COS-метод в оценке опционов: объяснение

Пусть конечное логарифмическое состояние X имеет известную характеристическую функцию, а опцион выплачивает v(X) в момент погашения

После дисконтирования при соответствующей мере оценки искомая стоимость — это интеграл v(x) по условной плотности X

COS приближает этот интеграл конечным косинусным рядом, а не симулирует траектории и не решает обратную сетку цен во времени

Поскольку логарифмы цен обычно живут на вещественной прямой, метод выбирает конечный интервал [a,b], содержащий основную экономически значимую массу вероятности

Вероятность за пределами [a,b] создает ошибку усечения области еще до того, как будут отброшены косинусные члены

Слишком узкий интервал теряет хвосты, а неоправданно широкий требует больше членов для разрешения тех же локальных особенностей

На [a,b] плотность раскладывается по cos(kπ(x−a)/(b−a)) для неотрицательных целых k

Ее косинусные коэффициенты приближаются через Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, что позволяет не восстанавливать полную плотность явно

В обычной сумме с штрихом член нулевой частоты получает половинный вес; это небольшое соглашение существенно влияет на уровень цены

Каждый коэффициент плотности умножается на соответствующий интеграл v(x) с косинусным базисом на [a,b]

Для европейских коллов и путов эти коэффициенты выплаты имеют аналитические формы; для других выплат может потребоваться устойчивая численная интеграция

После разделения коэффициентов модели и выплаты многие страйки или контракты могут повторно использовать значительную часть одной и той же работы с преобразованием

Гладкие плотности с быстро убывающими косинусными коэффициентами могут давать очень быструю, часто экспоненциальную сходимость при росте числа членов N

Короткие сроки, резкие плотности, атомы, тяжелые хвосты или разрывные выплаты могут замедлить сходимость и вызвать колебания около негладких точек

Поэтому репутация метода как быстрого зависит от гладкости и не является гарантией фиксированной точности для каждой модели и выплаты

Распространенная эвристика использует кумулянты, например c₁±L√(c₂+√c₄), когда эти кумулянты существуют и соглашение применимо

Масштаб L не универсален, а ненадежные или несуществующие кумулянты высокого порядка могут сделать знакомое правило интервала обманчивым

Границы хвостовой вероятности, более широкие опорные интервалы и устойчивость при разных [a,b] дают более сильные свидетельства, чем одна эвристическая настройка

Увеличивайте [a,b], удерживая N достаточно большим для диагностики усечения области, затем увеличивайте N на стабильном интервале для проверки сходимости ряда

Проверьте характеристическую функцию в нуле, соглашение о половинном весе, дисконтирование, коэффициенты выплаты, паритет, границы, монотонность и выпуклость

Сравните выбранные цены с прямой квадратурой Фурье или другим независимым методом до использования COS внутри циклов калибровки