Chấm điểm chung VaR–ES: Đánh giá dự báo theo Fissler–Ziegel

Gọi L_t là khoản lỗ, nghĩa là giá trị lớn hơn tệ hơn; c là mức tin cậy, chẳng hạn 97,5%. Phân vị khoản lỗ có điều kiện v(c,t) là giá trị x nhỏ nhất để F(L_t ≤ x | thông tin đến t−1) đạt c. Với quy ước khoản lỗ dương ở đuôi trên, ES bằng 1/(1−c) nhân tích phân v(u,t) từ c đến 1, nếu trung bình đuôi hữu hạn. Với phân phối liên tục, đây là khoản lỗ trung bình vượt ngưỡng VaR. Nếu có khối xác suất tại ngưỡng, định nghĩa tích phân phân vị xử lý phần khối cần thiết.

Điểm số phải dùng cùng quy ước với dự báo. Một số bài báo định nghĩa VaR và ES ở đuôi dưới của lợi suất, thường là số âm, và ký hiệu xác suất đuôi là α = 1−c. Với quy ước khoản lỗ dương, rủi ro tương ứng nằm ở đuôi trên và ES ít nhất bằng VaR. Trộn các quy ước có thể đảo dấu bất đẳng thức và chỉ báo ngoại lệ. Hãy ghi rõ dấu, mức tin cậy, kỳ hạn và thông tin có trước khi kết quả xảy ra.

Phân vị có điểm pinball strictly consistent quen thuộc. Với khoản lỗ L và phân vị-c là v, một điểm VaR là S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L). Trong các điều kiện phân vị thông thường, kỳ vọng điểm số đạt cực tiểu tại phân vị mục tiêu, nên có thể đánh giá riêng VaR.

Không có điểm số strictly consistent tương tự để chỉ elicitable ES trên các lớp phân phối khoản lỗ rộng dùng trong quản trị rủi ro. Phát biểu này chỉ nói về dự báo điểm độc lập có điểm kỳ vọng chọn ES duy nhất. Nó không có nghĩa ES vô nghĩa, không thể kiểm định, hoặc không thể so sánh như một phần của dự báo rộng hơn.

Fissler và Ziegel nêu bật khác biệt cốt lõi: ES riêng lẻ không elicitable theo nghĩa này, nhưng cặp (VaR, ES) có thể jointly elicitable trong các điều kiện chính quy và mômen phù hợp. Bài báo năm 2016 đưa ra điều kiện cần và đủ cho các lớp điểm số strictly consistent (Fissler and Ziegel, 2016). Joint elicitability nghĩa là một hàm điểm số nhận cả hai thành phần dự báo và kết quả thực tế làm đầu vào. Cộng tùy ý hai tổn thất không tạo thành điểm ES hợp lệ.

Ký hiệu S_c(v,e;L) là điểm chung admissible tại mức c. Strict consistency có nghĩa điểm kỳ vọng dưới phân phối mục tiêu đạt cực tiểu tại cặp đúng: (VaR_c, ES_c) = arg min theo (v,e) của E[S_c(v,e;L)]. Trong điều kiện liên quan, điểm cực tiểu là duy nhất. Điểm số kết hợp thông tin về việc khoản lỗ vượt ngưỡng VaR hay không với khoản lỗ đuôi thực tế và dự báo ES. Với khoản lỗ dương ở đuôi trên, ES không nên thấp hơn VaR.

Fissler–Ziegel mô tả một lớp điểm số chứ không phải công thức bắt buộc duy nhất. Patton, Ziegel và Chen dùng kết quả này để mô hình hóa và so sánh dự báo VaR–ES động (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). Một thành viên phổ biến, FZ0, được viết theo quy ước lợi suất đuôi dưới Y = −L, α = 1−c và dự báo âm e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. Biểu thức này phụ thuộc vào dấu lợi suất và các giả định âm đó. Không áp dụng nguyên dạng cho mọi bộ dữ liệu khoản lỗ dương hay mọi điểm số chung. Hãy ghi lại điểm số đã chọn và kiểm tra giả định có phù hợp với dữ liệu, quy ước dự báo hay không.

Với mô hình m, tính điểm chung cho từng cặp dự báo–kết quả rồi lấy trung bình: mean_S_m = (1/T) Σ_t S_c(v_hat(m,t), e_hat(m,t); L_t). Khi cùng dùng một điểm admissible, ngày, mục tiêu và quy ước, trung bình thấp hơn cho thấy hiệu quả tương đối tốt hơn theo quy tắc đó. Điểm số không phải xác suất, mức VaR hay ước lượng tổn thất bằng tiền; thang số phụ thuộc điểm đã chọn.

Để so sánh cặp A và B, đặt d_t = S_A,t − S_B,t. Trung bình âm nghiêng về A theo điểm số đã chọn. Cả hai dự báo gặp cùng một kết quả, nên chênh lệch ghép cặp có ích hơn so với so sánh hai số trung bình đã làm tròn riêng. Dù vậy, chênh lệch vẫn nhiễu nếu số quan sát đuôi ít.

<!-- learn:illustration -->

So sánh trên cùng thời điểm tạo dự báo, danh mục hoặc mục tiêu, kỳ hạn, mức tin cậy và phiên bản dữ liệu. Dự báo phải được ghi lại trước khi biết kết quả. Nếu kỳ hạn chồng lấn hoặc chênh lệch điểm có phụ thuộc chuỗi thời gian, phép tính bất định cần phản ánh điều đó. Hãy báo cáo sai số chuẩn hoặc khoảng phù hợp; một chênh lệch thô nhỏ chưa tự động có ý nghĩa.

Có thể muốn cộng pinball loss của VaR với sai số tuyệt đối giữa dự báo ES và một giá trị đại diện. Hạng thứ hai có thể không phải điểm ES hợp lệ, còn tổng có trọng số tùy ý không đảm bảo joint consistency. Điểm FZ được xây dựng để cặp dự báo cùng nhắm tới functional VaR–ES. Thay đổi trọng số hoặc phép biến đổi mà không giữ tính chất đó sẽ làm thay đổi câu hỏi được đánh giá.

Lớp Fissler–Ziegel có nhiều điểm số với độ nhạy và thang đo khác nhau, vì vậy không thể so sánh trực tiếp chênh lệch từ các điểm khác nhau. Patton, Ziegel và Chen bàn về thiết kế điểm số và đặc tính thang đo của FZ0 dưới các giả định dấu bổ sung; điều đó không khiến FZ0 luôn tốt nhất. Hãy chọn và công bố quy tắc trước khi xem thứ hạng.

Cặp dự báo cũng quan trọng. Dự báo ES có vẻ hợp lý về số học nhưng có thể không tương thích với VaR đi cùng. Ngược lại, điểm chung tốt không chứng minh toàn bộ phân phối có điều kiện là đúng. Điểm số đánh giá functional đã nêu theo quy tắc và thiết kế được chọn.

Chỉ báo ngoại lệ VaR là nhị phân: I_t = 1 nếu L_t vượt dự báo VaR, nếu không thì bằng 0. Hai mô hình có thể có cùng số lượng và thời điểm ngoại lệ nhưng khoản lỗ vượt ngưỡng khác nhau rất nhiều. Bốn lần vượt ngưỡng không cho biết mức vượt nhỏ hay rất lớn. Chỉ đếm hit làm mất thông tin về mức độ vượt mà ES được thiết kế để mô tả.

Điểm chung dùng ngưỡng VaR và dự báo ES cùng với khoản lỗ thực tế, vì vậy quy mô khoản lỗ đuôi có thể ảnh hưởng tới điểm ngoài số hit. Điểm được chọn xác định đóng góp chính xác của từng quan sát. Đừng tuyên bố mô hình thắng chỉ từ một khoản lỗ cực đoan; hãy tính điểm trên toàn bộ mẫu chung và kiểm tra độ nhạy.

Chấm điểm để so sánh dự báo khác với kiểm tra tần suất ngoại lệ VaR. Điểm chung hỏi cặp dự báo nào hoạt động tốt hơn theo cùng một quy tắc; nó không phải chứng nhận hiệu chỉnh đầy đủ.

Kiểm định VaR kiểu Kupiec so sánh số ngoại lệ với tỷ lệ mục tiêu; mở rộng kiểu Christoffersen còn xem xét phụ thuộc hoặc cụm ngoại lệ. Vì mỗi kết quả bị rút gọn thành hit hoặc không hit, các kiểm định này không đo độ lớn khoản lỗ vượt VaR và không trực tiếp xác thực dự báo ES. Hướng dẫn VaR và Expected Shortfall giải thích vì sao số ngoại lệ bỏ qua mức độ nghiêm trọng của đuôi.

Chấm điểm chung hỗ trợ so sánh dự báo tương đối; backtesting hỏi liệu dự báo có được hiệu chỉnh phù hợp theo một thủ tục xác định hay không. Acerbi và Szekely đề xuất các backtest ES phi tham số và cho rằng elicitability liên quan đến lựa chọn mô hình, không phải điều kiện tiên quyết để kiểm định thước đo rủi ro (Acerbi and Szekely, 2014). Bayer và Dimitriadis phát triển backtest ES dựa trên hồi quy với cấu trúc VaR–ES chung; các biến thể có giả định và yêu cầu hiệp phương sai riêng (Bayer and Dimitriadis, 2022). Thứ hạng điểm không thay thế backtest chuyên biệt; không bác bỏ giả thuyết cũng không chứng minh cặp dự báo chính xác.

Coi chuỗi thời gian chênh lệch điểm là dữ liệu. Với dự báo một bước không chồng lấn và giả định phụ thuộc phù hợp, có thể cân nhắc kiểm định ghép cặp cho trung bình chênh lệch. Nếu có phụ thuộc chuỗi hoặc kỳ hạn chồng lấn, hãy dùng suy luận phản ánh phụ thuộc, chẳng hạn ước lượng phương sai dài hạn hoặc bootstrap khối. Nêu phương pháp và quy tắc bandwidth hoặc khối, không chỉ báo cáo p-value.

Cố định điểm số, mức đuôi, kỳ hạn, ngày đánh giá và tập mô hình trước khi xem kết quả. Thử nhiều điểm, cửa sổ, tài sản hay biến thể rồi chỉ báo cáo tốt nhất sẽ tạo ảnh hưởng do chọn lọc. Nếu có thể, giữ lại một giai đoạn đánh giá sau và công khai cách sàng lọc phương án. Độ bất định báo cáo không tự động điều chỉnh cho quá trình tìm kiếm đó.

Báo cáo điểm trung bình và chênh lệch ghép cặp kèm bất định, định nghĩa điểm số, quy ước VaR–ES, các ngày ngoài mẫu chung và số quan sát đuôi. Nếu thứ hạng đổi theo lựa chọn điểm số hoặc giai đoạn hợp lý, hãy trình bày độ nhạy.

Mức tin cậy cao để lại ít quan sát đuôi, khiến thứ hạng mô hình không ổn định ngay cả khi chuỗi dài. Phương sai có điều kiện, thay đổi chế độ, lợi suất chồng lấn, sai số ước lượng, lỗi dữ liệu và thay đổi danh mục đều ảnh hưởng chênh lệch điểm. Joint elicitability không xóa các vấn đề này; nó cung cấp lớp điểm số có cơ sở dưới những điều kiện toán học.

Kiểm tra khoản lỗ thực tế khớp với danh mục, kỳ hạn, phương pháp định giá và dấu của dự báo; VaR và ES dùng cùng xác suất đuôi; dự báo thực sự có trước kết quả; và điểm số phù hợp với giả định. Báo cáo độ dài mẫu, số quan sát đuôi, công thức điểm, quy trình bất định ghép cặp và mọi quá trình tìm kiếm mô hình hoặc điểm. Kết luận phụ thuộc vào thiết kế này.

Điểm chung thấp hơn là bằng chứng về hiệu quả dự báo tương đối theo một proper scoring rule cụ thể. Nó không chứng minh mô hình bao quát mọi sự kiện đuôi, ước lượng rủi ro an toàn hay tương lai giống mẫu. Đây là nội dung thống kê, không phải lời khuyên đầu tư.