月報酬的夏普比率可以乘上√12嗎？自相關與年化

夏普比率是每期平均超額報酬除以同一期報酬的標準差。使用月資料時，每個月的超額報酬應以該月策略報酬減去相應月份的無風險報酬計算。不能未經換算便以年無風險報酬減月報酬。

這是依據已觀察樣本得到的描述性估計，不是機率、獲利保證，也不代表不會虧損。報酬定義、觀察頻率、樣本期間或成本處理方式改變，數值也可能不同。

Sharpe 說明此比率如何比較報酬與波動，也討論年化時所需的假設。閱讀Sharpe 的說明時，也要確認統計量的時間單位和分母。

若月超額報酬的平均值與變異數穩定，而且不同月份之間不相關，12 個月報酬總和的平均值就是月平均的12倍，變異數是月變異數的12倍。標準差因此增加√12倍，年度夏普便等於月夏普乘√12。獨立且同分配（IID）是零相關的一個充分條件，但並非唯一條件。

除了平均值與變異數穩定，跨月共變異數也必須為零。Sharpe 的年化說明同樣指出這項零相關條件。若報酬存在自相關，年度總和的標準差通常不會剛好按√12增加。

令月超額報酬為 x_t，平均值為 μ，落後 k 期的共變異數為 γ_k = Cov(x_t, x_{t-k})。γ_0 就是月變異數。在共變異數定態的假設下，q 個月超額報酬總和的變異數為：

Var(Σ x_t) = qγ_0 + 2Σ_{k=1}^{q−1}(q−k)γ_k

落後 k 期的自相關為 ρ_k = γ_k / γ_0。q 期總和的平均值是 qμ，因此彙總後的夏普比率為：

SR_q = √q × SR_1 / √[1 + 2Σ_{k=1}^{q−1}(1−k/q)ρ_k]

Lo（2002）的《The Statistics of Sharpe Ratios》推導了這項時間彙總修正。公式以遞減權重納入多個落後期，不是只看第一階自相關。

以下數字純粹是假設，用來說明計算方式，不是預測或實際績效。假設月平均超額報酬為0.4%，標準差為2%，月夏普就是0.004 ÷ 0.02 = 0.20。

若假設沒有自相關，簡單年化結果為0.20 × √12 ≈ 0.693。接著假設第一階自相關ρ_1 = 0.25，並使用 AR(1) 模型。只有在這項特定模型假設下，後續自相關才會是ρ_k = 0.25^k。將落後1至11期代入公式，修正分母約為1.262。

修正後的年度夏普約為0.20 × √12 ÷ 1.262 ≈ 0.549。這不是把0.25當成每個落後期的自相關；依次方遞減只是假設範例中的 AR(1) 設定，不宜直接套用至實際策略。

序列相關可能來自真實的報酬延續或反轉，也可能是觀察方式造成。持倉期間重疊、估值平滑、價格更新延遲，以及流動性較差資產的陳舊估值，都可能讓觀察到的報酬序列看起來更平滑。

策略設計本身也會造成依賴，例如持倉時間、再平衡頻率和訊號重疊。不要直接把自相關解讀成有利的「延續性」；先判斷它源於經濟機制，還是估值與取樣方式。

若相關性來自平滑估值，觀察到的波動可能低估風險。單一修正公式無法改善價格或估值資料品質。應先檢查價格來源、時間戳記與期間重疊。

維持報酬定義、幣別、期間和取樣頻率一致。無風險報酬要與策略報酬採用相同頻率。註明使用稅費前或稅費後報酬，以及如何處理股息、費用、資金費率和槓桿。成本口徑改變，代表比較對象也跟著改變。

上面的公式適用於在共變異數定態等假設下，以加法彙總 q 期超額報酬。它不一定等於以複利計算的實際曆年報酬。不要未加說明便將加法彙總與複利結果視為同一個數字。

投資組合權重、現金餘額、未實現損益和同時持有的部位也要固定。交代實際衡量什麼、使用哪種頻率，才能讓他人重算。

短樣本的自相關估計可能很雜訊。落後期越長，可用的觀察配對越少；若把多個估計落後值納入修正，結果也可能不穩定。只看到第一階相關，不能因此假設資料符合 AR(1)。

記錄樣本長度、落後期數、自相關估計方法及年化方法。展示使用合理的替代落後期數或估計方法後，結果是否敏感。比較策略時，也可提供信賴區間或其他不確定性範圍，避免過度解讀細微差異。

把估計自相關當成已知常數，會帶來虛假的精確感。樣本越少，越要同時報告結果、假設和不確定性。

時間彙總修正不會消除從大量候選策略中挑選最佳結果所產生的偏誤、資料探勘或非定態性。未來市場環境如果不同於樣本期間，平均值、變異數與相關性都可能改變。

夏普比率也無法單獨描述尾端虧損、劇烈回檔、槓桿、流動性或成交成本。修正後的夏普較高，不代表未來更安全或績效更好。也要檢視其他期間、更嚴格的成本假設和最大回檔。

要了解報酬彙總方式，可看[算術平均與幾何平均報酬](/zh-TW/learn/arithmetic-vs-geometric-average-returns-explained)；若要檢視虧損路徑，可讀[最大回檔與恢復百分比](/zh-TW/learn/maximum-drawdown-and-recovery-percentage-explained)；策略挑選與過度配適則可參考[金融模型的偏誤—變異取捨](/zh-TW/learn/bias-variance-tradeoff-financial-model-overfitting-explained)。

提出年化夏普比率前，先列出足以重現計算的資料。

• 標示報酬頻率、樣本期間與觀察筆數。
• 說明超額報酬定義及同頻率的無風險報酬。
• 交代稅費前後、股息、資金費率和槓桿的處理方式。
• 說明採用√q換算，或列出修正所用的落後期。
• 區分加法彙總與複利報酬，並揭露估計的不確定性。

如果報告只有「月夏普×√12」，應先檢查零相關假設是否合理。若沒有說明報酬依賴的估計方式及其限制，就不應將數值視為精確的年度風險調整績效。