Мартингалы в оценке опционов: объяснение

Пусть Mₜ — процесс, а Fₜ — доступная в момент t информация. Мартингал удовлетворяет E[Mᵤ | Fₜ] = Mₜ для каждого более позднего момента u при наличии условий интегрируемости

Условность необходима. Прогноз использует всё уже известное, а не только безусловное долгосрочное среднее

В определении всегда названы вероятностная мера и информационная фильтрация. Процесс может быть мартингалом по одной мере и не быть им по другой

Честная игра не означает, что следующее значение равно текущему. Это означает, что положительные и отрицательные условные изменения уравновешиваются в ожидании

Большие скачки, широкие распределения и зависимая от пути неопределённость совместимы со свойством мартингала, если требуемые ожидания существуют

Мартингал также не означает независимые приращения. Зависимость может сохраняться, пока выполняется ограничение на условное среднее

Торгуемый актив обычно имеет перенос, дивиденды или эффект финансирования, поэтому его недисконтированная цена не обязана быть мартингалом по оценочной мере

Разделите стоимость с полной доходностью на выбранный нумерар, например счёт денежного рынка. При подходящих предположениях отсутствия арбитража дисконтированный процесс становится мартингалом

Смена нумерара меняет связанную меру и относительные цены, являющиеся мартингалами. Единица счёта — часть утверждения

Для реплицируемой выплаты H в момент T её дисконтированная стоимость сегодня равна условному ожиданию дисконтированной выплаты по оценочной мере

Это не усреднение по историческим частотам. Мера выбирается так, чтобы дисконтированные цены торгуемых активов согласовывались с отсутствием арбитража

Формула сжимает динамический аргумент репликации. Она не устраняет допущения о торговле, состояниях модели, дивидендах или финансировании

Выберите веса роста и падения так, чтобы ожидаемое следующее значение дисконтированного базового актива равнялось его текущему дисконтированному значению

Примените те же веса к значениям опциона в следующих узлах и дисконтируйте назад. Повторение шага даёт цену в корневом узле

Риск-нейтральная вероятность дерева поэтому является мартингальным весом. Это не утверждение, что фактическая акция имеет нулевую ожидаемую избыточную доходность

У субмартингала условное будущее ожидание не меньше текущего, а у супермартингала — не больше текущего

Эти понятия возникают при ограничениях, потреблении, американском исполнении и супер-хедже, где точное равенство может заменяться односторонней границей

Сам префикс не прогнозирует прибыльную сделку. Мера, дисконтирование, допустимость и интегрируемость по-прежнему определяют интерпретацию

Соблазнительно думать, что любое правило остановки честной игры сохраняет ожидание. Теоремы об остановке требуют ограниченности, интегрируемости или связанных условий

Стратегии удвоения могут нарушать допустимость или требовать неограниченного капитала. Они не создают практический арбитраж из определения мартингала

Задачи остановки для американских опционов используют тщательно определённые моменты исполнения и процессы стоимости, а не неограниченное обещание, что время не имеет значения

Наблюдаемые цены включают спреды, устаревшие котировки, ограничения и дискретную торговлю. Мартингал модели — утверждение внутри заданных идеализаций

Строгие локальные мартингалы, пузыри, неограниченные выплаты и проблемы существования меры показывают, почему технические условия нельзя всегда пропускать

Перед применением формулы мартингала назовите процесс, меру, нумерар, фильтрацию, интегрируемость выплаты и доступные торговые стратегии