อธิบาย Pontryagin Maximum Principle เทียบกับ HJB
เปรียบเทียบ costate และการทำให้ Hamiltonian สูงสุดกับฟังก์ชันค่าและการโปรแกรมแบบพลวัตในการควบคุมทางการเงินแบบกำหนดแน่นอนและแบบสุ่ม
คำตอบโดยตรง
หลักการค่าสูงสุดของ Pontryagin ใช้ Hamiltonian และ costate ย้อนกลับเพื่อให้เงื่อนไขจำเป็นตามเส้นทางที่เหมาะที่สุด HJB อธิบายค่าทั่วทุกสถานะด้วยการโปรแกรมแบบพลวัต และคำตอบที่เรียบเชื่อมมุมมองทั้งสองได้
ปัญหาการควบคุมมาก่อนวิธีใดวิธีหนึ่ง
สถานะ X วิวัฒน์ภายใต้การควบคุม u ขณะที่วัตถุประสงค์รวมผลตอบแทนระหว่างทาง มูลค่าปลายทาง และอาจรวมความเสี่ยงหรือข้อจำกัด
การควบคุมที่ยอมรับได้ต้องระบุข้อมูล ความสามารถในการอินทิเกรต ขีดจำกัดสถานะ และการตัดสินใจใช้ feedback หรือเปิดล่วงหน้า
การเปลี่ยนวัตถุประสงค์หรือเซตที่ยอมรับได้เปลี่ยนทั้งเงื่อนไขของ maximum principle และสมการ HJB
Hamiltonian กำหนดราคาผลที่ตามมาในท้องถิ่น
Hamiltonian ของการควบคุมรวมวัตถุประสงค์ระหว่างทางกับ costate ที่คูณด้วย drift ของสถานะภายใต้การควบคุม
ธรรมเนียมเครื่องหมายกำหนดว่า Hamiltonian ถูกทำให้สูงสุดหรือต่ำสุด ดังนั้นต้องระบุธรรมเนียมพร้อมวัตถุประสงค์
Hamiltonian ที่นี่เป็นวัตถุของทฤษฎีการควบคุม ไม่ควรสับสนกับพลังงานในกลศาสตร์หรือราคาตลาด
สถานะและ costate เป็นระบบเดินหน้า-ถอยหลัง
สมการสถานะเดินหน้าไปจากเงื่อนไขเริ่มต้นภายใต้การควบคุมตัวเลือก
สมการ costate เดินถอยหลังจากเงื่อนไขปลายทาง และวัดมูลค่าส่วนเพิ่มของการรบกวนสถานะ
การควบคุมตัวเลือกทำให้ Hamiltonian เหมาะที่สุดเป็นจุด ๆ โดยเชื่อมกับเส้นทางทั้งสองและข้อจำกัดที่กำลังทำงาน
โดยทั่วไป principle เป็นการทดสอบที่จำเป็น
เส้นทางที่ละเมิดเงื่อนไขค่าสูงสุดไม่อาจเป็นเส้นทางที่เหมาะที่สุดภายใต้สมมติฐานของทฤษฎี
เส้นทางที่ผ่านเงื่อนไขนี้ไม่จำเป็นต้องเหมาะที่สุดในระดับโลก วัตถุประสงค์แบบไม่เอกพันธ์อาจสร้างจุดสุดขั้วเฉพาะที่หรือผู้สมัครหลายราย
ความเว้า ความนูน transversality และคุณสมบัติคุณสมบัติข้อจำกัดอาจเปลี่ยนเงื่อนไขผู้สมัครให้เป็นผลลัพธ์เพียงพอในกรณีเฉพาะ
การควบคุมแบบสุ่มเพิ่มความสุ่มของตัวแปรคู่
เมื่อมีความเสี่ยงจาก diffusion ตัวแปรคู่จะกลายเป็นกระบวนการสุ่มย้อนกลับ และ Hamiltonian รวมการรับความเสี่ยงต่อแรงกระแทกแบบสุ่ม
หากการควบคุมเข้าไปอยู่ในสัมประสิทธิ์ diffusion แบบไม่เอกพันธ์ อาจต้องใช้พจน์ตัวแปรคู่ลำดับที่สองใน stochastic maximum principle ทั่วไป
การตัดพจน์เหล่านั้นเพราะสูตรแบบกำหนดแน่นอนดูคุ้นเคย อาจให้เงื่อนไขอันดับหนึ่งที่ผิด
HJB อธิบายทุกสถานะ ไม่ใช่เส้นทางเดียว
HJB เป็นสมการไม่เชิงเส้นสำหรับฟังก์ชันค่าทั่วเวลาและปริภูมิสถานะ สร้างจากการเวียนซ้ำของ Bellman
Pontryagin ติดตามจุดเหมาะที่สุดผู้สมัครด้วยสมการสถานะและ costate และมักลดปัญหา PDE ให้เป็นระบบค่าขอบเขต
เมื่อค่าเรียบ costate มักตรงกับ gradient ของค่าตามเส้นทางที่เหมาะที่สุด ภายใต้ธรรมเนียมเครื่องหมายและเงื่อนไขความเรียบที่เกี่ยวข้อง
การเงินใช้ทั้งสองมุมมองด้วยความระมัดระวัง
การเลือกพอร์ต การส่งคำสั่งที่เหมาะที่สุด การทำตลาด การควบคุมสินค้าคงคลัง และการเฮดจ์ที่มีต้นทุนสามารถตั้งรูปได้ด้วยทั้งสองแนวทาง
HJB สนับสนุนนโยบาย feedback เหนือสถานะ ส่วน maximum principle อาจสะดวกในมิติสูงหรือมีข้อจำกัดตามเส้นทาง
ตรวจสอบเสมอว่าการควบคุมยอมรับได้ เงื่อนไขขอบเขต เงื่อนไขอันดับสอง และความทนทานต่อการกำหนดแบบจำลองหรือวัตถุประสงค์ผิด
คำถามที่พบบ่อย
Pontryagin maximum principle เพียงพอต่อความเหมาะที่สุดหรือไม่?
โดยทั่วไปให้เงื่อนไขจำเป็น ความเว้า ความนูน และความเรียบเพิ่มเติมอาจทำให้เงื่อนไขเหล่านี้เพียงพอในปัญหาเฉพาะ
Pontryagin ต่างจาก HJB อย่างไร?
Pontryagin ศึกษาสถานะและ costate ตามเส้นทางผู้สมัคร ส่วน HJB แก้ค่าที่เหมาะที่สุดเหนือปริภูมิสถานะ
ตัวแปร costate คืออะไร?
คือตัวแปรคู่ที่วัดผลส่วนเพิ่มของวัตถุประสงค์จากการเปลี่ยนสถานะตามจุดเหมาะที่สุดผู้สมัคร
Maximum principle ใช้ในภาคการเงินที่ใด?
พบในการควบคุมพอร์ต การส่งคำสั่ง การทำตลาด การเฮดจ์ การเลือกการบริโภค และปัญหาที่มีข้อจำกัดด้านสถานะหรือเส้นทาง