Gerealiseerde semivariantie: opwaartse en neerwaartse volatiliteit meten

Voor intraday-logrendementen \(r_i\) die binnen één vaste periode worden waargenomen, is gerealiseerde variantie de som van de gekwadrateerde rendementen, \(RV=\sum_i r_i^2\). Door het kwadrateren worden zowel stijgingen als dalingen positief en wegen grote bewegingen zwaarder. De statistiek meet de variatie die zich binnen de periode heeft opgebouwd, maar laat niet zien of die variatie uit opwaartse of neerwaartse bewegingen kwam.

Gerealiseerde semivariantie behoudt het teken voordat het rendement wordt gekwadrateerd. De positieve component telt de kwadraten van rendementen boven nul op; de negatieve component doet dat voor rendementen onder nul. Bij dezelfde waarnemingen en conventies is hun som gelijk aan de gerealiseerde variantie. Een rendement van nul draagt aan geen van beide bij. Dit is een boekhoudkundige identiteit en geen bewijs dat beide kanten afzonderlijke causale risicobronnen zijn.

De tekenindeling is nuttig bij onderzoeksvragen over richtingsvariatie, bijvoorbeeld of variatie in eerdere negatieve rendementen andere informatie bevat over toekomstige volatiliteit dan variatie in positieve rendementen. Barndorff-Nielsen, Kinnebrock en Shephard introduceerden gerealiseerde semivariantie als hoogfrequente maatstaf voor neerwaartse variatie. Hun werkdocument beschrijft de relatie met kwadratische variatie en negatieve sprongen.

Voor rendementen \(r_1,\ldots,r_n\) definiëren we

\[ RS^+ = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i>0), \qquad RS^- = \sum_{i=1}^{n} r_i^2\mathbf{1}(r_i<0), \]

waarbij \(\mathbf{1}(\cdot)\) één is als de voorwaarde klopt en anders nul. Dan geldt

\[ RV = \sum_{i=1}^{n}r_i^2 = RS^+ + RS^-. \]

Sommige artikelen gebruiken andere labels of superscripten. Vermeld daarom in een rapport welke term naar positieve en welke naar negatieve rendementen verwijst. De formule hierboven gebruikt niet-gecentreerde rendementen met nul als grens: het steekproefgemiddelde, een doelrendement en de risicovrije rente worden niet afgetrokken. Een steekproefsemivariantie rond een doel of gemiddelde is een andere statistiek.

De eenheden zijn rendementseenheden in het kwadraat. Bij rendementen in basispunten zijn de componenten uitgedrukt in bp²; bij decimale logrendementen in decimale rendementen in het kwadraat. Omrekening van procenten naar basispunten vermenigvuldigt de numerieke waarde van de kwadratische maat met 10.000. Vermeld daarom altijd de eenheid.

Stel dat een hypothetische sessie zes rendementen in basispunten heeft:

\[ (2,-1,3,-4,0,-2)\;\text{bp}. \]

De positieve rendementen dragen \(2^2+3^2=13\,\text{bp}^2\) bij. De negatieve rendementen dragen \((-1)^2+(-4)^2+(-2)^2=21\,\text{bp}^2\) bij. Het rendement van nul draagt niets bij. De totale gerealiseerde variantie is dus

\[ RV=13+21=34\,\text{bp}^2. \]

In dit kleine voorbeeld is het negatieve aandeel \(21/34\), ongeveer 61,8%, en het positieve aandeel ongeveer 38,2%. Het zijn aandelen van deze verzonnen som, geen kansen op toekomstig verlies of stabiele schattingen van langetermijnasymmetrie. Zes rendementen zijn veel te weinig voor inferentie. Het voorbeeld controleert alleen de definities en rekenstappen.

De uitleg over gerealiseerde volatiliteit behandelt de ongesplitste som van gekwadrateerde rendementen. De uitleg over bipower variation beantwoordt een andere vraag: hoe continue variatie te schatten wanneer er mogelijk zeldzame sprongen zijn. Richtingssemivariantie en sprongrobuuste variatie kunnen samen worden onderzocht, maar de ene vervangt de andere niet.

Als de latente logprijs een continue semimartingaal volgt en de steekproeffrequentie onder de toepasselijke reguliere voorwaarden steeds hoger wordt, convergeren positieve en negatieve rendementsemivariantie elk naar de helft van de continue kwadratische variatie. In dat geval kunnen de steekproeftotalen per teken verschillen, ook als de onderliggende continue variatie geen blijvend richtingsverschil heeft. Ook de willekeurigheid van de steekproef speelt mee.

Bij sprongen wordt de gekwadrateerde spronggrootte op basis van het teken aan de positieve of negatieve component toegewezen. Zo blijft informatie behouden die totale gerealiseerde variantie weglaat. Dat betekent niet dat ieder negatief rendement een sprong is of dat ieder positief rendement onschadelijk is: zowel een grote continue beweging als een sprong kan een groot gekwadrateerd rendement opleveren. Het teken classificeert de waargenomen verandering, niet de economische oorzaak.

De conceptuele afbeelding hieronder verdeelt positieve en negatieve incrementele bewegingen over twee visuele groepen. Het is geen grafiek van gegevens of testresultaat en beweert niet dat het onderliggende proces een blijvende richtingsbias heeft.

<!-- learn:illustration --> <!-- Text-free concept: positive and negative return increments feed separate collections of squared-magnitude tiles, while their combined area echoes total realized variation. No measured data or market direction is implied. -->

Gerealiseerde semivarianties kunnen als afzonderlijke voorspellers in een model voor toekomstige volatiliteit worden opgenomen. In hun onderzoek naar de S&P 500 en individuele aandelen rapporteerden Patton en Sheppard dat eerdere variatie in negatieve rendementen in hun steekproeven en specificaties sterker samenhing met toekomstige volatiliteit dan variatie in positieve rendementen. Dat is een empirische bevinding voor hun onderzoeksopzet, geen algemene marktregel en geen garantie dat een nieuwe strategie goed voorspelt.

Voor een voorspellingsclaim moeten het doel en de horizon worden vastgelegd, moet een passende benchmark worden gekozen en moet buiten de steekproef worden geëvalueerd. Het verschil tussen \(RS^-\) en \(RS^+\) op één dag is beschrijvend en bewijst geen voorspellend vermogen. In de regressie kunnen ook volatiliteitspersistentie, overlappende horizonten, parameteronzekerheid en dataselectie relevant zijn. Beoordeel voorspellingsfouten met een verliesfunctie die past bij de beslissing.

Als multivariate uitbreiding ontwikkelden Bollerslev, Li, Patton en Quaedvlieg gerealiseerde semico-varianties die de gerealiseerde covariantie opsplitsen op basis van de tekens van paren hoogfrequente rendementen. Hun artikel in Econometrica laat zien waarom componenten met gelijke en gemengde tekens verschillende informatie kunnen bevatten. De univariate splitsing in positief en negatief is eenvoudiger en mag niet worden voorgesteld als een volledige covariantie- of portefeuillerisicosplitsing.

De term “neerwaartse semivariantie” wordt voor meerdere definities gebruikt. De gerealiseerde maatstaf hier kwadrateert hoogfrequente rendementen onder nul. Een doelgebaseerde neerwaartse maatstaf kwadrateert rendementen onder een gekozen drempel, vaak een doelrendement of minimaal aanvaardbaar rendement. Een steekproefberekening kan waarnemingen ook rond het gemiddelde centreren. Deze definities beantwoorden verschillende vragen en kunnen voor dezelfde rendementsreeks andere uitkomsten geven.

Geen van beide gerealiseerde semivarianties is Value-at-Risk of Expected Shortfall. VaR beschrijft een kwantiel van een gespecificeerde verliesverdeling en horizon; Expected Shortfall vat verliezen voorbij een kwantiel samen volgens een vermelde conventie. De som van gekwadrateerde negatieve intraday-rendementen heeft geen van die interpretaties. Ook meet zij drawdown niet volledig, omdat drawdown afhangt van de volgorde en het pad van rendementen.

Als een grafiek of model \(RS^-\) “neerwaarts risico” noemt, definieer die term direct: zeg of rendementen ten opzichte van nul of een doel zijn gemeten, welke steekproeffrequentie is gebruikt en of het om een intervalmaat, voorspeller of portefeuillerisicomaat gaat. De GARCH-uitleg over volatiliteit bespreekt dynamiek in de conditionele variantie; gerealiseerde semivariantie is een richtingsgevoelige hoogfrequente meting die als invoer kan worden onderzocht.

De tekenindeling hangt af van de waargenomen rendementsreeks. Vaker bemonsteren kan bid-ask-bounce, prijsdiscretisatie, verouderde koersen en tijdstempelfouten toevoegen. Een kleine geregistreerde prijsverandering kan van teken veranderen als de prijsproxy of steekproefgrid wijzigt. Microstructuurruis kan daardoor zowel de gekwadrateerde grootte als de component waarin een rendement terechtkomt beïnvloeden. De identiteit \(RV=RS^++RS^-\) blijft voor die reeks gelden, maar valideert het steekproefontwerp niet.

Leg voor een robuuste vergelijking het prijsveld, de steekproefinterval, sessiegrenzen, behandeling van nulrendementen, uitschieterregels en eventuele synchronisatie tussen activa vast. Controleer de gevoeligheid voor verdedigbare steekproefkeuzes. Als sprongidentificatie of robuustheid tegen ruis centraal staat, gebruik dan een schatter of toets die voor dat doel is ontworpen in plaats van de tekenindeling als correctie te zien. De uitleg over two-scale gerealiseerde volatiliteit beschrijft een andere ruiscorrectie.

Statistische inferentie vraagt ook om een passende steekproefverdeling of hersamplingopzet. De positieve en negatieve componenten komen uit hetzelfde pad en kunnen afhankelijk zijn. Overlappende vensters kunnen die afhankelijkheid vergroten. Betrouwbaarheidsintervallen en voorspellingsvergelijkingen moeten hiermee rekening houden; twee puntschattingen vergelijken test niet of hun voorspellende rollen verschillen.

Een helder rapport vermeldt de rendementsreeks van het actief of de portefeuille, de observatieperiode, rendementsdefinitie, steekproefgrid en eenheden. Geef de formules voor \(RS^+\) en \(RS^-\), controleer dat de som de gerealiseerde variantie oplevert en leg uit hoe nul- en ontbrekende waarnemingen zijn behandeld. Vermeld bij gebruik in een voorspellingsmodel ook de horizon, benchmark, evaluatieperiode en verliesfunctie.

Zet gerealiseerde semivariantie niet rechtstreeks om in geannualiseerde volatiliteit zonder de aggregatieaannames te noemen. Dagelijkse semivarianties kunnen volgens een gekozen conventie worden opgeteld tot een beschrijvend jaartotaal, maar de wortel daarvan is niet automatisch een neerwaartse standaarddeviatie met een bekende verdeling. Annualiseren herstelt geen vertekende prijsinputs, schaarse steekproeven of selectie-effecten.

Het belangrijkste gebruik is gedisciplineerde meting: behoud de richting van ieder waargenomen rendement en gebruik tegelijk de kwadratische weging van gerealiseerde variatie. De uitkomst kan een patroon tonen dat verder onderzoek verdient. Zij identificeert op zichzelf niet de oorzaak, meet geen staartkans en maakt van historische asymmetrie geen handelssignaal.