Совместная оценка VaR и ES: подход Фисслера–Цигеля

Пусть L_t — убыток, поэтому более высокое значение хуже, а c — уровень доверия, например 97,5%. Условный квантиль убытка v(c,t) — наименьшее x, для которого F(L_t ≤ x | информация до t−1) достигает c. Для верхнего хвоста убытков ES равен e(c,t) = 1/(1−c), умноженному на интеграл v(u,t) от c до 1, если среднее хвоста конечно. При непрерывном распределении это средний убыток выше порога VaR. Если в точке порога есть атом вероятности, интеграл по квантилям учитывает нужную долю этой массы.

Функция оценки должна соответствовать соглашению в прогнозах. В некоторых работах VaR и ES определяются для нижнего хвоста доходности и часто имеют отрицательные значения; вероятность хвоста обозначают α = 1−c. Для положительных убытков используется верхний хвост, и ES не меньше VaR. Смешение соглашений по доходности и убытку может изменить направление неравенств и индикаторов исключений. Указывайте знак, уровень доверия, горизонт и информацию, доступную до результата.

Квантиль можно оценивать строго согласованной pinball-функцией. Для убытка L и его квантиля уровня c, обозначенного v, один вариант оценки VaR имеет вид S_VaR(v,L) = (I{L ≤ v}−c)(v−L). При стандартных условиях для квантилей ожидаемая оценка минимальна на целевом квантиле. Поэтому VaR можно проверять отдельно по прогнозам и последующим наблюдениям.

Для ES не существует аналогичной строго согласованной функции, которая отдельно элицитировала бы ES на широких классах распределений убытков, используемых в управлении риском. Это утверждение имеет конкретные границы: речь о самостоятельном точечном прогнозе, ожидаемая оценка которого однозначно минимальна на ES. Это не означает, что ES бесполезен, его нельзя сравнивать или нельзя тестировать.

Фисслер и Цигель установили ключевое различие: ES в этом смысле не элицитируем отдельно, но пара (VaR, ES) элицитируема совместно при мягких условиях регулярности и существования моментов. В их статье исследуются условия строго согласованных оценок (Fissler and Ziegel, 2016). Совместная элицитируемость означает, что одна функция использует оба прогноза и реализованный результат. Простое сложение произвольных функций потерь не создает корректную оценку ES.

Обозначим допустимую совместную оценку на уровне c через S_c(v,e;L). Строгая согласованность означает, что математическое ожидание оценки при целевом распределении минимально для правильной пары: (VaR_c, ES_c) = arg min по (v,e) от E[S_c(v,e;L)]. При соответствующих условиях минимум единственный. Функция объединяет информацию о пересечении порога VaR с величиной реализованного хвостового убытка и прогнозом ES. При положительных убытках ES не должен быть ниже VaR.

Фисслер и Цигель описывают класс функций, а не одну обязательную формулу. Паттон, Цигель и Чен применяют этот результат к динамическим моделям VaR и ES и сравнению прогнозов (Patton, Ziegel, and Chen, 2019). Распространенный вариант FZ0 записывается для доходности в нижнем хвосте: Y = −L, α = 1−c и отрицательные прогнозы e ≤ v < 0: S_FZ0(Y,v,e;α) = −I{Y ≤ v}(v−Y)/(αe) + v/e + ln(−e) − 1. Эта формула зависит от соглашения для доходности и указанных знаков. Ее нельзя без изменений применять к положительным убыткам; это также не универсально лучшая функция для любого набора данных. Укажите выбранное правило и проверьте его условия.

Для модели m рассчитайте S_c(v_hat(m,t),e_hat(m,t);L_t) для каждой пары прогноз–результат, а затем усредните по T наблюдениям. При одинаковой допустимой функции, цели, датах и соглашениях более низкое среднее означает лучший результат относительно этого правила. Это число не является вероятностью, денежной величиной VaR или прогнозом убытка; его шкала зависит от функции.

Для парного сравнения рассчитайте d_t = S_A,t − S_B,t. Отрицательное среднее говорит в пользу A по выбранной оценке. Оба прогноза сравниваются с одним и тем же результатом, поэтому парная разность информативнее двух округленных отдельно средних. Но при небольшом числе хвостовых наблюдений она все равно может быть неточной.

<!-- learn:illustration -->

Сравнивайте одни и те же моменты выпуска прогноза, портфель или целевую переменную, горизонт, уровень доверия и версию данных. Прогнозы должны быть записаны до появления результата. При перекрывающихся горизонтах или серийной зависимости разностей оценка неопределенности должна учитывать эту структуру. Указывайте подходящую стандартную ошибку или интервал; небольшая необработанная разница сама по себе не доказывает надежное превосходство.

Может показаться естественным добавить к pinball-потере VaR абсолютную ошибку прогноза ES относительно некоторого ориентира. Однако сам ориентир может быть неподходящим, а ожидаемое значение второго слагаемого не обязано достигать минимума на истинном ES. Произвольно взвешенная сумма не гарантирует совместную согласованность. Функция FZ специально построена для оценки пары VaR–ES вместе.

Класс Фисслера–Цигеля содержит разные функции с разными шкалами и акцентами. Средние значения для разных функций напрямую несопоставимы. Паттон, Цигель и Чен обсуждают FZ0 с некоторыми масштабными свойствами при дополнительных знаковых предположениях; это не делает FZ0 универсально лучшим вариантом. Выберите и опишите правило до просмотра рейтинга моделей.

Пара прогнозов также должна быть согласованной. Внешне разумный прогноз ES может получить низкую оценку, если он противоречит связанному с ним VaR. И наоборот, высокая совместная оценка не доказывает правильность всего условного распределения. Проверяется указанная функция VaR–ES при выбранной оценке и дизайне исследования.

Индикатор исключения VaR бинарный: I_t = 1, если L_t превысил прогноз VaR, и 0 в противном случае. У двух моделей могут совпадать даты и число исключений, но величина убытков выше порога может сильно различаться. Четыре превышения не показывают, были ли все они малы или одно ушло далеко в хвост. Обычный счетчик отбрасывает именно информацию о величине, которую должен описывать ES.

Совместная оценка использует VaR и ES вместе с реализованным убытком, поэтому размер хвостового убытка может влиять на нее помимо количества исключений. Точный вклад определяет выбранная функция. Не выбирайте победителя по одному экстремальному событию: рассчитайте оценку на всей общей выборке и проверьте чувствительность.

Сравнение прогнозов по оценке и тест калибровки VaR отвечают на разные вопросы. Первое ранжирует пары по заранее заданному правилу. Тест исключений VaR исследует частоту или временные кластеры превышений порога. Рейтинг не является полным доказательством калибровки.

Тесты Купека сравнивают число исключений VaR с целевой частотой; расширения Кристофферсена также исследуют зависимость или кластеризацию. Поскольку каждый результат сводится к исключению или его отсутствию, эти тесты не измеряют величину убытков выше порога и непосредственно не проверяют прогноз ES. Руководство по VaR и Expected Shortfall объясняет, какую разную информацию несут эти показатели риска.

Ачерби и Секели предложили непараметрические бэктесты ES и отметили, что элицитируемость важна для выбора модели, но не обязательна для проверки меры риска (Acerbi and Szekely, 2014). Байер и Димитриадис разработали регрессионные бэктесты ES со структурой совместной VaR–ES; у вариантов есть собственные предпосылки и требования к оценке ковариации (Bayer and Dimitriadis, 2022). Рейтинг оценок не заменяет специализированный бэктест. Отсутствие отклонения нулевой гипотезы также не доказывает правильность пары прогнозов.

Последовательность разностей оценок d_t сама является временным рядом. Для неперекрывающихся однопериодных прогнозов и подходящих предположений о зависимости можно рассмотреть парный тест среднего различия. При серийной зависимости или перекрывающихся горизонтах неопределенность следует оценивать методом, учитывающим эту структуру, например подходящей долгосрочной дисперсией или блочным ресэмплингом. Укажите метод и его параметры, а не только p-значение.

Зафиксируйте функцию оценки, хвостовой уровень, горизонт, период анализа и набор моделей до просмотра результатов. Если перебрать множество оценок, окон, портфелей и вариантов прогноза, а затем показать только лучший результат, возникает проблема отбора. По возможности оставьте более поздний период для независимой оценки и опишите поиск. Обычные стандартные ошибки не учитывают такой отбор автоматически.

Укажите средние значения и парную разность с неопределенностью, формулу оценки, знаки и соглашения, общие даты вне выборки и количество хвостовых наблюдений. Если рейтинг меняется при разумных вариантах оценок или периодов, покажите эту чувствительность.

При высоких уровнях доверия хвостовых наблюдений мало, поэтому рейтинг может быть нестабильным даже при длинном временном ряде. На разности также влияют условная гетероскедастичность, смена режимов, перекрывающаяся доходность, ошибка оценивания, проблемы данных и изменение портфеля. Совместная элицитируемость не устраняет эти трудности, а дает обоснованный класс оценок при математических условиях.

Проверьте, что реализованный убыток относится к тому же портфелю, горизонту, методу оценки и знаку, что и прогноз. VaR и ES должны относиться к одной вероятности хвоста. Убедитесь, что прогнозы были сформированы до результата и выбранная функция соответствует своим условиям по распределению, моментам и знакам. Укажите длину выборки, число хвостовых наблюдений, формулу, способ оценки неопределенности и поиск моделей или функций. Вывод относится только к этому дизайну.

Более низкая совместная оценка свидетельствует о лучшем относительном прогнозе по конкретному правилу. Она не доказывает, что модель учла все хвостовые события, что оценка риска безопасна или что будущее повторит выборку. Статья объясняет статистические методы и не является инвестиционной рекомендацией.