Ornstein–Uhlenbeck 半衰期：交易中的均值回歸

假設價差高於估計的長期均值。均值回歸模型表示，價差的期望值會逐漸往均值移動。半衰期回答一個範圍很窄的問題：在已配適的模型下，期望偏差要多久才會減半？若初始偏差為 100 個基點，半衰期為 4 期，則模型的條件期望偏差在 4 期後約為 50 個基點。

這個敘述談的是多種可能路徑的期望。實際價差可能先上升、很快穿越均值，或長時間維持偏離。半衰期也取決於觀測單位：以日資料估計時，單位是天；以小時資料估計時，單位是小時。務必說明取樣間隔，以及用來估計回歸速度的模型。

單因子 OU 過程可寫成：

\[ dX_t = \kappa(\mu-X_t)\,dt + \sigma\,dW_t, \]

其中 \(\mu\) 是長期均值，\(\kappa>0\) 是均值回歸速度，\(\sigma\) 控制瞬時隨機變動，\(W_t\) 是布朗運動。漂移方向指向 \(\mu\)：高於均值時條件方向朝下，低於均值時則朝上。

條件期望偏差依下式衰減：

\[ \mathbb{E}[X_{t+\tau}-\mu\mid X_t] = e^{-\kappa\tau}(X_t-\mu). \]

令衰減因子等於二分之一，也就是 \(e^{-\kappa h}=1/2\)，再解出經過時間：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln 2}{\kappa}. \]

半衰期公式不包含 \(\sigma\)。波動率影響個別路徑在條件期望周圍波動的幅度，而 \(\kappa\) 決定此模型中期望偏差的衰減速度。Uhlenbeck 與 Ornstein 對布朗運動的分析奠定了這個經典隨機過程的基礎；Vasicek 後來以 OU 類型的過程模擬短期利率。

若觀測值以固定的 \(\Delta\) 間隔排列，OU 過程的精確取樣形式為：

\[ X_{t+\Delta}-\mu = \phi(X_t-\mu)+\eta_{t+\Delta}, \qquad \phi=e^{-\kappa\Delta}. \]

對純量 OU 模型，只要 \(\kappa>0\)，就有 \(0<\phi<1\)。以觀測次數表示的離散半衰期為：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(1/2)}{\ln(\phi)}, \]

若要換算成經過時間，則將此值乘以 \(\Delta\)。若估計的 AR(1) 係數為零、負值或大於等於 1，這種簡單的正均值回歸速度轉換便不適用。應考慮其他動態模型，而不是勉強套用 OU 解釋。

也可以使用變化量形式 \(\Delta X_t=a+bX_{t-1}+\epsilon_t\) 估計。若 AR(1) 平穩且滿足 \(0<1+b<1\)，令 \(\phi=1+b\)、\(\kappa=-\ln(\phi)/\Delta\)；當 \(b\ne0\) 時，隱含的長期均值為 \(-a/b\)。轉換時須保留取樣間隔；從日資料改成週資料會改變係數的時間尺度。

時間單位由 \(\Delta\) 決定。對日資料的股票序列，一個觀測步驟通常代表一個交易時段，而不是 24 個日曆小時。因此，跨越週末或市場假日的 4 次觀測半衰期，不應直接描述成 4 個日曆日。如果資料柱的時間長度不固定，例如以事件或成交量取樣，等間隔轉換可能不適用。請說明資產、取樣安排，以及報告單位是觀測次數、交易時段還是經過時間。

假設等間隔日資料價差模型估得 \(\phi=0.84\)。這是教學用的假設值，不是即時估計。每日均值回歸速度為 \(\kappa=-\ln(0.84)\approx0.1744\)，因此：

\[ h_{1/2}=\frac{\ln(0.5)}{\ln(0.84)}\approx3.98\text{ 個交易日}. \]

4 天後，期望價差約為起始值的 \(0.84^4\approx0.498\) 倍。若初始偏差為 100 個基點，則 4 次觀測後模型隱含的條件期望約為 49.8 個基點，尚未納入估計不確定性或過程變化。

下圖將平滑衰減的條件均值，與持續在其周圍波動的樣本路徑分開呈現。這是概念示意圖，不是價格歷史，也不表示每條價差路徑都會遵循模型中的均值。

先定義 \(X_t\)。共整合殘差、價格差、對數價格價差、波動率調整訊號和殖利率差都是不同序列，單位與動態也不同。共整合結果可能在其假設下支持某個平穩線性組合，但不能證明該殘差是參數固定的 OU 過程。

估計前先選定取樣頻率、形成期間、均值規格與落後期結構。單純 AR(1) 可能掩蓋序列相關、波動率變化、跳躍、日內市場微結構或狀態轉換。檢查殘差行為及參數穩定性；若估計取決於特定樣本，也應說明。Chan、Karolyi、Longstaff 與 Sanders 對短期利率模型的實證比較說明，即使是常見的均值回歸形式，證據仍可能薄弱且取決於模型設定。

交易價差的參數應只使用各形成日期當時可取得的資料估計。用未來觀測值重新估計價差或均值會造成前視偏誤。如果關係會隨時間重新校準，請說明更新安排，並以後續資料評估整個流程，而非把配適係數當成已知值。

從 \(\phi\) 轉換成半衰期是非線性的。當 \(\phi\) 從下方接近 1 時，\(\ln(\phi)\) 趨近零，隱含半衰期會快速增長。因此，係數些微變動也可能大幅改變報告的時間。例如，假設 \(\phi=0.80\)、0.84 和 0.88，分別隱含約 3.11、3.98 和 5.42 次觀測的半衰期。

應使用符合估計量與樣本特性的推論方法，報告速度參數或轉換後半衰期的不確定性。若 \(\phi\) 的信賴區間達到或跨越 1，該區間可能無法支持有限且為正的平穩 OU 半衰期。不要只報告點估計；若在大量序列中挑選看起來回歸最快的序列，也要考慮選擇效應。接近單根時，估計誤差可能主導單一半衰期數字表面上的精確度。

舉例來說，假設抽樣係數 \(\phi\) 的 95% 區間為 \([0.78,0.92]\)。在平穩 OU 範圍內，轉換後半衰期會隨 \(\phi\) 增大，因此該區間對應約 2.79–8.31 次觀測，儘管點估計 0.84 對應 3.98 次觀測。這只是示意，不是實證結果。若係數區間觸及 1，半衰期上限可能無界；大於或等於 1 的數值不適用於此平穩轉換。不要為了製造有限區間而刪除這些數值。不確定性方法也應反映序列相關及價差構造的估計誤差；若搜尋多個配對或期間，還應考慮選擇步驟。

半衰期追蹤的是偏差條件期望的大小。穿越時間則是詢問隨機路徑何時首次到達某個水準，例如估計均值或出場門檻。首次到達時間的分布取決於漂移與波動率，而且可能很分散。William Bertram 的最佳統計套利分析以首次到達計算處理交易長度與報酬，這是不同於指數半衰期公式的概念。

交易系統仍須明確設定進場與出場規則、部位規模、風險上限，以及關係失效時的因應方式。價差可能先進一步偏離均值，也可能在關注期間內不會回歸。期望衰減的計算不會給出停損水準、停損前先觸及獲利目標的機率，也不會估計扣除費用後的報酬。

配對交易通常建模的是建構出的價差，而非任一單獨資產。避險比率、貨幣、公司行動調整、融資、借券可用性與再平衡政策都會影響實際部位。請在按時間順序排列的驗證期間檢查價差的長期關係是否仍合理；較短的配適半衰期無法修復結構性斷裂。

納入買賣價差、市場衝擊、手續費、資金費用或借券成本，以及兩條交易腿完成執行所需的時間。這些成本沿著實際路徑累積，而不是只在期望半衰期內發生。若搜尋許多配對、回溯期間與取樣頻率，偶然出現的短估計也可能看起來比實際更可靠。Chan 等人對利率模型的實證結果提醒我們，熟悉的均值回歸形式不保證在特定資料中有強而有力的證據。

OU 架構可用來整理對價差預期動態的假設。交易規則是否有效則是另一個實證問題，取決於穩定性、不確定性、執行方式與樣本外結果。

說明序列定義、價格或報酬慣例、取樣間隔、樣本期間、估計均值、速度參數、波動率參數，以及 OU 方程式是以連續時間設定，還是從離散 AR 模型推導。提供係數估計與不確定性，說明半衰期如何轉換，並展示對合理替代期間或取樣間隔的敏感度。

若用於交易，也應說明價差如何構成、參數如何更新、每個決策時點有哪些資訊可用，以及如何處理交易成本與未能收斂的情況。將半衰期呈現為模型隱含的期望衰減摘要，並附上不確定性與單位。不要把它單獨當成進場、出場或獲利能力的主張。

Uhlenbeck 與 Ornstein 的1930 年布朗運動論文建立底層均值回歸隨機過程的基礎。Vasicek 的期限結構模型90016-2)使用 OU 類型的短期利率過程。Chan、Karolyi、Longstaff 與 Sanders 比較連續時間短期利率規格，並指出證據與配適度取決於模型選擇。Bertram 推導以首次到達時間分析的最佳統計套利結果，說明交易期間是另一種量。相關指南介紹[配對交易中的共整合與相關性](/zh-TW/learn/cointegration-vs-correlation-pairs-trading-explained)、[金融中的單根與均值回歸](/zh-TW/learn/stationarity-unit-root-mean-reversion-finance-explained)，以及 [Engle–Granger 共整合檢定](/zh-TW/learn/engle-granger-cointegration-test-error-correction-explained)。