Duże odchylenia i uśmiech opcji — wyjaśnienie

Centralne twierdzenie graniczne opisuje typowe wahania wokół średniej, zwykle w skali pierwiastka kwadratowego

Teoria dużych odchyleń pyta natomiast, jak kurczy się prawdopodobieństwo odległego zbioru, gdy parametr skali staje się ekstremalny

Jest użyteczna, gdy wypłata opcji koncentruje się na wynikach zbyt rzadkich, aby dobrze opisało je lokalne przybliżenie gaussowskie

Dla zmiennych X_ε o szybkości a_ε dążącej do nieskończoności skrót P(X_ε∈A)≈exp[−a_ε inf_{x∈A}I(x)] oddaje główną ideę

Formalna zasada daje osobne ograniczenia dolne i górne dla zbiorów otwartych i domkniętych, a nie dokładną równość dla każdego zdarzenia

Funkcja szybkości I jest nieujemna i zwykle znika w stanach typowych; dobra funkcja szybkości ma zwarte poziomice

Przy warunkach Gärtnera-Ellisa graniczna skalowana funkcja generująca kumulanty Λ(θ) może dać I(x)=sup_θ{θx−Λ(θ)}

Transformata Legendre’a-Fenchela wybiera wykładnicze przechylenie, które sprawia, że rzadki punkt końcowy staje się typowy pod zmienioną miarą

Wniosek wymaga sprawdzenia dziedziny, różniczkowalności i stromości; skończona transformata w kilku wartościach θ nie wystarcza

Opcja out-of-the-money wypłaca dopiero powyżej strike'a, więc jej wiodąca cena może być wyznaczona przez stan lub ścieżkę o najmniejszym koszcie dotarcia do obszaru wypłaty

Zasada kontrakcji przenosi funkcję szybkości przez odwzorowania, takie jak reguła mapująca ścieżkę na cenę końcową albo agregacja koszyka

Po dopasowaniu asymptotyki opcji do ceny referencyjnej można wyprowadzić wiodące zachowanie zmienności implikowanej dla tej samej skali

Mała zapadalność, mały szum zmienności, duża zapadalność i ekstremalny strike to różne granice, które mogą prowadzić do różnych funkcji szybkości

Wzór dowiedziony przy stałym log-moneyness, gdy zapadalność maleje, nie musi działać, gdy strike również zmienia się wraz z zapadalnością

Wiodący rząd wykładniczy nie określa czynnika przedwykładniczego, krzywizny dla skończonej zapadalności ani szybkości zbliżania się kwotowanego uśmiechu do granicy

Asymptotyczny uśmiech może nadal naruszać monotoniczność ceny calla, wypukłość względem strike'a, porządek kalendarzowy lub ograniczenia cen, gdy użyje się go poza dziedziną

Końcowe prawo neutralne względem ryzyka musi również zachowywać warunek martyngału aktywa zdyskontowanego, którego wygodne przybliżenie ogona może nie uwzględniać

Używaj teorii jako ograniczenia strukturalnego lub wskazówki ekstrapolacji, a następnie wymuszaj statyczny brak arbitrażu na pełnej powierzchni cen

Oszacuj logarytmy prawdopodobieństw lub ceny opcji dla kilku wartości ε albo zapadalności i sprawdź, czy nachylenia stabilizują się przy przewidzianej szybkości

Porównuj z cenami Monte Carlo, transformacyjnymi lub PDE tam, gdzie to możliwe, także w pobliżu granicy między obszarem centralnym i rzadkich zdarzeń

Przy każdej implementacji zapisuj skalowanie, miarę, zmienną stanu, dziedzinę funkcji szybkości, sposób traktowania czynnika przedwykładniczego i kontrole arbitrażu