Preços de estado de Arrow–Debreu explicados
Entenda títulos contingentes ao estado, por que os preços de estado diferem de probabilidades e como a curvatura dos preços de opções revela uma densidade neutra ao risco
Resposta direta
Um título de Arrow–Debreu paga uma unidade em um estado futuro específico e zero em todos os demais. Seu preço de estado atual combina desconto no tempo, probabilidade física e o quanto a riqueza é valiosa nesse estado, portanto não é uma probabilidade bruta
Direitos elementares isolam um estado futuro
Suponha que a incerteza futura seja dividida em estados mutuamente exclusivos. O título s paga uma unidade somente quando o estado s ocorre
Qualquer payoff contingente ao estado X pode então ser escrito como uma coleção de quantidades de estado X_s
Se todos os direitos elementares forem negociados ou puderem ser replicados, eles formam uma base para precificar todo payoff nesse espaço finito de estados
Preços de estado avaliam vetores de payoff completos
Seja q_s o preço atual de uma unidade no estado s. O preço do payoff X é a soma de q_s X_s em todos os estados
A linearidade decorre da combinação de carteiras, enquanto preços de estado positivos impedem um payoff não negativo, possível em algum estado, de ser obtido gratuitamente
O preço de uma unidade sem risco em todos os estados é a soma de todos os q_s, igual ao preço do título de cupom zero relevante
Um preço de estado não é uma probabilidade física
Se p_s for a probabilidade física e m_s o fator estocástico de desconto, q_s = p_s m_s
Um estado raro de desastre pode ter um preço alto por unidade de probabilidade porque a riqueza entregue nele é especialmente valiosa
Dividir q_s pelo preço do título dá uma probabilidade neutra ao risco, separando a normalização do preço de estado original em valor presente
Spreads de opções aproximam direitos de estado
Um spread butterfly estreito paga principalmente quando o ativo subjacente termina perto de seu strike central, aproximando um direito contingente a um estado estreito
À medida que o espaçamento entre strikes diminui, a segunda derivada em relação ao strike de uma curva suave de preços de calls europeias recupera a densidade neutra ao risco descontada, sob as premissas usuais
Esse resultado de Breeden–Litzenberger conecta a curvatura observável entre strikes aos preços de estado, não diretamente às crenças físicas
A não arbitragem impõe restrições de forma
Os preços das calls devem diminuir com o strike e permanecer convexos, porque direitos digitais e butterflies não podem ter preços negativos
Consistência entre vencimentos e tratamento correto de forward, desconto, dividendos e liquidação também são necessários antes de interpretar uma superfície
Violações podem refletir cotações defasadas, ruído de bid-ask, strikes discretos, exercício antecipado ou uma inconsistência genuína nos dados de entrada, e não uma arbitragem negociável
Mercados incompletos deixam os preços de estado indeterminados
Se os payoffs negociados não abrangerem todos os estados, vários vetores de preços de estado podem reproduzir os mesmos preços observados
Os limites de um direito não negociado resultam de carteiras que o replicam por baixo ou por cima, mas um preço exige outro critério
Adicionar opções em mais strikes melhora o espaço de payoffs representado, embora contratos finitos e ruidosos nunca criem automaticamente um contínuo ideal
A extração é um problema de inversão estatística
Na prática, cadeias de opções são esparsas, ruidosas, assíncronas e limitadas em sua faixa de strikes. Segundas derivadas amplificam essas imperfeições
Interpolação, suavização, extrapolação das caudas, exercício americano, juros e premissas de dividendos podem mudar materialmente a densidade inferida
Valide a reprecificação, a positividade, a integração até o preço do título, a consistência do forward e a sensibilidade à suavização antes de usar preços de estado
Perguntas frequentes
O que é um título de Arrow–Debreu?
É um direito contingente que paga uma unidade se ocorrer um estado futuro específico e zero em todos os outros estados
Preços de estado são iguais a probabilidades?
Não. Eles incluem tanto a probabilidade quanto o valor da riqueza em cada estado, além do desconto no tempo
Como as opções revelam preços de estado?
A segunda derivada de uma curva suave de preços de calls europeias em relação ao strike corresponde à densidade neutra ao risco descontada
Por que os preços de estado estimados podem ser instáveis?
Eles exigem diferenciar preços esparsos e ruidosos e, por isso, dependem muito de interpolação, caudas, carry e tratamento do exercício