Kiểm định ARCH LM: phát hiện cụm biến động trong phần dư mô hình tài chính

Dấu của lợi suất có thể thay đổi trong khi độ lớn của biến động vẫn có tính phụ thuộc theo thời gian. Những biến động lớn thường nối tiếp các biến động lớn, còn giai đoạn yên ắng có thể tiếp tục yên ắng; hiện tượng đó gọi là cụm biến động. ARCH LM là phép chẩn đoán xem bình phương phần dư sau khi ước lượng phương trình trung bình có phụ thuộc vào các độ trễ đã chọn hay không.

Câu hỏi của kiểm định có phạm vi hẹp: bình phương phần dư hiện tại có quan hệ tuyến tính với các bình phương phần dư quá khứ đến bậc q không, so với giả thuyết không có mối liên hệ? Bài báo ARCH của Engle đề xuất một khuôn khổ để kiểm định và mô hình hóa phương sai có điều kiện thay đổi theo thời gian. Xem bài báo Engle năm 1982.

Kiểm định không đánh giá liệu có thể dự đoán dấu của lợi suất tương lai hay không. Nó cũng không xác định nguyên nhân của sự phụ thuộc và không tự chọn mô hình phương sai phù hợp.

Trước khi kiểm định, hãy xác định phương trình trung bình phù hợp với chuỗi dữ liệu và câu hỏi. Có chuỗi chỉ cần một trung bình hằng số, nhưng tự tương quan bị bỏ sót, hiệu ứng theo thứ trong tuần, biến giải thích đã biết hoặc mẫu hình trong ngày có thể để lại cấu trúc trong phần dư. Cấu trúc này có thể biểu hiện thành quan hệ giữa các bình phương phần dư và làm sai lệch chẩn đoán phương sai.

Sau khi ước lượng, ký hiệu phần dư tại thời điểm t là e_t. Phần dư phụ thuộc vào mẫu, phương trình trung bình, tần suất dữ liệu và cách xử lý ngoại lệ. Đổi phương trình trung bình sẽ làm thay đổi phần dư, vì vậy không nên diễn giải kết quả ARCH LM tách rời đặc tả mô hình.

Hãy kiểm tra tự tương quan của phần dư và tính hợp lý của phương trình trung bình. Ghi lại định nghĩa lợi suất, loại giá, cách xử lý dữ liệu thiếu và tần suất lấy mẫu. Cần hiểu phần trung bình của chuỗi trước khi chẩn đoán phương sai có điều kiện.

Chọn bậc q rồi ước lượng hồi quy phụ, trong đó bình phương phần dư hiện tại được giải thích bởi q bình phương phần dư quá khứ:

e_t^2 = a_0 + a_1 e_{t-1}^2 + ... + a_q e_{t-q}^2 + v_t

Giả thuyết không cho rằng tất cả hệ số độ trễ đồng thời bằng không: H0: a_1 = ... = a_q = 0. Giả thuyết đối cho rằng ít nhất một hệ số khác không, tức bình phương phần dư có quan hệ tuyến tính với các bình phương phần dư quá khứ đến bậc đã chọn.

Khi căn chỉnh độ trễ, q quan sát đầu tiên không dùng được trong hồi quy phụ. Gọi M là số dòng thực sự được dùng trong hồi quy này, còn R² là hệ số xác định của chính hồi quy phụ đó. M là số quan sát còn lại sau khi căn chỉnh độ trễ, không nhất thiết bằng toàn bộ độ dài chuỗi ban đầu.

Trong các điều kiện mẫu lớn tiêu chuẩn, LM = M × R² xấp xỉ phân phối chi bình phương với q bậc tự do. Bậc tự do bằng số độ trễ được đưa vào hồi quy phụ. Với mẫu nhỏ, đuôi phân phối dày hoặc có điểm gãy cấu trúc, xấp xỉ này có thể kém tin cậy.

Một ví dụ hoàn toàn giả định: q=5, M=300 và R²=0,018 thì LM=300×0,018=5,4. Ở mức 5%, giá trị tới hạn chi bình phương với 5 bậc tự do xấp xỉ 11,07. Vì 5,4 thấp hơn 11,07, ví dụ này không bác bỏ giả thuyết không ở mức 5%.

Điều đó không chứng minh phương sai là hằng số. Mẫu có thể ngắn, kiểm định thiếu lực, phương trình trung bình có thể chưa phù hợp hoặc kết quả nhạy với q. Hãy diễn đạt rằng chưa có đủ bằng chứng với thiết lập đã chọn, thay vì kết luận chắc chắn rằng phương sai không đổi.

Không nên chọn q sau khi xem kết quả chỉ để đạt ý nghĩa thống kê. Hãy xác định các bậc ứng viên dựa trên tần suất dữ liệu, độ dài mẫu, mục tiêu chẩn đoán và khoảng thời gian phụ thuộc cần quan tâm. Cùng một số độ trễ nhưng dữ liệu ngày và dữ liệu tuần đại diện cho các chân trời thời gian khác nhau.

Nếu kiểm tra nhiều q, hãy ghi lại lý do chọn và trình bày độ nhạy. Chỉ báo cáo thống kê lớn nhất có thể làm phóng đại khả năng bác bỏ ngẫu nhiên do thử nhiều giả thuyết. Nếu kết luận đổi khi q thay đổi nhẹ, đó cũng là thông tin cần báo cáo.

q càng lớn, số hệ số của hồi quy phụ càng tăng; với mẫu ngắn, độ chính xác và lực kiểm định có thể giảm. Hãy báo cáo độ dài mẫu, q, M sau căn chỉnh, R², thống kê LM, giá trị p và các cấu hình thay thế hợp lý.

ARCH LM không kiểm định hướng tăng hay giảm của lợi suất. Ngay cả khi phát hiện phụ thuộc trong bình phương phần dư, kiểm định cũng không xác định nguyên nhân là tin tức, thanh khoản, hành vi thị trường, cơ chế giao dịch hay lỗi đo lường. Phát hiện phụ thuộc không đồng nghĩa với quan hệ nhân quả.

Bác bỏ giả thuyết không cũng không chứng minh một đặc tả ARCH hoặc GARCH cụ thể là đúng. Cần xem xét riêng bậc mô hình, giả định phân phối, tính bất đối xứng và thay đổi cấu trúc. Thống kê kiểm định không tạo ra tín hiệu mua bán hoặc thời điểm vào lệnh.

Tương tự, không bác bỏ giả thuyết không không chứng minh biến động là hằng số theo thời gian. Mẫu ngắn, ngoại lệ hoặc đuôi dày có thể khiến một dạng phụ thuộc tồn tại nhưng khó phát hiện.

Kiểm định McLeod–Li dùng một kiểm tra dạng portmanteau để xem bình phương phần dư có tự tương quan hay không. Nó xem xét câu hỏi gần với ARCH LM nhưng tổng hợp thông tin theo cách khác. Bài báo McLeod và Li năm 1983 cũng không chứng minh nguyên nhân phụ thuộc hay khả năng dự đoán có lợi nhuận.

Chẩn đoán này bổ sung cho hướng dẫn về hệ số và giả định hồi quy OLS, chứ không thay thế hướng dẫn đó và cũng không phải là sai số chuẩn vững. ARCH LM kiểm tra phụ thuộc theo độ trễ trong bình phương phần dư; sai số chuẩn vững điều chỉnh suy luận khi phương sai thay đổi.

Kết quả ARCH LM có thể là lý do để xem xét ARCH hoặc GARCH như mô hình ứng viên, chứ không phải chỉ dẫn phải dùng chúng. Sau khi ước lượng phương trình trung bình và phương sai, hãy kiểm tra phần dư chuẩn hóa, sự phụ thuộc còn lại trong phần dư và bình phương của chúng, giả định phân phối và độ ổn định tham số.

Đọc thêm về mô hình trong hướng dẫn cụm biến động và GARCH; xem hướng dẫn sai số chuẩn vững và HAC để biết phương sai thay đổi ảnh hưởng đến suy luận ra sao. Bài giảng Nobel của Engle khái quát sự phát triển của ARCH và ứng dụng vào chuỗi thời gian tài chính. Cuối cùng, đánh giá mô hình ứng viên bằng dự báo phương sai ngoài mẫu.

Báo cáo nên nêu tần suất và định nghĩa lợi suất, phương trình trung bình, cách tạo phần dư, lý do chọn q, số quan sát hồi quy phụ M, R², thống kê LM, bậc tự do, giá trị p và các cấu hình đã thử. Nếu không bác bỏ giả thuyết không, đừng gọi đó là bằng chứng phương sai hằng số.

Cũng cần ghi rõ ngoại lệ, đuôi dày, điểm gãy cấu trúc, động học trung bình bị bỏ sót và mẫu ngắn có thể ảnh hưởng thế nào. Nếu đã thử nhiều q hoặc nhiều kiểm định, hãy nêu phạm vi tìm kiếm và cách xử lý so sánh nhiều lần. Bài giảng Nobel của Engle về ARCH cùng bài báo gốc giúp đặt kiểm định vào đúng vai trò là một phần của chẩn đoán mô hình, không phải kết luận cuối cùng.