Kiểm định ngược VaR: Giải thích kiểm định Kupiec và Christoffersen

Value at Risk (VaR) là ngưỡng lỗ gắn với một mức tin cậy và khoảng thời gian cụ thể. Nếu VaR một ngày ở mức 99% là 10.000 đô la, mô hình cho rằng xác suất khoản lỗ một ngày vượt 10.000 đô la là 1%, theo thông tin và giả định mà mô hình sử dụng. Đây không phải mức lỗ tối đa, cũng không cho biết khoản lỗ có thể lớn đến đâu sau khi vượt ngưỡng.

Kiểm định ngược chuyển chuỗi dự báo và kết quả thành chuỗi chỉ báo về lần vượt VaR. Với mô hình VaR một ngày mức 99% được hiệu chỉnh tốt, tỷ lệ vượt ngưỡng trong các quan sát tương đồng lặp lại nên xấp xỉ 1% về dài hạn. Yêu cầu này có hai phần: tần suất dài hạn gần mục tiêu và thứ tự sự kiện không mâu thuẫn với dự báo rủi ro có điều kiện. Kiểm định proportion-of-failures (POF) của Kupiec tập trung vào phần đầu. Kiểm định độc lập và bao phủ có điều kiện của Christoffersen đưa thứ tự các sự kiện vào phân tích.

Khác biệt này có ý nghĩa thực tế. Một mô hình có thể ghi nhận bốn lần vượt VaR trong năm và cả bốn cùng xảy ra trong một tuần biến động mạnh. Mô hình khác cũng có bốn lần nhưng rải đều cả năm. Kiểm định chỉ xét số lượng sẽ thấy cả hai đều có bốn lần; kiểm định xét thời điểm sẽ thấy hai chuỗi khác nhau. Các kiểm định dưới đây giúp mô tả đặc tính đó, nhưng không thay thế việc xem xét vị thế, dữ liệu thị trường, giả định hay mức độ nghiêm trọng của khoản lỗ. Bạn có thể xem hướng dẫn về GARCH và hiện tượng cụm biến động để tìm hiểu cách mô hình hóa biến động; backtest lại kiểm tra dự báo rủi ro so với kết quả thực tế.

Dùng nhất quán một quy ước dấu trong toàn bộ phân tích. Gọi Lₜ là khoản lỗ thực tế ngày t và VaRₜ|ₜ₋₁ là ngưỡng lỗ một ngày được dự báo bằng thông tin có trước ngày t. Đặt chỉ báo Iₜ = 1 khi Lₜ > VaRₜ|ₜ₋₁, và Iₜ = 0 nếu không. Với VaR 99%, xác suất vượt ngưỡng mục tiêu là α = 1 − 0,99 = 0,01. Một số tài liệu định nghĩa chỉ báo bằng lợi suất hoặc bằng việc kết quả nằm trong khoảng được bao phủ; các quy ước tương đương sau khi đổi dấu và xác suất nhất quán. Hãy nêu rõ quy ước đang dùng.

Dự báo và kết quả phải cùng chỉ danh mục, khoảng thời gian, thời điểm định giá và định nghĩa khoản lỗ. Nếu tạo dự báo sau khi thị trường đóng cửa cho ngày giao dịch kế tiếp, hãy so sánh với khoản lỗ của ngày kế tiếp theo quy tắc định giá đã xác định trước. Quyết định trước cách xử lý trường hợp bằng đúng ngưỡng VaR, ngày nghỉ, quan sát thiếu, thị trường đóng cửa, chỉnh sửa dữ liệu trong ngày và thay đổi danh mục. Khi các lần vượt ngưỡng hiếm, chỉ một khác biệt trong phân loại cũng có thể tác động đáng kể đến kết quả.

Tách việc chọn mô hình khỏi đánh giá cuối cùng. Nếu chọn tham số hoặc ngưỡng rủi ro sau khi xem chính giai đoạn dùng để kiểm định, giá trị p không còn thể hiện một kiểm tra ngoài mẫu độc lập. Với dự báo cuốn chiếu, lưu lại thời điểm mỗi dự báo được tạo và thông tin sẵn có lúc đó. Các dự báo nhiều ngày chồng lấn có thể khiến chuỗi chỉ báo vượt ngưỡng phụ thuộc nhau. Những kiểm định tiêu chuẩn dưới đây không tự sửa được sự lệch khoảng thời gian, rò rỉ thông tin tương lai, dữ liệu đầu vào đã sửa đổi hay quá trình chọn mô hình.

Giả sử có T cặp dự báo-kết quả có thể so sánh và x lần vượt ngưỡng. Tỷ lệ quan sát được là p̂ = x/T. Kiểm định proportion-of-failures (POF) của Kupiec (bài báo năm 1995), còn gọi là kiểm định bao phủ vô điều kiện, so sánh hai likelihood nhị thức: một likelihood cố định xác suất vượt ngưỡng ở mức mục tiêu α; likelihood kia ước lượng tự do thành p̂. Thống kê tỷ số likelihood là:

LRᵤ꜀ = −2 ln [ (1−α)^(T−x) α^x / ((1−p̂)^(T−x) p̂^x) ]

Dưới giả thuyết không, các chỉ báo vượt ngưỡng là biến cố Bernoulli độc lập có xác suất α. Với mẫu đủ lớn, thống kê xấp xỉ phân phối chi bình phương một bậc tự do. Giá trị lớn là bằng chứng để bác bỏ tần suất vượt ngưỡng được chỉ định. Vì giả thuyết đối ước lượng tự do tỷ lệ quan sát, kiểm định có thể bác bỏ khi số lần vượt ngưỡng quá nhiều hoặc quá ít. Mô hình hầu như không bao giờ vượt ngưỡng VaR không đương nhiên được hiệu chỉnh tốt; nó có thể quá thận trọng và không hữu ích cho mục đích dự kiến.

POF dùng số lần x chứ không dùng ngày xảy ra sự kiện. Đổi thứ tự cùng các chỉ báo không làm thống kê thay đổi. Vì vậy, kết quả POF không thể cho biết bốn lần vượt ngưỡng diễn ra cách quãng hay liên tiếp. Phân phối nhị thức tham chiếu cũng giả định các chỉ báo độc lập. Nếu câu hỏi là liệu sự kiện có tụ cụm hay không, hãy bổ sung kiểm định phụ thuộc thay vì suy diễn điều đó từ kết quả POF.

Xét chuỗi giả định gồm 250 dự báo VaR một ngày ở mức 99%. Tỷ lệ mục tiêu là α = 0,01, nên số lần vượt ngưỡng kỳ vọng dưới giả thuyết không là Tα = 250 × 0,01 = 2,5. Giả sử chuỗi có bốn lần vượt ngưỡng. Khi đó p̂ = 4/250 = 0,016, tức 1,6%. Tỷ lệ này cao hơn mục tiêu 1%, nhưng riêng khoảng cách đó chưa quyết định liệu kiểm định tỷ số likelihood có bác bỏ hay không.

Thay T = 250, x = 4 và α = 0,01 vào công thức cho LRᵤ꜀ ≈ 0,769. Dùng phân phối tham chiếu chi bình phương(1) tiệm cận cho p ≈ 0,38; giá trị tới hạn 5% khoảng 3,84. Theo phép xấp xỉ này, ví dụ không bác bỏ bao phủ vô điều kiện ở mức 5%. Đây là phép tính giả định để minh họa, không phải kết quả thực nghiệm hay ngưỡng chấp nhận được khuyến nghị.

Hai log-likelihood cho thấy thống kê được tạo ra như thế nào. Khi cố định tỷ lệ ở mục tiêu, ℓ₀ = 246 ln(0,99) + 4 ln(0,01) ≈ −20,893. Khi ước lượng tự do theo tỷ lệ quan sát, ℓ₁ = 246 ln(0,984) + 4 ln(0,016) ≈ −20,508. Độ phù hợp tự do cao hơn khoảng 0,385 đơn vị log-likelihood, nên LRᵤ꜀ = −2(ℓ₀ − ℓ₁) ≈ 0,769. Kiểm định đo mức suy giảm độ phù hợp so với mô hình giữ tỷ lệ mục tiêu, không đo khoảng cách theo đô la.

Không bác bỏ không chứng minh mô hình được hiệu chỉnh tốt. Chỉ có 2,5 lần vượt ngưỡng kỳ vọng trong 250 ngày, nên thêm hoặc bớt một, hai sự kiện cũng làm tỷ lệ quan sát đổi đáng kể. Phép tính chi bình phương là tiệm cận; kiểm định biến cố hiếm có thể có công suất thấp với mẫu cỡ này. Đọc thống kê cùng số lần kỳ vọng, chân trời dự báo, thiết kế kiểm định và cỡ mẫu. Giá trị p không phải xác suất mô hình VaR là đúng.

So sánh hai chuỗi 250 ngày giả định, mỗi chuỗi có bốn lần vượt ngưỡng. Trong chuỗi A, sự kiện xảy ra ngày 20, 80, 140 và 220. Trong chuỗi B, chúng xảy ra ngày 60, 61, 180 và 181. Cả hai đều có x = 4 và p̂ = 1,6%, nên thống kê Kupiec giống nhau. Nhưng B có hai cặp sự kiện liên tiếp, còn A không có cặp nào.

Hình minh họa bên dưới cho thấy về mặt khái niệm vì sao cần lưu thứ tự chỉ báo chứ không chỉ tổng số. Đây không phải chuỗi dữ liệu 250 ngày thực tế và không phải kết quả kiểm định. Các lần vượt ngưỡng liên tiếp có thể là lý do xem xét mô hình có theo kịp biến động hay không, nhưng một số ít điểm không thể tự xác định nguyên nhân. Mô hình sai đặc tả, cú sốc thị trường, thay đổi danh mục, chân trời chồng lấn hoặc quy tắc dữ liệu và thời gian cũng có thể tạo ra mẫu hình này.

Gọi nᵢⱼ là số lần chỉ báo trước đó bằng i và chỉ báo hiện tại bằng j; 0 nghĩa là không vượt ngưỡng, 1 là có. Bỏ qua ranh giới chuỗi, Bảng chuyển tiếp đầy đủ là: A có n₀₀ = 241, n₀₁ = 4, n₁₀ = 4, n₁₁ = 0; B có n₀₀ = 243, n₀₁ = 2, n₁₀ = 2, n₁₁ = 2. Cả hai có bốn lần, nhưng hai lần trong B xảy ra ngay sau một lần vượt ngưỡng trước đó. Đó là thông tin mà kiểm định độc lập bậc một sử dụng.

Xác suất vượt ngưỡng ước lượng sau một ngày không vượt là n₀₁/(n₀₀+n₀₁); sau một ngày có vượt là n₁₁/(n₁₀+n₁₁). Với A, các tỷ lệ lần lượt là 4/245 ≈ 1,63% và 0/4. Với B là 2/245 ≈ 0,82% và 2/4 = 50%. Mức 50% dựa trên chỉ bốn lần chuyển tiếp sau khi đã vượt ngưỡng, nên chỉ mô tả chuỗi giả định nhỏ này, không phải ước lượng đáng tin cậy về rủi ro ngày kế tiếp của một mô hình thực tế.

Kiểm định độc lập của Christoffersen (bài báo năm 1998) so sánh xác suất vượt ngưỡng sau một ngày yên ắng với xác suất sau ngày có vượt. Đặt π₀ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 0) và π₁ = Pr(Iₜ = 1 | Iₜ₋₁ = 1). Giả thuyết không về tính độc lập là π₀ = π₁: trạng thái vượt ngưỡng hôm qua không làm đổi xác suất hôm nay. Dưới giả thuyết đối, hai xác suất được ước lượng riêng từ n₀₀, n₀₁, n₁₀ và n₁₁.

Thống kê tỷ số likelihood cho tính độc lập so sánh hai mô hình và thường được đánh giá theo phân phối chi bình phương một bậc tự do. Khác với POF, nó phụ thuộc vào thứ tự chỉ báo. Nếu các lần vượt ngưỡng thường nối tiếp nhau, π₁ có thể lớn hơn π₀. Kiểm định chỉ xét phụ thuộc bậc một trong chuỗi nhị phân; nó không kiểm tra mọi cách mà thông tin quá khứ, biến động hay trạng thái danh mục có thể dự báo khoản lỗ tương lai.

Khi chỉ có vài lần vượt ngưỡng, ước lượng chuyển tiếp đặc biệt bất ổn. Nếu không có lần vượt liên tiếp, ước lượng π₁ có thể chạm biên bằng không, nhưng điều đó không cho thấy lần vượt thứ hai là bất khả thi; chỉ là mẫu này không ghi nhận trường hợp đó. Xem số lượng chuyển tiếp và cỡ mẫu cùng thống kê. Đừng diễn giải bảng thưa như một ước lượng chính xác về rủi ro đuôi ngày kế tiếp.

Kiểm định bao phủ có điều kiện cộng thống kê tần suất Kupiec với thống kê độc lập Christoffersen: LR꜀꜀ = LRᵤ꜀ + LRᵢₙd. Giả thuyết không kết hợp yêu cầu xác suất vượt ngưỡng bằng α và các lần vượt độc lập theo thời gian. Trong thiết lập tiệm cận tiêu chuẩn, tổng được so sánh với phân phối chi bình phương hai bậc tự do.

Nên báo cáo các thành phần bên cạnh kiểm định kết hợp. Bác bỏ bao phủ có điều kiện nghĩa là hai yêu cầu chung không phù hợp với chuỗi quan sát được theo giả định của kiểm định, nhưng không chỉ ra nguyên nhân. Nếu POF bị bác bỏ còn độc lập thì không, số lượng có thể là tín hiệu rõ hơn. Nếu kiểm định độc lập bị bác bỏ, hãy xem xét cụm thời gian ngay cả khi tổng số gần mục tiêu. Nếu không bác bỏ kiểm định nào, mẫu vẫn có thể quá ngắn để phát hiện mô hình sai.

Phạm vi diễn giải khá hẹp. Kiểm định nén khoản lỗ mỗi ngày thành chỉ báo nhị phân, nên không phân biệt vượt VaR một đô la với một triệu đô la. Nó cũng không xác nhận toàn bộ phân phối khoản lỗ hay tính đúng đắn của Expected Shortfall. Xem hướng dẫn so sánh VaR và Expected Shortfall để biết hai thước đo trả lời những câu hỏi khác nhau.

Với VaR 99%, mẫu 250 ngày chỉ có 2,5 lần vượt ngưỡng kỳ vọng. Nếu các lần vượt 1% độc lập, số chuyển tiếp từ vượt sang vượt kỳ vọng trong 249 cặp liền kề là khoảng 249 × 0,01² = 0,025. Phần lớn mẫu như vậy sẽ không có cặp liên tiếp ngay cả khi mô hình được hiệu chỉnh đúng. Sự khan hiếm này khiến xác suất chuyển tiếp khó ước lượng chính xác và có thể làm giảm công suất kiểm định phụ thuộc.

Christoffersen và Pelletier cho thấy các kiểm định VaR hiện có có thể có công suất tương đối thấp trong mẫu nhỏ thực tế và nghiên cứu các kiểm định thời lượng mô hình hóa thời gian giữa các lần vượt. Kết quả này là lý do để cân nhắc chẩn đoán bổ sung, không chứng minh kiểm định thời lượng luôn tốt hơn hoặc loại bỏ nhu cầu chọn phương pháp phù hợp với dự báo rủi ro và thiết kế mẫu. Khi ít quan sát, hãy nêu rõ giới hạn thay vì coi không bác bỏ là giấy chứng nhận mô hình tốt.

Tỷ lệ đuôi mục tiêu cũng quan trọng. Với VaR 95%, mẫu 250 ngày có 12,5 lần vượt kỳ vọng; với VaR 99,9%, chỉ 0,25. Cùng tên kiểm định không đảm bảo bằng chứng có thể so sánh giữa các thiết kế này. Hãy nêu mức tin cậy, chân trời dự báo, số quan sát, số lần vượt mục tiêu và thực tế, số chuyển tiếp, cũng như phép tính tiệm cận hay phương pháp mẫu hữu hạn.

Chọn chẩn đoán tiếp theo bằng cách hỏi hai kiểm định trên đã bỏ thông tin gì. Nếu muốn kiểm tra liệu các lần vượt có thể dự báo từ lần vượt trễ, dự báo VaR hoặc biến khác đã biết tại thời điểm lập dự báo hay không, kiểm định dynamic-quantile (DQ) của Engle và Manganelli (bài báo CAViaR năm 2004) kiểm tra các ràng buộc trên chỉ báo vượt ngưỡng đã trừ mục tiêu cùng tập biến công cụ được chọn. Kết luận phụ thuộc vào các biến này và thời điểm chúng sẵn có; đây không phải kiểm định mọi dạng thất bại có điều kiện. Kiểm định thời lượng thay vào đó xem khoảng chờ giữa các lần vượt.

Nếu quan tâm mức độ khoản lỗ vượt ngưỡng VaR, tần suất và độc lập là chưa đủ. Hãy xem kích thước phần vượt và chọn phương pháp đánh giá Expected Shortfall phù hợp với dự báo và giả định. Nếu vấn đề là chọn kết quả tốt nhất sau khi thử nhiều mô hình, kiểm định ngược VaR không giải quyết việc chọn chiến lược; xem PBO và CSCV để biết một chẩn đoán thứ hạng riêng.

Một báo cáo hữu ích nêu danh mục và quy ước khoản lỗ, chân trời, mức tin cậy, ngày đánh giá, cách tạo dự báo, định nghĩa lần vượt, số lần kỳ vọng và thực tế, thống kê POF, số chuyển tiếp, kết quả độc lập và bao phủ có điều kiện, cùng giới hạn do mẫu ngắn hay chân trời chồng lấn. Vẽ ngưỡng dự báo và khoản lỗ thực tế theo thời gian, đồng thời giữ kín dữ liệu đánh giá về sau trong quá trình chọn mô hình. Các bước này giúp diễn giải bằng chứng lịch sử, nhưng không đảm bảo kiểm soát rủi ro tương lai.