Macaulay, modified ve effective duration: farklar ve hesaplama örneği

Vade, anaparanın sözleşmeye göre geri ödenmesinin planlandığı tarihtir. Duration, belirli varsayımlarla nakit akışlarının zamanını veya fiyat duyarlılığını tanımlar. Vadenin başka bir adı değildir ve yatırımcının ödediği tutarı ne zaman geri alacağını garanti etmez.

Bir ekranda yalnızca “duration” yazıyorsa bunun Macaulay, modified, effective, money duration veya başka bir ölçü olup olmadığını kontrol edin. Menkul kıymeti ya da portföyü, değerleme tarihini, getiriyi veya eğriyi, bileşik faiz kuralını ve fiyat bazını belirleyin. CFA Institute, nakit akışlarını sabit tutup tahvilin kendi getirisini değiştiren getiri bazlı ölçüler ile referans eğrisine göre yeniden fiyatlama yapan ve belirsiz nakit akışlarını ele alabilen eğri bazlı ölçüleri ayırır. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026}

Macaulay duration, planlanan nakit akışlarının alınma zamanlarının bugünkü değerle ağırlıklandırılmış ortalamasıdır. t zamanındaki CF_t nakit akışı, P fiyat ve y getiri olsun. Ağırlık PV(CF_t)/P olur. P modellenen tüm nakit akışlarının bugünkü değerlerinin toplamıysa ağırlıkların toplamı birdir:

PV(CF_t) = CF_t / (1 + y/m)^(m×t)

D_Mac = Σ[t × PV(CF_t)] / P

Kuponlu tahvilde anapara vadesinden önce kuponlar ödendiği için Macaulay duration genellikle vadeden kısadır. Sıfır kuponlu tahvilin planlanan tek bir nakit akışı vardır; belirtilen nakit akışı ve iskonto varsayımları altında Macaulay duration vade süresine eşittir.

Bu, bugünkü değer cinsinden zaman ortalamasıdır; yatırımcının kişisel elde tutma süresi tahmini veya kuponları yeniden yatırarak elde edeceği getiri için garanti değildir. Bazı bağışıklama analizleri bu ölçüyü kullanır ancak getiri hareketleri, yeniden yatırım ve eşleştirilecek yükümlülük hakkında ek varsayımlar gerekir. FINRA da duration’ın yalnızca vadeye kalan süre olmadığını belirtir. {source:finraDurationExplainer}

Opsiyon içermeyen varsayımsal bir tahvil düşünün: nominal değer 1.000 ABD doları, yıllık kupon %5, kalan vade üç yıl ve yıllık vadeye kadar getiri %4. Yılda bir ödeme, kupon tarihinden hemen sonra değerleme ve yıllık bileşik faiz varsayalım. Planlanan nakit akışları bir yıl sonra 50 dolar, iki yıl sonra 50 dolar ve üç yıl sonra 1.050 dolardır.

%4 ile iskonto edildiğinde bugünkü değerler yaklaşık 48,08, 46,23 ve 933,45 dolar; toplam tam fiyat yaklaşık 1.027,75 dolardır. Her bugünkü değeri bu fiyata bölünce ağırlıklar yaklaşık %4,68, %4,50 ve %90,82 olur. Son ödeme anaparayı da içerir; ilk iki kupon ise ortalama zamanı yine öne çeker.

Zamanı ağırlıkla çarpıp toplarsak 1 × 4,68% + 2 × 4,50% + 3 × 90,82%, yaklaşık 2,8615 yıl eder. Bugünkü değerin bir kısmı daha erken kuponlardan geldiği için sonuç üç yıllık vadeden kısadır. Gösterilen rakamlar yuvarlanmıştır; kesin hesaplama yuvarlanmamış bugünkü değerleri kullanmalıdır. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026}

Modified duration, Macaulay’ı belirtilen bileşik faiz kuralına göre ayarlar. Sabit nakit akışlı olağan bir tahvilde yıllık nominal getiri y ve yılda m bileşik dönem varsa yaygın ilişki D_mod = D_Mac / (1 + y/m) şeklindedir. Örnekte ödemeler yıllık olduğu için m=1; 2,8615 / 1,04 yaklaşık 2,7514 yıl verir.

Tahvilin kendi getirisindeki küçük bir değişimde yüzde fiyat değişiminin birinci derece tahmini ΔP/P ≈ −D_mod × Δy olur; Δy ondalık olarak yazılır. 1 baz puanlık artış 0,01 değil 0,0001; 100 baz puan 0,01’dir. Modified duration 2,7514 ise getiri 1 yüzde puanı arttığında diğer girdiler sabitken yerel tahmin fiyatın %2,7514 düşmesidir. Eksi işareti bu tahvil örneğindeki yerel ters yönlü ilişkiyi gösterir.

Modified duration başlangıç getirisi yakınındaki eğimdir; her büyüklükte şok için tam yeniden değerleme değildir. Dolar cinsinden tahmin için pozisyonun piyasa değeri de gerekir. Kendi getirideki 1 baz puanlık değişim için birinci derece DV01 büyüklüğü genellikle piyasa değeri × modified duration × 0,0001 olarak tahmin edilir. İşaret kuralları değişebilir ve bu sayı sabit zarar limiti değildir. CME, yüzde duyarlılığı DV01, BPV veya VBP adlı para tutarından ayırır. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}

Effective duration, faiz senaryolarında yapılan tam değerlemelerin fiyatlarını kullanır. P₀ başlangıç fiyatı, P₋ referans eğrinin Δr düşürülmesinden sonraki fiyatı, P₊ aynı miktarda yükseltilmesinden sonraki fiyat olsun. Merkezi fark tahmini D_eff = (P₋ − P₊) / (2 × P₀ × Δr) olur; Δr ondalık olarak ifade edilir. Sonuç, tanımlanan eğri şokuna karşı yüzde fiyat duyarlılığı olarak çoğunlukla yıl cinsinden yorumlanır.

Gelecekteki nakit akışları faizle değişebiliyorsa, örneğin callable veya putable tahvillerde ve ipoteğe dayalı menkul kıymetlerde bu yöntem yararlıdır. Değerleme modeli, her senaryoda beklenen kullanım veya erken ödeme varsayımlarını güncelleyip fiyatı yeniden hesaplayabilir. Bu nedenle sonuç referans eğrisine, şokun büyüklüğü ve şekline, modele, oynaklığa, nakit akışı varsayımlarına ve değerleme tarihine bağlıdır. CFA Institute belirsiz nakit akışlarındaki eğri riskinde effective duration kullanır; FINRA da itfa özellikli tahviller için Macaulay ve modified ölçülerinden ayırır. {source:cfaCurveBasedRiskMeasures2026} {source:finraDurationExplainer}

Effective duration her durumda otomatik olarak “daha doğru” değildir. Belirli bir referans eğrisi senaryosunda modellenen tam fiyatın nasıl değiştiği sorusunu yanıtlar. Nakit akışları sabitse ve soru tahvilin kendi getirisiyle ilgiliyse modified duration daha doğrudan olabilir. Eğri şokunda hareketin paralel olup olmadığını ve hangi eğrinin kullanıldığını; opsiyonlu tahvilde akışları yeniden hesaplayan modeli belirtin.

1.000 dolar nominal değerli tahvile dönelim. %4 getiride fiyat yaklaşık 1.027,75 dolar, modified duration yaklaşık 2,7514’tür. Getirinin 100 baz puan artması yerel tahmine göre %2,7514 veya 28,28 dolar düşüşle fiyatı yaklaşık 999,47 dolara indirir. 100 baz puan düşüş ise yaklaşık 28,28 dolar artışla 1.056,03 dolara çıkarır.

Şimdi nakit akışlarını yeni getiriyle doğrudan iskonto edelim. %5’te fiyat 1.000 dolar olur; yaklaşık 27,75 dolar veya %2,70 düşer. %3’te yaklaşık 1.056,57 dolar olur; 28,82 dolar veya %2,80 yükselir. Fiyat-getiri ilişkisi eğri olduğundan iki yöndeki değişim simetrik değildir. Duration tek başına yerel tahmin verir; convexity daha büyük hareketteki ikinci derece farkı açıklar. Bu varsayımsal hesap değişmeyen nakit akışlarını, yıllık bileşik faizi ve aynı değerleme kuralını kullanır; piyasa kotasyonu veya tahmin değildir. Sonraki adım için tahvil convexity ve fiyat duyarlılığı sayfasına bakın.

Örnekteki Macaulay ve modified ölçüler getiri bazlıdır. Referans eğrisi veya şok değerleme modeli tanımlanmadığından effective duration hesaplanmamıştır. Bunu bulmak için tahvil, belirtilen eğri senaryolarında yeniden değerlenmelidir. Nakit akışları değişiyorsa, yukarı ve aşağı senaryolarında itfa ve erken ödeme varsayımları tutarlı olmalıdır.

Planlanan nakit akışlarının bugünkü değer ağırlıklı ortalama zamanını soruyorsanız Macaulay kullanın. Sabit akışlı bir tahvilin kendi getirisindeki küçük değişim için yerel yüzde fiyat tepkisini istiyorsanız bileşik faiz kuralını belirterek modified kullanın. Referans eğrisi hareket ediyorsa ve nakit akışları faize bağlı olabiliyorsa effective duration’ı değerlendirin. Hiçbiri faizlerin hangi yöne gideceğini tahmin etmez.

Portföy toplulaştırması genellikle piyasa değeri ağırlıklarına ve sağlayıcı yöntemine bağlıdır. Tek bir effective duration tanımlı geniş eğri hareketini özetler, ancak burulma ve eğriliği gizleyebilir; key-rate duration duyarlılığı seçilen vadelere dağıtır. Baz puan başına para tutarı için DV01 ve BPV sayfasına bakın. Kredi spread’i, likidite, enflasyon, döviz ve opsiyon riski ayrı analiz gerektirebilir; referans faiz duration’ı tüm tahvil riskini ölçmez.

Tahvil özellikleri de önemlidir. Standart opsiyonsuz sabit kuponlu tahvilde, diğer koşullar aynıysa daha geç nakit akışları duration’ı uzatma eğilimindedir; daha yüksek kupon veya getiri erken ödemelerin bugünkü değer ağırlığını artırıp duration’ı azaltabilir. Vade yaklaştıkça kalan nakit akışı profili değişir, bu nedenle duration sabit kalmaz. Faiz düşüşü callable tahvilde fiyat artışını sınırlayabilir. Değişken faizli tahvil kuponunu düzenli yeniler ve benzer vadeli sabit faizli tahvilden daha düşük faiz duyarlılığı gösterebilir; yine de spread, yeniden belirleme gecikmesi, taban ve likidite riskleri vardır. Bunlar varsayımlar altındaki mekanizmalardır, evrensel sıralama değildir. {source:cfaYieldBasedBondDuration2026} {source:finraDurationExplainer}

İki kaynak “duration” derken farklı ölçüler kullanabilir. Tahvil veya portföyü, değerleme tarihini, temiz ya da tam fiyat bazını, getiri veya referans eğrisini, bileşik dönem sayısını, şok büyüklüğünü, paralel olup olmadığını, opsiyon modelini ve nakit akışlarının sabit tutulup tutulmadığını kaydedin. Para tutarlarını karşılaştırmak için pozisyon büyüklüğünü ve para birimini de eşitleyin. Girdilerden biri farklıysa doğrudan kıyaslamadan önce farkı açıklayın.

Fiyat duyarlılığı beklenen toplam getiri değildir. Kupon geliri, yeniden yatırım, kredi değişimi, spread hareketi, işlem maliyeti, vergi veya portföy değişikliği gibi gerçekleşen getirinin tüm kaynaklarını içermez. Belirli başlangıç noktasına ve modele bağlı koşullu duyarlılıktır. Fon bilgi formundaki veya analiz ekranındaki yöntemi ve tarihi; sözleşme özellikleri için izahnameyi ya da menkul kıymet belgelerini kontrol edin. Duration’ın düşük olması toplam riskin düşük olduğu veya gelecekteki zararı öngördüğü anlamına gelmez. {source:finraDurationExplainer} {source:cmeTreasuryRiskMeasurement}