Giải thích định lý Gärtner–Ellis: độ lệch lớn và đuôi quyền chọn

Với các vectơ ngẫu nhiên Z_n và tốc độ a_n→∞, định nghĩa Λ_n(θ)=a_n^{-1}log E[exp(a_n⟨θ,Z_n⟩)]

Giả sử Λ_n(θ) hội tụ theo từng điểm đến một hàm giá trị thực mở rộng Λ(θ) trên một miền được nêu

Giới hạn này ghi nhận tốc độ tăng của moment mũ ở cùng quy mô được dùng để đo xác suất sự kiện hiếm

Tốc độ ứng viên là Λ*(x)=sup_θ{⟨θ,x⟩−Λ(θ)}, phép biến đổi Legendre–Fenchel của Λ

Khi Λ khả vi, một x mục tiêu có thể được ghép với một độ nghiêng θ thỏa mãn ∇Λ(θ)=x

Giá trị Λ*(x) là chi phí mũ để khiến x trở nên điển hình dưới độ đo đã nghiêng tương ứng

Định lý thường cho cận trên đối với các tập đóng dưới điều kiện tight mũ

Cận dưới cơ bản của nó có thể chỉ bao phủ các điểm lộ của Λ*, nơi một siêu phẳng đỡ xác định mục tiêu một cách rõ ràng

Tính trơn thiết yếu, tính nửa liên tục dưới và hành vi dốc tại các biên miền hữu hạn có thể mở rộng điều này thành một cận dưới đầy đủ

Với các quan sát độc lập cùng phân phối và hàm sinh moment theo log hữu hạn gần bằng không, trung bình mẫu có hàm tốc độ Λ* dưới các điều kiện tiêu chuẩn

Gärtner–Ellis rộng hơn vì có thể xử lý các họ phụ thuộc hoặc không cùng phân phối khi đã biết giới hạn của phép biến đổi co giãn

Nó không rộng hơn mà không có chi phí: chứng minh giới hạn, tính tight mũ và tính chính quy ở biên có thể là phần khó nhất

Đối với lợi suất log dưới độ đo trung lập rủi ro, giới hạn của phép biến đổi ở thời gian dài, thời gian ngắn hoặc nhiễu nhỏ có thể suy ra tiệm cận đuôi và tiệm cận của quyền chọn ngoài giá

Khi đó, khớp mức suy giảm dẫn đầu của giá quyền chọn với một chuẩn có thể cho hành vi dẫn đầu của biến động hàm ý trong cùng chế độ

Độ đo định giá, điều kiện martingale, cách co giãn giá thực hiện và miền phép biến đổi phải nhất quán trong toàn bộ lập luận

Mọi phép biến đổi Legendre–Fenchel đều lồi, ngay cả khi tốc độ sự kiện hiếm bên dưới của một hệ thống không lồi

Một Λ không trơn có thể mã hóa các pha cạnh tranh, trong khi đối ngẫu của nó có thể chứa các đoạn tuyến tính và các độ nghiêng tối ưu không duy nhất

Vì vậy, đối ngẫu hóa mù quáng có thể trả về bao lồi và bỏ sót những trạng thái cần một phân tích độ lệch lớn trực tiếp hơn

Kiểm tra hội tụ Λ_n trên một lưới θ mở rộng, tính hữu hạn của phép biến đổi, tính lồi, các đạo hàm và tăng trưởng ở biên

So sánh Λ*(x) với xác suất log mô phỏng hoặc các tiệm cận độc lập qua nhiều quy mô, không chỉ một kỳ hạn

Ghi lại phạm vi bao phủ của điểm lộ, tính tight mũ, tính duy nhất của nghiệm tối ưu, tính hợp lệ martingale và các kiểm tra kinh doanh chênh lệch tĩnh trên giá quyền chọn suy ra