Roll 買賣價差估計法：公式、範例與限制

報價價差是某一時點賣價與買價之間的差額。有效價差則將實際成交價格與同期中間價比較，以概括交易實際承擔的成本。Roll 估計法是有效價差的一種低頻代理指標：它利用成交價變動的序列協方差，推算可能造成短期價格反轉的價差。

它的優勢是所需資料相對有限。如果有可靠成交價格，卻沒有歷史買賣報價或交易方向標記，仍然可以計算。這使它有時適合做歷史比較，或用於報價記錄不完整的市場。但它無法重建報價簿、識別每筆交易的主動方向，也無法告訴交易者當前可成交的價差。Roll 的原始論文在有效市場模型中推導了這一指標，並指出估計對象是有效價差，不一定是屏幕上顯示的報價價差（Roll，1984）。

這個估計值也不是完整的交易成本指標。它不包括佣金、特定訂單造成的市場衝擊、等待成本、未成交數量或觀察之後的價格變動。應把它看作對歷史成交價格行為的一種模型化概括，而不是可執行報價或完整的回測成本模型。

設 \(x_t\) 為成交價格的對數，\(m_t\) 為買價和賣價圍繞的不可觀測對數價值，\(s\) 為對數價格單位下的完整有效價差。在簡單的對稱模型中，

\[ x_t=m_t+\frac{s}{2}q_t, \]

其中，在賣價處由買方發起的交易令 \(q_t=+1\)，在買價處由賣方發起的交易令 \(q_t=-1\)。因此，觀察到的收益為

\[ r_t=\Delta x_t=\Delta m_t+\frac{s}{2}(q_t-q_{t-1}). \]

假設交易方向彼此獨立，\(+1\) 與 \(-1\) 出現的機率相同，有效價值創新不存在序列協方差，而且整個樣本期內價差固定。當交易從買賣盤的一側轉到另一側時，即使基礎價值幾乎沒變，成交價格也會跨越價差。在賣價買入後轉到買價賣出，會先出現負收益、再出現正向反轉；反向順序也會產生相同機制。如果連續兩筆交易在同一側成交，它們之間的價差成分可能為零。

在這些假設下，價差成分會使相鄰收益平均朝相反方向變動：

\[ \operatorname{Cov}(r_t,r_{t-1})=-\frac{s^2}{4}. \]

對 \(s\) 求解即可得到 Roll 公式。這個協方差模式是模型推導的結果，並不能證明觀察到的每次價格反轉都由買賣價差造成。

<!-- Illustration placement: after section 3; text-free conceptual comparison of a smooth underlying value path with transaction prices alternating above and below it. No labels, axes, or values. -->

將一階協方差記為 \(C_1=\operatorname{Cov}(r_t,r_{t-1})\)。對 \(T\) 個收益，一種常見的樣本計算方式是

\[ \widehat C_1=\frac{1}{T-1}\sum_{t=2}^{T}(r_t-\bar r)(r_{t-1}-\bar r), \]

其中 \(\bar r\) 是樣本均值。如果 \(\widehat C_1<0\)，代入估計量為

\[ \widehat s_{\text{Roll}}=2\sqrt{-\widehat C_1}. \]

估計值的單位與協方差中使用的收益相同。如果 \(r_t\) 是對數收益，\(\widehat s\) 就是比例價差或對數價格價差。如果輸入是美元價格變動，估計結果則以價格單位表示。比較資產或時期前，應說明變換方式、抽樣間隔及協方差計算約定。

Roll 強調的是協方差，而不是相關系數。相關系數要除以無條件收益方差，其中也包括有效價值因新資訊而發生的變動。即使價差機制沒變，這種由消息驱動的方差也可能改變。未標準化的協方差在模型中與價差平方直接相關；用自相關替代會改變估計量及其含義。如果研究使用對數價格、縮放收益或不同分母，應明確說明具體約定。

假設一組虚構的成交價對數收益以基點表示，去均值後的一階樣本協方差為 \(-1.44\,\text{bp}^2\)。估計值為

\[ \widehat s_{\text{Roll}}=2\sqrt{-(-1.44)}=2\sqrt{1.44}=2(1.20)=2.40\,\text{bp}. \]

在模型假設下，這是完整比例價差估計值 \(2.40\) 個基點，即 \(0.024\%\)。若假設中間價為 \(\$100\)，完整價差換算為每股美元金額約為

\[ \$100\times 0.00024=\$0.024 \]

從中間價到單側的距離約為其一半，即每股 \(\$0.012\)。假設報價保持不變，交易者先以賣價買入 1,000 股，再以買價賣出，完整價差對應的價格差約為 \(\$24\)，尚未計入佣金、其他費用、價格變動或市場衝擊。這些只是示範換算，不是實際觀察到的報價或有保證的成交成本。

這個算術結果無法說明 \(\$100\) 是否為可實際成交的中間價、當時可成交數量有多少，或訂單會以什麼價格成交。Roll 估計值把歷史樣本壓縮成一個統計量，卻可能掩蓋日內時段、訂單規模或市場狀態的差異。資產、抽樣間隔和價差定義不一致時，不應拿該估計值與當前顯示的價差比較。

假設 \(s\) 固定是一種簡化。Roll 也討論隨時間變化的價差，並在模型下推導出它與平均平方價差的關系。在這種情況下，對公式開平方得到的通常是均方根價差，而不是算術平均價差。由於價差以平方形式進入，少數特別寬的價差觀察值可能對估計結果產生不成比例的影響。

原模型還有一個聽起來更普遍的結果：在假設成立時，不重疊觀察間隔的長度不會改變預期的價差誘發協方差。這並不保證實際的日頻、周頻和日內估計會相同。真實交易方向可能連續多個觀察期保持不變，有些區間沒有成交，價差狀況也會變化。改變抽樣間隔還會改變哪筆交易成為抽樣價格，以及每個收益中包含多少資訊噪聲。

先確定抽樣規則，再查看結果。例如，應按一致規則抽取成交價格進行比較，不要混合官方收盤成交、中間價標記和過時的最新價。應說明收益跨越的是日歷時間還是交易時段，假日與非交易時段如何處理，以及是否調整公司行動或合約換月。即使公式相同，不同抽樣間隔也意味着不同的實證設計。

只有樣本協方差為負時，平方根才是實數。如果 \(\widehat C_1=0\)，代入計算得到零；如果 \(\widehat C_1>0\)，基本公式沒有定義。樣本協方差為零或正，並不能證明真實價差為零。可能原因包括抽樣噪聲、交易方向持續、價格離散性、有效價值收益存在序列依賴，或樣本太短而無法把價差與噪聲區分開。

一些實證實現會在開平方前把正協方差截為零；另一些會取绝對值，或只報告協方差為負的窗口。這些做法能產生一個數值，但屬於額外規則，而不是 Roll 公式的推論。應報告未定義估計值的數量、估計值被設為零的頻率，以及排除樣本是否改變了分析範圍。静默取绝對值，可能會把與模型矛盾的協方差轉成正的價差估計。

小樣本還會帶來另一問題：協方差本身是有誤差的估計值，之後又經過平方根變換。Harris 推導了 Roll 模型下的有限樣本性質，並指出噪聲可能使樣本協方差變正，而非線性變換可能造成明顯偏差（Harris，1990）。除點估計外，還應報告樣本長度及對合理窗口的敏感性；不要展示價格資料無法支持的精度。

簡單推導所需的條件不只是負協方差。它還假設買方發起與賣方發起的交易彼此獨立且機率相同，價差圍繞有效價值對稱，有效價值創新沒有序列協方差，而且抽樣過程能夠代表成交價機制。拆分市價單和庫存管理可能使交易方向持續。如果買方訂單連續到來，成交收益中的價差成分可能持續朝同一方向，使負協方差弱於模型預測。

中間價路徑本身也可能存在序列依賴。動量、反轉、過時價格、異步觀察或按計劃發生的價格調整，都可能在有效價差未變化時產生正或負的收益協方差。價格離散性和最小報價單位也可能造成自身的反轉。這些因素不必主導整個樣本，也可能影響估計：該估計量僅從一個矩推斷價差，因此其他任何影響該矩的過程都可能干擾結果。

價差隨時間變化還會讓樣本平均與穩定的市場屬性有所不同。新聞、開盤和收盤、交易清淡或市場承壓時，價差可能擴大。全期間估計值會掩蓋這些時段；短窗口又可能因樣本太少而無法可靠估計協方差。檢查時間序列並說明窗口定義。在模型下，負的序列協方差與買賣價差反彈相符，但它不是對全部短期價格變動的因果分解。

若有可靠的報價和成交資料，可以將每筆成交價與同期中間價比較，並考慮交易方向，直接計算有效價差。這需要同步且清理過的觀察資料，並明確處理鎖定、交叉、過時或時間順序異常的報價。直接算法衡量該資料集中實際發生的交易；Roll 則從成交價序列協方差推算價差。[交易方向分類指南](/zh-TW/learn/trade-direction-classification-lee-ready-algorithm-explained)說明了為什麼交易方向本身也可能需要估計規則。

其他低頻方法使用不同資訊，也依賴不同假設。Hasbrouck 根據每日收盤價利用 Gibbs 抽樣器估計成本，而不是只依靠基本 Roll 代入公式（Hasbrouck，2009）。Corwin 和 Schultz 使用每日最高價與最低價構造價差估計法，不依賴相同的交易方向動態（Corwin 和 Schultz，2012）。這些替代方法並不會讓任何價格序列都能直接顯示報價價差；每種方法都有自己的假設和驗證範圍。

實際選擇取決於要回答的問題。報價資料有限時，低頻代理指標可能適合歷史跨市場比較，但應報告失效率與假設。決定訂單時，應查看當前買價、賣價、深度和訂單規模。[期貨價差與滑點指南](/zh-TW/learn/futures-bid-ask-spread-and-slippage-explained)區分報價價差與實際成交差異；[ETF 流動性指南](/zh-TW/learn/etf-trading-volume-vs-liquidity-explained)說明為什麼成交量本身不能描述可執行流動性。

可復現的報告應說明觀察資料是實際成交、官方收盤價還是其他成交價代理；輸入是價格變化還是對數收益；抽樣間隔、觀察數量、協方差分母，以及如何處理零或正協方差。還應說明資產範圍、日期區間、公司行動與合約換月調整、資料篩選規則，以及價差以價格、百分比還是基點表示。如果價差穩定這一假設不合理，應報告預先設定的子期間估計，而不是挑選協方差最負的窗口。

Roll 估計值是模型下的歷史交易成本代理。它不能顯示今日報價、保證成交價格、衡量策略的全部成本，也不能預測下一期收益。回測仍需要符合交易場所、訂單規模、時點、佣金與成交行為的訂單規模成本模型，涵蓋價差、佣金、市場衝擊、部分成交和時機。估計價差較低本身不代表存在可交易優勢。不同抽樣頻率下的已實現波動率可參考[已實現波動率指南](/zh-TW/learn/realized-volatility-calculation)。

若用 Roll 估計值為資產排序，應先統一報價單位、價格調整方式、取樣時間與樣本長度。不同市場的最小升降單位、成交活絡程度與非交易時段，會影響價差反彈在成交價序列中的可見程度。報告各資產可計算估計值的視窗數量、正協方差視窗占比，以及無法估計的視窗如何處理；也可依時段或流動性分組呈現結果。若只保留負協方差視窗，留下的樣本可能偏向特定市場狀態。篩選本身會改變分析問題，因此不能把篩選後的估計直接解讀為整體市場的平均交易成本。

成交價缺漏、重複紀錄及異常跳價的清理規則也應預先列明，並保留清理前後的敏感度對照，因為資料處理本身可能製造或抹去短期反轉。