t\), trong khi hiệp phương sai giữa hằng số và độ dốc cũng có vai trò. Lấy tâm hoặc đổi tỷ lệ \(x_t\) làm thay đổi ý nghĩa hằng số và đơn vị hệ số; do đó cần biến đổi lại hoặc ước lượng lại các phần tử tương ứng trong \(Q\) và \(P\) ban đầu, không sao chép nguyên trạng.

Khi có quan sát mới, sai số dự báo một bước, hay đổi mới, là:

\[ v_t=y_t-H_t\hat\theta_{t|t-1}, \qquad S_t=H_tP_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}+R. \]

Phương sai đổi mới \(S_t\) kết hợp độ bất định trạng thái dự báo với nhiễu quan sát. Kalman gain và cập nhật trạng thái là:

\[ K_t=P_{t|t-1}H_t^{\mathsf T}S_t^{-1}, \qquad \hat\theta_{t|t}=\hat\theta_{t|t-1}+K_tv_t. \]

Gain phân bổ sai lệch mới giữa việc điều chỉnh mối quan hệ ước lượng và xem quan sát là nhiễu. Gain lớn hơn khiến bộ lọc điều chỉnh ước lượng nhiều hơn theo quan sát này; điều đó không có nghĩa mối quan hệ đáng tin hơn.

Giả sử một bộ lọc giả định dự báo \(\hat\alpha=2.0\), \(\hat\beta=1.20\) khi \(x_t=50\), nên \(\hat y=62.0\). Nếu \(y_t=62.8\), đổi mới bằng \(0.8\). Nếu gain của mô hình là \([0.08,0.006]^{\mathsf T}\), hằng số sau cập nhật là \(2.064\) và độ dốc là \(1.2048\). Đây là các số giả định chỉ để minh họa phép tính; chúng không phải tỷ lệ hedge thực nghiệm hay bằng chứng sai lệch sẽ đảo chiều.

Ma trận nhiễu quá trình \(Q\) quy định hệ số hồi quy được phép thay đổi bao nhiêu giữa các quan sát. \(Q\) lớn hơn thường làm gain tăng và ước lượng phản ứng nhanh hơn. Ước lượng có thể theo kịp thay đổi thật sớm hơn, nhưng cũng có thể chạy theo nhiễu tạm thời và khiến trọng số hedge thay đổi liên tục. \(Q\) quá nhỏ cho ước lượng mượt hơn nhưng có thể chậm trước một điểm gãy thực sự.

Phương sai nhiễu quan sát \(R\) mô tả biến động của \(y_t\) mà mối quan hệ không giải thích được. Giữ các yếu tố khác không đổi, \(R\) lớn hơn khiến bộ lọc tin từng quan sát mới ít hơn. Không có \(Q\) hay \(R\) nào là hằng số điều chỉnh dùng chung cho mọi trường hợp. Quy mô của chúng phụ thuộc mô hình dùng giá, log giá hay chuỗi chuẩn hóa, cũng như khoảng lấy mẫu.

Có thể ước lượng tham số nhiễu bằng hợp lý cực đại hoặc ấn định trước từ cửa sổ huấn luyện, nhưng điều chỉnh theo kết quả của giai đoạn giao dịch cuối sẽ làm rò rỉ thông tin kết quả. Trạng thái ban đầu \(\hat\theta_{0|0}\) và hiệp phương sai \(P_{0|0}\) cũng quan trọng: khởi tạo không chắc chắn có thể tạo ra giai đoạn đầu điều chỉnh nhanh. Hãy báo cáo cách khởi tạo, mẫu ước lượng tham số và độ nhạy với các lựa chọn hợp lý.

Ước lượng đã lọc \(\hat\theta_{t|t}\) dùng quan sát đến thời điểm \(t\). Ước lượng làm trơn tại \(t\) có thể dùng các quan sát đến sau \(t\). Làm trơn hữu ích để mô tả trạng thái ẩn trong quá khứ, nhưng nhà giao dịch không có thông tin đó tại thời điểm ra quyết định lịch sử.

Vấn đề thời điểm tương tự áp dụng khi ước lượng \(Q\), \(R\), chọn cặp và ngưỡng tín hiệu. Nếu khớp chúng một lần bằng toàn bộ mẫu, ước lượng đầu kỳ sẽ dựa vào quan sát về sau dù quy trình đệ quy hệ số chỉ chạy một chiều. Trong mô phỏng thời gian thực, hãy ước lượng siêu tham số chỉ bằng giai đoạn hình thành, cố định chúng hoặc cập nhật theo lịch walk-forward đã công bố, và quyết định mỗi vị thế bằng thông tin có trước khi thực hiện lệnh.

Thời điểm quan sát không phải thời điểm khớp lệnh. Nếu cần giá đóng cửa tại \(t\) để tính \(v_t\), backtest không thể mặc định khớp tại chính giá đóng cửa đó trừ khi quy trình thực hiện cho phép. Hãy dùng báo giá kế tiếp có thể giao dịch hoặc mô hình thực hiện có căn cứ, đồng thời tính spread, tác động thị trường, phí, chi phí vay và tài trợ.

Trong nghiên cứu giao dịch cặp, đổi mới \(v_t\) trước cập nhật là sai lệch so với mối quan hệ được dự báo trước đó. Chia cho \(\sqrt{S_t}\) tạo ra đổi mới chuẩn hóa theo mô hình. Cách này giúp so sánh sai lệch giữa các giai đoạn có độ bất định ước lượng khác nhau, nhưng không cho biết nên mua hay bán bao nhiêu mỗi tài sản, hoặc sai lệch lớn có đảo chiều hay không.

Phần dư sau cập nhật \(y_t-H_t\hat\theta_{t|t}\) là đại lượng khác vì nó dùng quan sát hiện tại để chỉnh hệ số. Dùng phần dư này với một ngưỡng xác định trước cập nhật sẽ thay đổi ý nghĩa tín hiệu. Hãy xác định rõ spread, thời điểm tính, ngưỡng, và cho biết hệ số dùng là tiên nghiệm, đã lọc hay đã làm trơn.

Ngay cả khi \(\beta_t\) được ước lượng từ log giá, chuyển nó thành lệnh cần một quy tắc vị thế riêng. Trọng số theo log giá không trực tiếp cho biết số cổ phiếu hay hợp đồng. Giá, hệ số nhân hợp đồng, tiền tệ và giới hạn tài khoản quyết định mức phơi nhiễm theo đô la; hằng số không phải tài sản có thể giao dịch. Chi phí tái cân bằng và biến động mức phơi nhiễm giữa các lần cập nhật hệ số cũng quan trọng.

Hệ số trôi chậm có thể biểu diễn thay đổi từ từ, nhưng cũng có thể hấp thụ một mối quan hệ đã đổ vỡ. Mô hình có trạng thái linh hoạt có thể giữ phần dư khớp nhỏ về mặt trực quan dù không tồn tại cân bằng dài hạn ổn định. Bộ lọc không kiểm định đồng liên kết và không bảo đảm phần dư dừng.

Việc chọn cặp cũng quan trọng. Sàng lọc nhiều tài sản rồi giữ cặp có phần dư trong mẫu mượt nhất đồng nghĩa dùng chính dữ liệu để chọn cặp và khẳng định độ ổn định. Hành động doanh nghiệp, giá cũ, giá đóng cửa không đồng bộ, hạn chế bán khống, thanh khoản thay đổi và chuyển chế độ đều có thể làm đổi trạng thái ước lượng hoặc khiến hedge lý thuyết khó thực hiện.

Hãy xem xét hành vi phần dư, độ bất định trạng thái, vòng quay và đường đi của hệ số bên cạnh đường hồi quy. Dùng các giai đoạn giữ lại theo trình tự thời gian và so sánh với chuẩn tỷ lệ cố định. Ước lượng thích ứng hơn cần bù được vòng quay và rủi ro ước lượng sau chi phí thực tế; biểu đồ mượt không phải kết quả hiệu suất.

Nêu chuỗi giá hoặc lợi suất được mô hình hóa, cách biến đổi, tần suất quan sát, ngày lấy mẫu và tài sản nằm ở vế trái phương trình hồi quy. Trình bày phương trình quan sát và trạng thái, ma trận chuyển tiếp, \(Q\), \(R\), cách khởi tạo, phương pháp ước lượng và trạng thái báo cáo là đã lọc hay đã làm trơn.

Với kết quả giao dịch, định nghĩa đổi mới hoặc spread dùng làm tín hiệu, cách chuẩn hóa, dấu thời gian quyết định, độ trễ đặt lệnh, quy mô vị thế, quy tắc tái cân bằng và mọi chi phí thực hiện. Mô tả sàng lọc cặp, cửa sổ huấn luyện và kiểm định, cách hiệu chỉnh lại tham số nhiễu, và cách chiến lược xử lý điểm gãy hay quan sát thiếu. So sánh hệ số cố định và động trên cùng các phân đoạn theo thời gian.

Bài viết của Kalman về lọc tuyến tính phát triển khung đệ quy. Hatanaka nghiên cứu hồi quy có một số hệ số thay đổi theo thời gian. Elliott, van der Hoek và Malcolm trình bày mô hình ngẫu nhiên cho giao dịch cặp. Xem thêm hướng dẫn về dự báo và cập nhật Kalman, đồng liên kết và tương quan trong giao dịch cặp, kiểm định hạng Johansen và kiểm định tỷ số phương sai.