Аффинные процессы и уравнения Риккати объяснены

Для марковского состояния X аффинная модель ищет E[e^{u·X_T}|X_t=x] = exp(φ(τ,u)+ψ(τ,u)·x), где τ=T−t

Слово аффинный означает, что логарифм этого условного преобразования является постоянной плюс линейной функцией текущего состояния

Пути всё ещё могут быть нелинейными, гетероскедастичными и дискретными; квадратичная дисперсия и интенсивность скачков могут обе входить в этот класс

Обычная каноническая совокупность объединяет неотрицательные координаты, такие как дисперсия или интенсивность, с неограниченными действительными координатами, такими как логарифм цены

Притоки, диффузии и меры скачков должны удовлетворять условиям допустимости, чтобы процесс оставался в своём пространстве состояний и определял допустимую марковскую закон

Аффиноподобная формула недостаточна: отрицательная дисперсия, взрывная активность скачков или невыполненное условие существования могут сделать спецификацию недействительной

Преобразование может кодировать характеристические функции, преобразования Лапласа, моменты, цены облигаций и дисконтированные строительные блоки доходностей

Вместо того чтобы восстановить всю переходную плотность, один вычисляет φ и ψ при комплексном аргументе, требуемом формулой ценообразования

Эта разделённость мощна: стохастическая модель снабжает преобразованием, а инверсия или преобразование доходности переводит его в цены

Подстановка экспоненциально-аффинного ансамбля в уравнение генератора группирует постоянные члены в φ и государственно-линейные члены в ψ

Результат — связанная система вида ∂τφ = F(ψ) и ∂τψ = R(ψ), с начальными условиями φ(0,u)=0 и ψ(0,u)=u

Члены диффузии делают R квадратичным, а скачки добавляют интегралы преобразования, откуда и название — обобщённые уравнения Риккати

CIR использует неотрицательное квадратичное состояние, а Хестон связывает логарифм цены с квадратичной дисперсией и сохраняет аффинное совместное преобразование

Аффинные модели терминной структуры и кредитные модели могут делать краткосрочные ставки, интенсивности дефолта или компенсаторы скачков аффинными функциями состояния

Общая архитектура преобразований не делает модели эквивалентными; каждая имеет различные ограничения состояния, хвостовое поведение и экономический смысл

Характеристическая функция существует для действительных частот, но экспоненциальные моменты при комплексных аргументах могут существовать лишь на ограниченной области

Решение Риккати может взрываться на конечном горизонте, сигнализируя о сбое моментов, а не обязательно о конце базового вероятностного процесса

Закрытые формы также требуют согласованных ветвей квадратичного корня и логарифма; алгебраически равные формы могут вести себя по-разному в плавающей точке

Проверьте начальные значения, полу-групповое соотношение, сопряжённую симметрию, условие мартингала и известные предельные случаи перед ценообразованием опционов

Контролируйте решатель Риккати, область преобразования, непрерывность ветвей и чувствительность к допускам по сеткам матурностей и параметров

Аффинная управляемость сводит одну трудную задачу к меньшим; она не устраняет риск калибровки, численную ошибку или неправильную спецификацию модели