Execução ótima de Almgren–Chriss: equilibrando impacto no mercado e risco de preço

Imagine uma ordem principal grande demais para ser enviada de uma só vez. Dividi-la em ordens menores pode reduzir a pressão imediata no livro de ofertas, mas traz uma troca. Executar rapidamente costuma aumentar o custo de impacto temporário; executar devagar deixa uma parcela maior da posição exposta às mudanças de preço por mais tempo.

Almgren–Chriss formula essa troca como uma otimização de custo e risco. Seja X a quantidade inicial a executar, T o prazo final e x(t) a quantidade que ainda falta negociar no instante t. Para simplificar a notação, x(t) é uma quantidade positiva na direção da ordem original, seja ela de compra ou de venda. A velocidade de execução é v(t) = −dx(t)/dt: quando a quantidade restante diminui, a quantidade negociada aumenta. As condições de contorno são x(0) = X e x(T) = 0.

Na formulação média-variância mais comum, o cronograma é avaliado por:

Objetivo do cronograma = custo esperado de execução + λ × variância do custo de execução

λ é o peso atribuído à aversão ao risco. O artigo original de Almgren e Chriss formula essa troca entre custo e risco como um problema de execução ótima (artigo original). A fórmula não “descobre” automaticamente o valor correto. Quem usa o modelo precisa escolher o peso de risco e estimar volatilidade e impacto.

O impacto temporário aparece quando uma ordem consome a liquidez disponível ou precisa cruzar o spread entre compra e venda. No modelo linear simples, uma velocidade de negociação v gera um custo por unidade proporcional a v. Ao multiplicar esse custo pela quantidade negociada, o custo total por unidade de tempo fica proporcional a v². Por isso, acelerar a ordem inteira pode elevar o custo de impacto.

O impacto permanente é diferente: no modelo linear padrão, as negociações deslocam o preço de referência, e parte desse deslocamento persiste mesmo depois que a ordem termina. Para a mesma quantidade total X, a parcela esperada de custo de impacto permanente no modelo básico não depende de como X é distribuído no tempo. Assim, na formulação simplificada, ela pode ser tratada como constante ao comparar cronogramas. Modelos com outra definição de impacto ou de mercado podem chegar a conclusões diferentes.

O risco de preço aparece porque a posição ainda não executada continua exposta a mudanças no preço. Se a volatilidade do preço por raiz do tempo é σ, a variância do custo de risco no modelo básico é proporcional a σ² multiplicada pela integral de x(t)² durante a janela de execução. Um cronograma que reduz a quantidade restante mais cedo tende a diminuir essa exposição, mas pode exigir operações mais agressivas. Por isso os dois termos aparecem na função objetivo.

Depois de retirar os componentes de custo que são iguais em todos os cronogramas, uma forma contínua simplificada é:

J = integral de 0 a T de [ηv(t)² + λσ²x(t)²] dt

η é o coeficiente de impacto temporário nesta convenção. Minimizar essa expressão com a quantidade inicial e final fixas resulta em:

x(t) = X × sinh(κ(T − t)) / sinh(κT)

No limite contínuo, κ² = λσ²/η. sinh é o seno hiperbólico. A fórmula mostra a quantidade que ainda falta negociar, e não a quantidade já executada. Em um trabalho relacionado, Bertsimas e Lo estudam estratégias dinâmicas para minimizar custos de execução sob premissas definidas de impacto nos preços (artigo).

O parâmetro κT resume o formato da trajetória em relação ao prazo. Quando λ tende a zero, a solução se aproxima de uma reta: a quantidade restante cai de forma uniforme e o ritmo lembra o TWAP. Quando λ ou σ aumenta, ou η diminui, κ cresce e o cronograma concentra mais operações no início. Um impacto temporário mais caro tende a favorecer um cronograma mais lento e uniforme. Na versão discreta, a definição exata de κ depende da duração dos intervalos e da convenção dos coeficientes; a fórmula acima é o limite contínuo do modelo básico, não uma equação independente de unidades.

Suponha que uma ordem de 1.000 unidades precise ser concluída em 60 minutos. Compare um cronograma TWAP linear com uma trajetória Almgren–Chriss cujo κT = 2. O valor de κT foi escolhido apenas para ilustrar o formato da curva; não é uma estimativa para um ativo específico.

Nos primeiros 15 minutos, o cronograma TWAP executa cerca de 250 unidades, enquanto o exemplo Almgren–Chriss executa cerca de 413. Aos 30 minutos, cada cronograma concluiu 500 e aproximadamente 676 unidades, respectivamente. Ambos chegam a zero no prazo, mas o exemplo com κT = 2 mantém uma quantidade menor em aberto durante a janela.

Esta é apenas uma comparação entre trajetórias matemáticas. O exemplo não define preços, spreads, execuções, taxas ou lucros e não demonstra que o cronograma mais rápido seja melhor. Os valores foram arredondados a partir da fórmula e não são observações de mercado.

Para cada cronograma, o modelo pode calcular o custo esperado de execução e sua variância. Repetir a otimização para diferentes valores de λ produz um conjunto de cronogramas eficientes: em determinado nível de risco, um cronograma na fronteira tem o menor custo esperado dentro do modelo. Um λ maior dá mais peso ao risco da posição ainda aberta; em geral, o modelo escolhe uma trajetória que reduz a variância e aceita um custo maior de impacto temporário.

A fronteira não determina sozinha a escolha correta. λ representa uma preferência ou restrição de decisão, enquanto σ e η precisam ser estimados com dados compatíveis com o ativo, o tamanho da ordem e as condições de mercado. Estimativas diferentes podem alterar bastante o cronograma. Por exemplo, usar volatilidade diária para um horizonte intradiário sem converter as unidades de tempo de forma consistente torna κ difícil de interpretar.

O resultado padrão presume um único ativo, volatilidade constante, preços sem tendência prevista, impacto linear e parâmetros de liquidez que não mudam durante a execução. O cronograma é open-loop: a curva é definida antes e não se ajusta automaticamente a cada mudança no livro ou no fluxo de ordens. O modelo básico também não inclui sinais de alpha, correlação com outros ativos, limites de preço, execuções parciais dependentes da fila nem limites de lote mínimo e variação de preço.

Mercados reais podem apresentar impacto não linear, liquidez variável, execuções incertas, volatilidade que muda e recuperação da profundidade do livro após as negociações. As estimativas de impacto precisam ser coerentes com as premissas sobre a dinâmica dos preços. A pesquisa de Gatheral sobre ausência de arbitragem dinâmica mostra que modelar impacto exige atenção à relação entre sua forma e a dinâmica dos preços, e não apenas ajustar localmente uma curva aos dados (pesquisa de Gatheral).

Se as condições mudam durante a execução, um cronograma adaptativo ou um modelo que inclua volume, alpha e estado do mercado pode responder a outra pergunta. Isso não é um ajuste automático de um único λ; altera o modelo e os dados necessários.

Almgren–Chriss é um modelo de decisão ex ante: escolhe um cronograma com base em uma função de custo e risco e em seus parâmetros. VWAP e TWAP podem se referir a benchmarks de preço ou a cronogramas de execução que seguem volume ou tempo; o nome, por si só, não otimiza o objetivo de Almgren–Chriss. O guia sobre VWAP e TWAP explica a diferença entre benchmark e cronograma.

Depois da negociação, o implementation shortfall mede o custo em relação ao preço da decisão ou da chegada, conforme uma convenção definida. Essa é uma avaliação ex post, não a mesma trajetória deste modelo. O guia sobre implementation shortfall explica preço de decisão, quantidade não executada e custos explícitos. Para entender como o desequilíbrio no livro de ofertas se relaciona com a liquidez de curto prazo, consulte o guia sobre order-flow imbalance.

Antes de ler a saída do modelo, confirme se X está expresso em ações, contratos ou valor financeiro; como T foi definido; e se σ e η usam unidades de tempo e preço compatíveis. Pergunte também como o modelo trata a quantidade não executada, custos fixos, limites de preço, spread e execuções parciais.

Verifique se o cronograma é calculado uma vez ou pode ser atualizado quando volatilidade, liquidez ou volume mudam. Se o resultado for chamado apenas de “ótimo”, procure a função objetivo, os parâmetros, as restrições e a definição de custo que fundamentam esse rótulo. Ótimo só faz sentido em relação a essas escolhas.