Процессы Леви и компенсаторы скачков: объяснение

Для процесса Леви X приращения на непересекающихся интервалах независимы, а закон X_{t+h}-X_t зависит только от h

Стохастическая непрерывность исключает фиксированные разрывы по вероятности, а версия càdlàg дает правосторонне непрерывные траектории с левыми пределами

Модель имеет однородный во времени закон приращений — сильное предположение, полезное аналитически, но проверяемое по данным

Соглашение об усечении задает триплет (b, σ², ν): дрейф, броуновскую дисперсию и меру скачков Леви

Мера ν описывает ожидаемую интенсивность скачков по размерам и должна удовлетворять ∫(1∧x²)ν(dx) < ∞

Изменение функции усечения может изменить заявленный дрейф b, но не закон процесса, если все члены триплета преобразованы согласованно

Характеристическая функция имеет вид E[e^{iuX_t}] = exp(tψ(u)), где ψ определяется триплетом

Независимые стационарные приращения превращают свертку во времени в умножение, которое становится линейным масштабированием характеристического показателя

Эта структура поддерживает фурье-методы для опционов, но численная инверсия все равно требует контроля демпфирования, сетки и усечения

Разложение записывает X как дрейф, броуновскую компоненту, крупные скачки и компенсированные мелкие скачки

Крупные скачки имеют конечную интенсивность прихода выше любого фиксированного порога; бесконечно много мелких скачков может произойти за конечное время

Бесконечная активность и бесконечная вариация — разные свойства, поэтому нужно смотреть на интегралы по ν, а не выводить одно из другого

Пусть N(dt,dx) считает скачки размера x; для процесса Леви его компенсатором является dtν(dx)

Компенсированная мера Ñ(dt,dx) = N(dt,dx) - dtν(dx) вычитает предсказуемые приходы скачков и превращает подходящие сюрпризы в локальный мартингал

У необработанной суммы скачков и компенсированного интеграла разные дрейфы, поэтому переключение между ними без поправки конечной вариации меняет модель

В моделях активов часто задают S_t = S_0e^{X_t} или используют стохастическую экспоненту, но одной положительности недостаточно для мартингальности дисконтированной цены

Характеристический показатель должен удовлетворять требуемым условиям экспоненциального момента и мартингальности при выбранной ценовой мере

Скачковый риск обычно не покрывается полностью, поэтому эквивалентные мартингальные меры могут быть неоднозначны и оценке нужно дополнительное правило выбора

Скачки Леви могут лучше чистой диффузии описывать асимметрию, тяжелые хвосты и улыбки коротких сроков

Стационарные независимые приращения исключают кластеризацию волатильности, эффект плеча и меняющуюся интенсивность скачков, если модель не расширить

Проверяйте существование моментов, усечение малых скачков, мартингальную поправку, устойчивость калибровки, экстраполяцию хвостов и ошибку хеджа вне выборки