Finansta Radon–Nikodym Türevi Açıklaması
Radon–Nikodym türevinin olasılıkları nasıl yeniden ağırlıklandırdığını, beklentileri nasıl dönüştürdüğünü, yoğunluk sürecini nasıl oluşturduğunu ve risk-nötr değerlemeyi nasıl desteklediğini öğrenin
Doğrudan yanıt
Radon–Nikodym türevi dQ/dP, Q'nun sonuçları P'ye göre nasıl yeniden ağırlıklandırdığını gösteren negatif olmayan bir yoğunluktur. Q beklentilerini ağırlıklı P beklentilerine dönüştürür ve mümkün olayları değiştirmeden fiziksel ölçü ile fiyatlama ölçüsünü bağlar
Mutlak süreklilik bir yoğunluğa izin verir
Q, P'ye göre mutlak sürekli olduğunda Q ≪ P yazılır; bu, her P-sıfır olayın Q altında da sıfır olması demektir
Radon–Nikodym teoremi daha sonra P-sıfır kümelerine kadar tek olan negatif olmayan Z = dQ/dP yoğunluğunu verir
P ve Q eşdeğer ise her biri diğerine göre mutlak süreklidir ve hangi olayların imkânsız olduğu konusunda anlaşırlar
Yoğunluk olasılığı durum durum dağıtır
Her A olayı için Q(A) = E_P[Z 1_A] olur. Olasılık ölçülerinde E_P[Z] = 1'dir
Birden büyük Z değerleri bir sonucun Q altındaki göreli ağırlığını artırır; birden küçük değerler azaltır
Z, zamana veya fiyata göre alınan bir türev değildir. Bir ölçünün diğerine göre yoğunluğudur
Beklentiler çarpma yoluyla değişir
İntegrallenebilir bir X getirisi için, gerekli integrallenebilirlik koşulları altında E_Q[X] = E_P[ZX] olur
Bu özdeşlik getiriyi veya örnek uzayını değil, ağırlıkları değiştirir. Aynı X sonucu farklı biçimde ortalanır
Ölçüler eşdeğer ve Z pozitif olduğunda dP/dQ = 1/Z, Q altında neredeyse kesin olarak geçerlidir; yoğunluk değişiklikleri ayrıca zincir kuralına uyar
Olabilirlik oranının sürekli analogudur
Sonlu durum modelinde p_s pozitifse Z_s = q_s/p_s ve dolayısıyla q_s = p_s Z_s olur
Bu, önem örneklemesiyle aynı mantıktır: bir dağılımdan örnek alınır ve ortalama olabilirlik oranıyla düzeltilir
Çok değişken yoğunluklar ağırlığı birkaç durumda yoğunlaştırabilir ve özdeşlik kesin olsa bile istikrarsız Monte Carlo tahminleri oluşturabilir
Yoğunluk süreci zaman içindeki bilgiyi gösterir
Vade sonu yoğunluğu Z_T verildiğinde Z_t = E_P[Z_T | F_t] tanımlansın. Bu süreç negatif olmayan bir P-martingalidir
Z_t pozitifken koşullu beklentiler E_Q[X | F_t] = E_P[Z_T X | F_t] / Z_t eşitliğini sağlar
Filtrasyon önemlidir; çünkü Z_t, vade sonu yeniden ağırlıklandırmasının t anında mevcut bilgiyle görülebilen kısmını kaydeder
Fiyatlama ölçüleri eşdeğer yoğunluk kullanır
Varlık fiyatlama modelleri, uygun biçimde iskontolanmış işlem gören fiyatların martingal veya yerel martingal olduğu eşdeğer bir Q ölçüsü arar
Girsanov teoremi, yoğunluğun Brown driftini nasıl değiştirdiğini; difüzyon belirsizliğini ve sıfır olayları koruyarak açıklar
Para piyasası numeraire'iyle, uygun varsayımlar altında stokastik iskonto faktörü iskonto ile dQ/dP'nin çarpımı olarak yazılabilir
Yorum ve tahmin dikkat gerektirir
Risk-nötr Q, P altındaki gerçek dünya sıklıklarının tahmini olmak zorunda olmayan bir fiyatlama ölçüsüdür
Önerilen bir yoğunluk negatif olmamalı, bire integrallenmeli, filtrasyona uymalı ve amaçlanan iskontolu varlıkları martingal yapmalıdır
Dönüştürülmüş beklentileri kullanmadan önce temel ve hedef ölçüleri, numeraire'i, ufku, yoğunluk konvansiyonunu, integrallenebilirliği ve sayısal tanıları bildirin
Sık sorulan sorular
Radon–Nikodym türevi basitçe nedir?
Bir olasılık ölçüsünün her sonuca diğerine kıyasla ne kadar fazla veya az ağırlık verdiğini söyleyen olabilirlik oranıdır
Q neden P'ye göre mutlak sürekli olmalıdır?
Aksi hâlde Q, P'nin imkânsız saydığı bir olaya pozitif olasılık verebilir; P'ye göre sonlu hiçbir yoğunluk bunu geri kazanamaz
dQ/dP bir zaman türevi midir?
Hayır. Q ölçüsünün P'ye göre yoğunluğudur; zaman indeksli yoğunluk süreci koşullu beklentiyle oluşturulur
Risk-nötr fiyatlamayla ilişkisi nedir?
İskontolu işlem gören fiyatların Q altında martingal olabilmesi için ağırlıkların fiziksel olasılıklardan fiyatlama olasılıklarına değişimini sağlar