DCC-GARCH: jak szacować zmienne w czasie korelacje między aktywami

Macierz kowariancji to więcej niż zestawienie długookresowych zależności. W danym momencie decyzyjnym inwestor może potrzebować warunkowej wariancji każdej stopy zwrotu oraz warunkowej kowariancji każdej pary aktywów, przy uwzględnieniu informacji dostępnych do tej chwili. Jeśli zmienność i współruchy zmieniają się w czasie, jedna macierz oszacowana na całej próbie uśrednia spokojne okresy, okresy napięć i możliwe zmiany strukturalne.

DCC-GARCH pozwala zmieniać warunkową macierz korelacji, zachowując zwięzłą postać modelu. W artykule z 2002 r. Robert Engle zaproponował specyfikację dynamicznej korelacji warunkowej łączącą modele zmienności jednowymiarowej z oszczędną w parametry rekurencją korelacji (Engle, 2002). Rozwiązuje to praktyczny problem skalowania: w pełni nieograniczony model kowariancji wymagałby coraz większej liczby parametrów wraz ze wzrostem liczby aktywów.

Metoda jest przydatna, gdy pytanie dotyczy zmian zależności warunkowej po uwzględnieniu zmiennej zmienności każdej serii. Nie wyjaśnia, dlaczego aktywa poruszają się wspólnie. Wprowadzenie do zmiennej wariancji pojedynczej serii zawiera przewodnik po klastrowaniu zmienności i GARCH. O korelacjach par walutowych i ograniczeniach ich interpretowania jako wspólnej ekspozycji piszemy w przewodniku po korelacji par forex.

Niech \(r_t\) oznacza wektor stóp zwrotu dla \(N\) aktywów, a \(\mu_t\) ich średnią warunkową. Innowację definiujemy jako \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC rozkłada warunkową macierz kowariancji następująco:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

gdzie \(\mathcal{F}_{t-1}\) to informacje dostępne przed obserwacją w chwili \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) zawiera warunkowe odchylenia standardowe, a \(R_t\) jest warunkową macierzą korelacji.

Każdą \(\sigma_{i,t}^2\) można modelować równaniem z rodziny jednowymiarowych modeli GARCH, na przykład:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Model marginalny odpowiada na pytanie, jak skala innowacji aktywa \(i\) zmienia się pod wpływem jego własnej historii. Nie oznacza to, że zmienia się też korelacja z aktywem \(j\). Z kolei zmiana \(R_t\) sama w sobie nie wskazuje, że zmienność któregokolwiek z tych aktywów rośnie.

Kowariancja łączy oba efekty:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

Kowariancja może wzrosnąć z powodu wzrostu zmienności marginalnej jednego lub obu aktywów, nawet gdy \(\rho_{ij,t}\) się nie zmienia. DCC próbuje osobno oszacować zmianę w czasie pozostałej korelacji warunkowej po wydzieleniu zmienności marginalnej. To główna różnica względem niezależnego dopasowywania modeli GARCH i późniejszego traktowania surowej kowariancji stóp zwrotu jako stałej.

Po oszacowaniu średnich warunkowych i wariancji marginalnych oblicza się standaryzowane innowacje:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Jeśli modele marginalne są odpowiednie, warunkowa wariancja każdego składnika \(z_t\) powinna wynosić w przybliżeniu jeden. Składniki nadal mogą być współzależne w tym samym momencie, a ich wspólny wzorzec służy do aktualizacji korelacji. Standaryzacja sprawia, że duży surowy ruch aktywa o naturalnie wysokiej zmienności nie jest automatycznie uznawany za silniejszy dowód zależności niż porównywalny standaryzowany szok w innym aktywie.

W praktyce standaryzowane reszty są wielkościami oszacowanymi, a nie bezpośrednio obserwowaną prawdą. Niedopasowany model średniej może pozostawić w \(\epsilon_t\) przewidywalną strukturę, a niedopasowany model zmienności może pozostawić zmienną skalę w \(z_t\). Etap korelacji może przejąć oba problemy i zniekształcić \(R_t\). Na reszty przekazywane do rekurencji wpływają także grube ogony, obserwacje odstające, brakujące daty, niespójne godziny handlu, zdarzenia korporacyjne i nieaktualne ceny.

Engle i Sheppard opisują podejście dwuetapowe: najpierw estymuje się jednowymiarowe modele GARCH, a następnie parametry korelacji na podstawie standaryzowanych reszt (Engle i Sheppard, 2001). Oddzielna estymacja modeli marginalnych zwiększa praktyczność DCC. Oznacza też, że wynik korelacji z drugiego etapu należy interpretować warunkowo względem specyfikacji z pierwszego etapu i dokładnego wyrównania szeregów wejściowych.

Standardowa rekurencja DCC najpierw aktualizuje pomocniczą macierz dodatnio określoną \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

\(\bar Q\) jest długookresową macierzą standaryzowanych innowacji, \(a\) określa wpływ niedawnych współruchów na aktualizację, a \(b\) odpowiada za trwałość wynikającą z poprzedniej wartości \(Q\). W typowej skalarnej specyfikacji DCC nieujemne \(a\) i \(b\) spełniające \(a+b<1\), wraz z dodatnio określoną \(\bar Q\) i inicjalizacją, zachowują dodatnią określoność standardowej rekurencji. Ścisła stacjonarność i poprawność wnioskowania nadal zależą od całego modelu i jego założeń. Ograniczenia te dotyczą wybranej specyfikacji i nie stanowią uniwersalnej gwarancji dla wszystkich wariantów.

Elementy diagonalne \(Q_t\) na ogół nie są równe jeden, więc \(Q_t\) zwykle nie jest macierzą korelacji. Przyjmij \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), a następnie znormalizuj:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Wynik ma jedynki na przekątnej i bezwymiarowe korelacje warunkowe poza nią. Warunkowa kowariancja wynika z \(H_t=D_tR_tD_t\). Rozróżnienie \(Q_t\), \(R_t\) i \(H_t\) pozwala uniknąć częstego błędu interpretacyjnego: rekurencja aktualizuje pomocniczą macierz zależności, normalizacja daje korelacje, a marginalne odchylenia standardowe przywracają skalę stóp zwrotu aktywów. Normalizacja jest kluczowym elementem metody opisanej przez Engle’a (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Ilustracja pojęciowa bez tekstu: strumienie stóp zwrotu o odmiennych pasmach zmienności łączą się we wspólne, płynnie zmieniające się pasmo zależności; to nie są dane rynkowe ani prognoza. -->

W typowej implementacji dwuetapowej najpierw dopasowuje się średnią warunkową i wariancję z rodziny jednowymiarowych modeli GARCH dla każdego aktywa. Następnie oblicza się \(z_t\) i estymuje parametry DCC na podstawie części korelacyjnej funkcji wiarygodności lub quasi-wiarygodności. W pierwszym etapie można użyć wiarygodności Gaussowskiej nawet wtedy, gdy stopy zwrotu nie mają rozkładu normalnego; przy odpowiednich warunkach regularności może ona pełnić rolę quasi-maksymalnej wiarygodności. Błędy standardowe i wnioskowanie muszą jednak odpowiadać faktycznemu estymatorowi oraz założeniom.

Podział jest obliczeniowo atrakcyjny w porównaniu z estymacją całego nieograniczonego systemu wielowymiarowego GARCH. Tworzy jednak zależności między etapami: niepewność parametrów marginalnych wpływa na standaryzowane reszty, a przez nie na estymację z drugiego etapu. Oszacowania \(a\) lub \(b\) nie są bezpośrednim pomiarem niezmiennej stałej rynkowej. Ich interpretacja zależy od próby, modeli marginalnych, inicjalizacji, założeń o rozkładzie i stabilności dynamiki korelacji.

Długookresowe wejście \(\bar Q\) często opiera się na macierzy kowariancji próbkowej standaryzowanych reszt, lecz dokładne definicje i poprawki są różne. Implementacja powinna opisać sposób szacowania \(\bar Q\), inicjalizacji \(Q_0\), obsługi brakujących obserwacji, nakładania ograniczeń i obliczania funkcji wiarygodności. Optymalizacja blisko \(a+b=1\), prawie osobliwa \(\bar Q\) lub zbyt duży zbiór aktywów mogą powodować niestabilność numeryczną. Warto raportować diagnostykę zbieżności i badać wrażliwość na rozsądne alternatywne modele marginalne oraz okna estymacji.

W przypadku transakcji o nieregularnych znacznikach czasu zsynchronizowane stopy zwrotu standardowego DCC mogą być nieodpowiednie bez przemyślanego projektu próbkowania. Do obsługi asynchronicznych obserwacji może być potrzebny inny estymator; zobacz przewodnik po kowariancji Hayashiego–Yoshidy. Kurczenie zaszumionego celu kowariancji, opisane w przewodniku po kurczeniu kowariancji Ledoit–Wolf, to również osobny etap, którego nie należy utożsamiać z dynamiczną rekurencją korelacji DCC.

Rozważmy dwie standaryzowane innowacje i wymyśloną aktualizację DCC. Przyjmijmy \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\) oraz \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Te wartości wymyślono wyłącznie w celu pokazania rachunku; nie są oszacowaniami z danych rynkowych. Aktualizacja elementu pozadiagonalnego wynosi

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Załóżmy, że wymyślone wartości diagonalne to \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) oraz \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). Ta sama rekurencja daje

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

Znormalizowana korelacja wynosi więc

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

Pomocniczy element pozadiagonalny wzrósł z 0,30 do 0,35, a raportowana korelacja wynosi około 0,34, ponieważ zmieniła się również przekątna \(Q_t\). Podanie \(q_{12,t}=0.35\) jako korelacji pomija normalizację. Obliczenie pokazuje jeden krok rekurencji; nie mówi nic o istotności statystycznej, przyszłej trwałości, optymalnych wagach portfela ani wartości transakcyjnej.

Standardowy DCC jest oszczędny, ponieważ te same skalarne parametry reakcji i trwałości stosuje się zwykle do wszystkich par. Może to pomagać przy dużej liczbie aktywów, ale stanowi zbyt mocne ograniczenie, gdy poszczególne pary dostosowują się w różnym tempie. Pod nazwą DCC mogą też kryć się różne parametryzacje, ograniczenia, metody estymacji lub konwencje inicjalizacji, dlatego należy wskazać konkretną wersję.

Badanie Aielliego nad skorygowanym DCC pokazuje, że konwencjonalny estymator DCC i interpretacja jego parametrów korelacji mogą sprawiać problemy przy dużym wymiarze przekrojowym; autor proponuje cDCC ze zmodyfikowaną rekurencją (Aielli, 2013). cDCC to nie tylko inna nazwa standardowego DCC. To rozróżnienie jest szczególnie ważne przy rozszerzaniu systemu na wiele aktywów lub strukturalnej interpretacji oszacowanych współczynników.

Asymetryczne uogólnione specyfikacje DCC odnoszą się do innego ograniczenia: dodatnie i ujemne standaryzowane szoki mogą odmiennie wpływać na przyszłe korelacje. Model AG-DCC Cappiella, Engle’a i Shepparda dopuszcza odrębne dla każdej serii parametry wpływu nowych informacji i wygładzania, a także warunkowe asymetrie korelacji (Cappiello, Engle i Sheppard, 2006). AG-DCC jest bardziej elastyczny od wspólnej skalarnej rekurencji standardowego DCC, zmieniają się więc również liczba parametrów, ograniczenia i interpretacja. Nie należy po cichu zastępować nim standardowego DCC ani zakładać jego przewagi bez oceny.

Oszacowane \(R_t\) opisuje korelacje warunkowe implikowane przez model przy wybranej częstotliwości danych, oknie próby, specyfikacji średniej, modelach zmienności marginalnej i wariancie DCC. Nie identyfikuje przyczynowego zarażania. Wzrost oszacowanej korelacji podczas spadków może wynikać ze wspólnych wiadomości, zmiany składu, płynności, błędnej specyfikacji modelu zmienności lub innych mechanizmów; samo oszacowanie ich nie rozróżnia.

Na potrzeby pomiaru ryzyka porównaj prognozę dynamicznej kowariancji z rozsądnymi punktami odniesienia, takimi jak krocząca kowariancja próbkowa lub model stałej korelacji. Przy każdym początku prognozy korzystaj wyłącznie z informacji dostępnych w tamtym momencie, zachowaj ten sam zestaw aktywów i horyzont oraz podaj funkcję straty. Jeśli wynik ma służyć do decyzji portfelowych, śledź wpływ na wagi, koncentrację, rotację, finansowanie i koszty transakcyjne. Wyższa korelacja może ograniczać dywersyfikację w konkretnym modelu ryzyka, ale nie prognozuje spadku cen obu aktywów.

Sprawdź, czy oszacowane korelacje pozostają w dopuszczalnych granicach, implikowana macierz \(R_t\) jest dodatnio określona oraz czy w marginalnych standaryzowanych resztach nie pozostała autokorelacja lub zmienna wariancja. Zbadaj wrażliwość na zestaw aktywów, inicjalizację, obserwacje odstające, okno i wariant modelu. Trwałość bliska jedności może spowolnić reakcję na zmianę strukturalną, a gładka rekurencja może nie nadążyć za nagłą zmianą reżimu. Przy wielu porównywanych parach lub wariantach określ kryteria wyboru i zachowaj porównania poza próbą, by nie wybierać wyłącznie korzystnych wyników.

DCC-GARCH najlepiej rozumieć jako zwięzły model kowariancji warunkowej: równania marginalne szacują zmienne skale, rekurencja zależności śledzi współruchy standaryzowanych innowacji, a normalizacja przekształca macierz pomocniczą w korelacje. Oszacowana macierz może wspierać analizę ryzyka, jeśli założenia są jawne, a prognozy podlegają ocenie. Sama nie dowodzi stabilności zabezpieczenia, nie wyjaśnia przyczyny szoku ani nie potwierdza rentowności strategii.