Giải thích độ đo rủi ro coherent và biểu diễn đối ngẫu

Gọi X là giá trị ròng hoặc lợi nhuận tương lai, trong đó X lớn hơn là tốt hơn và ρ(X) là lượng vốn cần có ở hiện tại.

Dùng tổn thất thay vì lợi nhuận sẽ đảo ngược một số dấu. Một con số rủi ro chưa đầy đủ nếu không nêu quy ước vị thế, chân trời và đơn vị thanh toán.

Tập chấp nhận chứa các vị thế có ρ(X) ≤ 0 và cung cấp một cách nhìn hình học tương đương về mức đủ vốn có thể chấp nhận.

Nếu X ≤ Y trong mọi trạng thái, tính đơn điệu yêu cầu ρ(X) ≥ ρ(Y): một vị thế bị trội không thể bị đánh giá là an toàn hơn.

Tính bất biến khi tịnh tiến tiền mặt cho ρ(X + m) = ρ(X) - m với khoản tiền chắc chắn m trong cùng numeraire và chân trời.

Tính chất này biến ρ thành yêu cầu vốn thay vì một điểm số không có đơn vị, nhưng quy ước về tài trợ và tiền tệ vẫn quan trọng.

Tính dưới cộng tính yêu cầu ρ(X + Y) ≤ ρ(X) + ρ(Y).

Khi đa dạng hóa được ghi nhận nhất quán, việc gộp các bộ phận không nên tạo ra rủi ro đo được lớn hơn việc đánh giá từng bộ phận riêng lẻ.

Bất đẳng thức có thể thất bại trong triển khai nếu kịch bản, chân trời thanh khoản hoặc quy tắc tất toán phi tuyến khác nhau giữa các vị thế.

Với λ ≥ 0, tính đồng nhất dương yêu cầu ρ(λX) = λρ(X).

Kết hợp với tính dưới cộng tính, điều này tạo ra tính lồi, nhưng giả định rằng tăng gấp đôi vị thế sẽ tăng gấp đôi rủi ro mà không làm thanh khoản hoặc tác động thị trường xấu đi.

Các độ đo rủi ro lồi nới lỏng tính đồng nhất và có thể biểu diễn chi phí phụ thuộc quy mô thông qua một khoản phạt trong công thức đối ngẫu.

Trong các điều kiện hữu hạn hoặc giải tích hàm phù hợp, ρ(X) = sup_{Q∈𝒬} E_Q[-X].

Tập 𝒬 chứa các độ đo kiểm tra hoặc căng thẳng; tổn thất kỳ vọng bất lợi nhất của vị thế X xác định lượng vốn cần có.

Biểu diễn này giống tính đối ngẫu của superhedging, nhưng tập kịch bản được phép là một phần của chính sách rủi ro và phải có lý do biện minh.

Value at Risk là một phân vị và không dưới cộng tính với mọi phân phối, nên nhìn chung không coherent.

Expected shortfall lấy trung bình các khoản lỗ trong phần đuôi đã chọn và coherent theo các định nghĩa chuẩn cùng điều kiện khả tích.

Mức đuôi, cách xử lý điểm khối, nội suy, dấu của tổn thất, chân trời và mô hình dữ liệu có thể làm thay đổi đáng kể một trong hai ước lượng.

Độ bao phủ kịch bản, ước lượng xác suất, phụ thuộc, vị thế lỗi thời, tái định giá phi tuyến và giả định thanh khoản quyết định đầu ra.

Kiểm định các ngoại lệ và tổn thất đuôi, kiểm tra sức chịu đựng của các yếu tố bị bỏ sót, và so sánh phân bổ biên cùng phân bổ thành phần với việc tái định giá đầy đủ.

Báo cáo tập chấp nhận hoặc họ kịch bản đối ngẫu, cửa sổ dữ liệu, cách co giãn, mức tin cậy và các giới hạn tại đó vốn không còn co giãn tuyến tính.