波動度模型的 Engle–Ng 符號與大小偏誤檢定

模型可能捕捉到報酬幅度的群聚，卻仍遺漏不同衝擊對未來變異數的不同影響。對稱 GARCH 會給相同幅度的正、負創新相同的變異數影響。如果標準化殘差在正負衝擊後仍呈現不同型態，這項限制對目前樣本可能過強。

Engle 和 Ng 將其視為擬合後的診斷：前一期創新的符號，或它在正負分支中的大小，能否解釋今天的平方標準化殘差？原論文定義新聞影響曲線，並使用日本股票日報酬率比較波動度模型。論文中的實證排序只適用於該樣本，並不表示某個模型在所有市場都占優（Engle 和 Ng，1993）。

這裡的「偏誤」指變異數模型未能解釋的符號或大小相關殘差型態，不是參數估計的統計偏誤。先明確[GARCH 模型](/zh-TW/learn/volatility-clustering-garch-explained)，再判斷其衝擊反應是否適合研究目的與樣本。

將報酬率寫成：

\[ r_t = \mu_t + \epsilon_t, \]

其中 \(\mu_t\) 是條件平均數，\(\epsilon_t\) 是估計平均模型後留下的創新。\(h_t\) 是估計的條件變異數；標準化殘差表示創新相對於模型預測變異數尺度的大小。

\[ h_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal F_{t-1}), \qquad \hat z_t=\frac{\hat\epsilon_t}{\sqrt{\hat h_t}}. \]

若變異數模型設定合適，超出模型已解釋的部分後，\(\hat z_t^2\) 不應在某些過去衝擊之後系統性偏大或偏小。標準化會移除模型預測的變異數尺度；原始殘差平方仍可能保留一般的波動群聚。解讀 p 值前，應明確平均方程、殘差、變異數、樣本與單位。

定義前一期創新為負的指標變數及其補數：

\[ S^-_{t-1}=\mathbf 1(\hat\epsilon_{t-1}<0), \qquad S^+_{t-1}=1-S^-_{t-1}. \]

符號檢定回歸變數為 \(S^-\)，負向大小變數為 \(S^-\hat\epsilon\)，正向大小變數為 \(S^+\hat\epsilon\)。它們回答不同問題：只有符號重要嗎？每個分支中的衝擊大小是否增加資訊？請說明零創新如何分類，以及使用的單位，因為大小係數取決於單位。

新聞影響曲線概括模型如何在其他狀態輸入固定時，將新創新傳遞至下一期條件變異數。對稱 GARCH 曲線以零為中心對稱；非對稱設定放寬這項限制。這是模型特性，不是直接觀察到的市場因果反應。

\(\mathbf z_{ot}^*\) 是在虛無假設下計算的、保留條件變異數對干擾參數的標準化導數向量。這些是分數／導數項，不一定就是原始變異數迴歸變數。每個輔助回歸都會在保留這些項的同時加入一個符號或大小項。

符號檢定詢問前一期創新的符號能否解釋當前平方標準化殘差，同時保留虛無變異數模型中的其他項。輔助回歸為：

\[ \hat z_t^2=a+b_s S^-_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

單項虛無假設為 \(b_s=0\)。符號指標變數是在保留其他項後新增並接受檢定的項。顯著係數表示，在給定估計模型的條件下，負向衝擊與非負衝擊後的殘差變異數型態不同。

這不表示負報酬總會提高波動度。檢定既不識別因果機制，也不涵蓋所有可能的非線性反應。拒絕虛無假設是進一步檢查模型與資料的理由。

此檢定聚焦負向分支，檢查創新大小是否解釋了剩餘型態：

\[ \hat z_t^2=a+b_- S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

單項虛無假設為 \(b_-=0\)。當指標變數為一時創新為負，因此應結合符號慣例與單位解讀係數符號。檢定考察負向衝擊大小是否在變異數模型以外增加資訊；它不證明壞消息的因果效應或預測改善。

輔助回歸變數可能相關，因而難以區分各項的個別貢獻。應結合完整回歸與聯合檢定解讀個別結果。

相關研究比較 GJR 等非對稱變異數設定，但其實證結論受各自研究的資料與假設限制（Glosten、Jagannathan 與 Runkle，1993）。

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相應檢定考察正向創新分支：

\[ \hat z_t^2=a+b_+ S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

虛無假設為 \(b_+=0\)。即使符號檢定不顯著，此檢定也可能顯著：一個分支內的反應可能隨大小變化，而正負符號之間並無簡單的平均差異。

「正向大小偏誤」不表示正報酬必然提高或降低波動度。Nelson 的 EGARCH 與 Zakoian 的門檻模型允許非對稱變異數動態；它們是需要評估的替代模型，不是自動修正方案，也不總是更優。

（Nelson，1991；Zakoian，199490039-6)）。

可以在一個輔助回歸中同時檢定三個回歸變數：

\[ \hat z_t^2=a+b_1S^-_{t-1}+b_2S^-_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+b_3S^+_{t-1}\hat\epsilon_{t-1}+\boldsymbol{\beta}^{\top}\mathbf z_{ot}^*+v_t. \]

聯合虛無假設為 \(b_1=b_2=b_3=0\)。保留虛無模型的其他項並符合常見大樣本條件時，聯合 LM 漸近地與自由度為 3 的卡方分布比較。常見形式為 \(LM=M R^2\)，其中 \(M\) 是可用列數，\(R^2\) 來自所述回歸。請遵循所用實作的具體方程與有限樣本規則。

Engle 和 Ng 指出，若從聯合回歸中省略 \(\mathbf z_{ot}^*\)，檢定會較保守：檢定大小不會超過名目水準，但檢定力可能降低。

純假設例子：若 \(M=400\)、\(R^2=0.012\)，則 \(LM=4.8\)。自由度為 3 的卡方分布 5% 臨界值約為 7.81，因此此處不拒絕虛無假設。這些數字只作說明，並非實證結果，也不證明模型對稱。

較小的 p 值支持調查特定殘差型態，但不能選定替代模型，也不能證明因果性槓桿機制或預測的經濟價值。較大的 p 值僅表示檢定未在該樣本中發現所選型態。

輔助回歸變數可能相關，尤其是符號指標變數與負向大小項，這會削弱個別檢定的檢定力。樣本量、估計過程與保留的模型設定也有影響。檢驗很多資產、模型、落後期數與樣本窗口，會增加偶然得到小 p 值的機會。

異常值、跳躍、結構變化、遺漏的平均動態或不一致的創新單位都可能改變結果。記錄報酬率定義、估計窗口、符號規則與推論方法；說明漸近近似的限制，並在需要時考慮合適的重抽樣。

ARCH LM 檢定落後殘差平方能否解釋當前殘差平方；參閱 [ARCH-LM 指南](/zh-TW/learn/arch-lm-test-volatility-clustering-finance-explained)。Engle–Ng 檢定特定符號與分支大小項。[Ljung–Box 檢定](/zh-TW/learn/ljung-box-test-autocorrelation-time-series-finance-explained)檢查殘差自相關，回答另一個問題。

拒絕後，可以估計 GJR-GARCH、EGARCH 或門檻模型，重新檢查殘差，並獨立評估預測。[QLIKE 與平方誤差](/zh-TW/learn/qlike-vs-squared-error-volatility-forecasts-noisy-proxies-explained)在預測產生後評分，不能取代殘差設定診斷。

若將波動度預測用於交易規則，應在樣本外計入費用、買賣價差、市場衝擊、融資與風險限制進行評估。符號／大小偏誤檢定不是買進或賣出訊號。