Фундаментальная теорема оценки активов: объяснение

Арбитраж начинается без чистых вложений, не может принести убыток в рамках модели и даёт положительную выплату хотя бы в одном релевантном состоянии

Высокий коэффициент Шарпа, статистическое преимущество или кажущийся дешёвым опцион не являются автоматически арбитражем, потому что убыток всё ещё возможен

Теорема начинается именно с этого условия на уровне модели. Изменение допустимых стратегий, правил финансирования или ограничений может изменить наличие арбитража

В конечном одношаговом рынке назначьте каждому будущему состоянию неотрицательный дисконтированный вес. Любая реплицируемая выплата оценивается суммой выплаты, умноженной на вес состояния

Если строго положительные веса соответствуют всем ценам торгуемых активов, портфель с нулевой стоимостью не может дать неотрицательную выплату с прибылью хотя бы где-то

Нормировка этих весов на счёт денежного рынка создаёт вероятности. Этот шаг превращает ценовой функционал в мартингальную меру

Эквивалентная мера даёт вероятность ноль ровно тем же событиям, что и физическая мера. Она меняет относительные веса, не создавая и не удаляя возможные состояния

Это различие важно, потому что выплата, положительная только в объявленном невозможным состоянии, не поддерживает тот же аргумент арбитража

Новые веса — инструменты оценки, а не утверждение, что инвесторы буквально верят в переназначенные вероятности

В стандартных конечных моделях отсутствие арбитража эквивалентно существованию эквивалентной меры, при которой дисконтированные цены торгуемых активов являются мартингалами

В общих рынках непрерывного времени важны точное условие отсутствия бесплатной прибыли и технические допущения. Неформальная версия теоремы может оказаться слишком слабой

Экономический смысл сохраняется: согласованные цены можно представить как условные дисконтированные значения по подходящей оценочной мере

Рынок является полным, когда каждую допустимую случайную выплату можно получить торговлей доступными активами в рамках модели

В стандартных условиях полнота соответствует единственности эквивалентной мартингальной меры. Тогда одна мера даёт одну цену без арбитража для каждой выплаты

Если несколько мер согласуются с торгуемыми активами, недостижимые выплаты могут иметь диапазон цен без арбитража, пока не добавлены предпочтение, калибровка или другой критерий

Одноакционная биномиальная модель с одной акцией и одной облигацией имеет два будущих состояния и обычно может реплицировать любую выплату в двух состояниях, поэтому её риск-нейтральная вероятность единственна

Идеальная диффузия Блэка—Шоулза использует непрерывную торговлю, чтобы охватить единственный источник броуновского риска и получить знакомую цену репликации

Добавьте неторгующуюся волатильность, скачки, транзакционные издержки или ограничения торговли — и точная полнота может исчезнуть, даже если полезные модельные цены сохранятся

Отсутствие арбитража ограничивает относительные цены, но не определяет ожидаемую доходность, частоту событий или экономически лучшую откалиброванную модель

Две модели могут соответствовать текущим ценам, но задавать разную динамику вне наблюдаемых страйков, сроков погашения или будущих правил перекалибровки

Используйте теорему, чтобы отделять согласованность от прогноза. Валидная оценочная мера может переоценивать инструменты, не будучи надёжным физическим прогнозом

Определите торгуемые активы, нумерар, информацию, допустимые стратегии, финансирование, залог, издержки и риски, которые действительно можно захеджировать

Проверьте, нарушают ли предлагаемые цены статические границы и сохраняется ли заявленная репликация при дискретной торговле, низкой ликвидности и неопределённости параметров

Теорема — основа проектирования модели, а не доказательство того, что торговый стол может исполнить идеальный хедж или что каждая наблюдаемая котировка свободна от арбитража