ETF追蹤差異與追蹤誤差：誤差為零也可能落後指數

本文討論一般指數型基金，不評斷主動管理是否應貼近指數。請使用文件所列的正確受益權單位類別與標竿，不要改用名稱相似的知名指數。

準備基金淨值（NAV）總報酬率和對應的指數報酬序列。計算差距前，先統一幣別、起訖日期、評價時點及收益分配的處理方式。

配息型基金發放收益時，未調整的淨值可能下跌。總報酬序列會反映這筆分配；未調整的淨值圖表本身，不能衡量同一投資結果。

[Investor.gov收益分配說明](https://www.investor.gov/introduction-investing/general-resources/news-alerts/alerts-bulletins/investor-bulletins/fund-distributions-investor-bulletin)解釋這種價值移轉。

[Vanguard追蹤指標說明](https://www.vanguard.co.uk/professional/vanguard-365/investment-knowledge/etf-knowledge/what-affects-index-tracking)區分報酬差距的大小與波動。

本文的追蹤差異（TD）是同一期間基金總報酬率減去標竿總報酬率。負數表示基金落後。閱讀數據前，先核對提供者採用的相減方向。

假設一年內指數報酬8.00%，基金報酬7.70%。TD = 7.70% − 8.00% = −0.30個百分點，即−30個基點。1個基點等於0.01個百分點。

兩筆假設投資同樣以10,000起步，期末分別值10,800及10,770。基金少了30個貨幣單位。這裡不含個人稅負、買賣費用或外部現金流。

這不是30%的落差，也不同於10,770 ÷ 10,800 − 1 ≈ −0.2778%。後者以指數的期末財富為分母，是另一種計算。

比較多個期間時，先各自複合兩條報酬序列，再相減相同期間的累積報酬。逐月百分點差的總和，通常不等於累積TD。

假設某個虛構標竿每月報酬恰好為0%。以下基金報酬是為了分開展示算術而設計的數字，不是實際ETF績效或預測。

A的差距完全不變，所以樣本追蹤誤差為零。但相較這個持平標竿，A每月仍在虧損。零波動不等於零報酬差。

B的平均月差相同，卻會在平均值上下變動，因此追蹤誤差為正。即使尚未年化，兩個指標也已經在回答不同問題。

• 基金A月報酬：−0.10%、−0.10%、−0.10%、−0.10%。
• 基金B月報酬：−0.30%、+0.10%、−0.30%、+0.10%。
• 兩者月報酬差的算術平均都是−0.10個百分點，也就是−10個基點。

把每個對應期間的基金報酬減去指數報酬記為a_t。先求帶正負號差距的平均，再算樣本標準差：s = sqrt(sum((a_t − 平均(a))^2) ÷ (n − 1))，觀測數n必須大於1。

[NIST離散程度說明](https://www.itl.nist.gov/div898/handbook/eda/section3/eda356.htm)解釋樣本變異數的分母。本例採n − 1；重現公開指標時，應記錄提供者本身的計算慣例。

B的差距以基點寫為−30、+10、−30、+10，平均為−10，因此相對平均值的偏差為−20、+20、−20、+20個基點。

偏差平方和為1,600基點²。除以3再開平方，得到s ≈ 每月23.0940個基點，換成月報酬單位為0.230940%。

使用一般的時間平方根換算，年化TE = s × sqrt(12) = 80個基點，即0.80%。12是每年的月數，不是這組小樣本的四個觀測值。

這項換算假設變異數適當穩定，且沒有序列共變異數。差距存在自我相關或條件改變時，解讀會受到限制。四個虛構觀測值不能證明真實基金未來的追蹤表現。

計算標準差時保留差距的正負號。求差距絕對值的平均，或先取絕對值再求標準差，都會得到不同統計量。

A的四個月總報酬為(0.999)^4 − 1 ≈ −0.3994004%。B為(0.997 × 1.001)^2 − 1 ≈ −0.4001988%。由於標竿持平，這也是兩者各自四個月的追蹤差異。

平均都為每月−10個基點，複合結果卻略有不同。兩者都不剛好等於−0.40%，也不是B的年化追蹤誤差0.80%。

起訖期間的報酬能確定TD，卻不能重建TE。不同月度路徑可能到達相同終點。應取得有日期的報酬觀測值，而非根據年度差距一個數字編造波動性。

算術平均與幾何平均報酬說明成長因子的連乘，為何不同於報酬率相加或取平均。

假設沒有配息，NAV從100升至110，指數也上漲10%。這段期間按淨值計算的TD為零。

但同一期間你以102買入、109賣出，費用前報酬為109 ÷ 102 − 1 ≈ 6.8627%，不是10%。買入溢價與賣出折價，沒有改變NAV報酬，卻改變了投資人的結果。

以上使用假設成交價。實際佣金、買賣價差、換匯與個人稅負可能造成更多差異。但實際成交價已包含的價差影響，不要再次當作估計費用扣除。

[Investor.gov ETF介紹](https://www.investor.gov/introduction-investing/investing-basics/investment-products/mutual-funds-and-exchange-traded-2)區分交易所市價與NAV。

某一時點的折溢價，比較市場價格和淨值；追蹤差異則比較一段期間的報酬率。這兩種衡量方式不能互相替代。

基金費用、交易、現金持有、抽樣複製，以及收益或稅款認列時點，都可能影響指數複製。報酬差距本身無法指出哪個原因最重要。

[Vanguard指數追蹤概覽](https://www.vanguard.ca/en/tools-and-resources/etf-fundamentals/management/index-tracking)也介紹了證券出借收益等可能抵銷差距的因素。

若公開NAV報酬已反映基金費用，就不要再扣費用率。TD是觀測結果，不是另一張帳單；TE也不是額外收取的年度費用。

核對股息採稅前還是預設扣繳後報酬，以及指數是否避險匯率。超過稅務或避險條件不同的指數，不能證明複製能力更好。

TD可能為正，但不表示能持續獲得超額報酬。應檢查基金的說明與實際運作，不要認為所有差距都等於廣告中的費用率。

選擇同樣標竿與單位類別目標的同類基金。和不同指數比較，包含投資曝險差異，不只是追蹤品質。請在數字旁記錄下列項目。

事後TE使用觀測報酬，事前TE使用風險模型。不要把模型估計當成已發生的結果，也不要將缺資料的日期補成虛構的零報酬。 [!TRYMARK] TryMark ETF追蹤查核 下次檢視基金資料時，以重現基金和指數的比較為目標。標竿版本、報酬日期、分配調整或費用處理改變後，重新計算TD與TE。 [!WARNING] 低追蹤誤差不代表低投資風險 基金和指數可能緊密同步，同時卻大幅下跌。TE不是最大損失上限或機率保證。除了追蹤品質，也要分別檢視投資曝險和回撤。

收益可參考總報酬基礎，損失可參考回撤計算。本文不推薦任何ETF。

• 正確指數、幣別、單位類別與收益處理方式。
• 起訖日期、淨值或市價基礎、評價時點。
• TD的正負方向，以及累積或年化報酬。
• TE的觀測頻率、樣本長度、分母與年化方法。
• 已計入費用、缺漏觀測值與基金對差距的說明。