Большие уклонения и улыбка опционов: объяснение

Центральная предельная теорема описывает типичные флуктуации около среднего, обычно в масштабе квадратного корня

Теория больших уклонений спрашивает, как вероятность удаленного множества уменьшается при экстремальном значении параметра масштаба

Она полезна, когда выплата опциона сосредоточена в исходах, слишком редких для корректного описания локальным гауссовым приближением

Для переменных X_ε со скоростью a_ε, стремящейся к бесконечности, запись P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] передает главную идею

Формальный принцип дает отдельные нижнюю и верхнюю границы для открытых и замкнутых множеств, а не точное равенство для каждого события

Функция скорости I неотрицательна и обычно равна нулю в типичных состояниях; хорошая функция скорости имеет компактные множества уровня

При условиях Гертнера—Эллиса предельная масштабированная кумулянтная производящая функция Λ(θ) может дать I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}

Это преобразование Лежандра—Фенхеля выбирает экспоненциальный наклон, делающий редкую конечную точку типичной при измененной мере

Вывод требует проверки области, дифференцируемости и крутизны; конечности преобразования в нескольких значениях θ недостаточно

Внебиржевой опцион платит только за пределами страйка, поэтому его ведущая цена может определяться состоянием или траекторией с наименьшей стоимостью достижения области выплаты

Принцип сокращения переносит функцию скорости через отображения, например из траектории в конечную цену или в агрегирование корзины

После сопоставления асимптотики опциона с эталонной ценой можно вывести ведущую асимптотику подразумеваемой волатильности для того же режима масштаба

Малый срок, малый волатильностный шум, большой срок и экстремальный страйк — разные пределы, способные дать разные функции скорости

Формула, доказанная при фиксированной логарифмической денежности при стремлении срока к нулю, может не работать, если страйк движется вместе со сроком

Ведущий экспоненциальный порядок не определяет множитель, кривизну при конечном сроке или скорость приближения котируемой улыбки к пределу

Асимптотическая улыбка может нарушить монотонность цены колла, выпуклость по страйку, календарный порядок или границы цены, если использовать ее вне области применимости

Риск-нейтральный закон конечного состояния должен также сохранять мартингальное условие дисконтированного актива, которое удобное хвостовое приближение может пропустить

Используйте теорию как структурное ограничение или руководство по экстраполяции, а затем обеспечьте статическое отсутствие арбитража для полной поверхности цен

Оценивайте логарифмы вероятностей или цен опционов при нескольких значениях ε или срока и проверяйте, стабилизируются ли наклоны на предсказанной скорости

По возможности сравнивайте с ценами Монте—Карло, преобразования или PDE, включая область перехода между центральным и редким режимами

При каждой реализации фиксируйте масштаб, меру, переменную состояния, область функции скорости, обработку множителя и проверки арбитража