Mincer–Zarnowitz 회귀: 예측 편향과 보정 검정

트레이딩 모형이 다음 기간 수익률을 예측하거나, 경제학자가 다음 분기 성장률을 예상한다고 해보겠습니다. 평가 표본에서 예측 오차의 평균이 0일 수 있습니다. 이는 한쪽 방향의 과대·과소 예측이 계속되는 문제를 의심하기 어렵게 하는 단서입니다. 그렇다고 예측값이 나중에 실현된 값과 일대일로 맞물린다는 뜻은 아닙니다. 예측의 변동 폭이 너무 크거나 작을 수 있고, 일정한 수준만큼 밀려 있을 수도 있습니다. 이때 양수와 음수 오차가 서로 상쇄되면 평균은 0이 됩니다.

MZ 회귀는 실현값을 예측값에 회귀해 이 두 번째 질문을 드러냅니다. Mincer와 Zarnowitz는 경제예측을 평가하면서 이 틀을 제시했습니다(1969년 논문). 이 방법은 수치형 목표변수의 점예측, 특히 제곱오차를 기준으로 조건부 평균을 예측하는 경우를 위한 진단입니다. 두 모형 중 평균 손실이 낮은 쪽을 비교하는 방법은 아닙니다. 그 질문은 Diebold–Mariano 안내에서 다룹니다.

트레이딩 연구에서도 이 차이는 중요합니다. 수익률 예측의 평균 편향이 작아도 예측 변동 폭은 잘못 조정됐을 수 있고, 변동성 예측은 낮은 구간에서 과소 추정하고 높은 구간에서 과대 추정할 수도 있습니다. MZ 회귀는 선형 관계의 불일치를 찾지만, 결과는 평가 표본, 목표변수의 정의, 정보가 이용 가능했던 시점, 추론 방법에 달려 있습니다. 이 검정만으로 예측을 수익성 있는 거래규칙으로 바꿀 수 있다고 결론 내릴 수는 없습니다.

각 예측 원점 \(t\)에서 고정 예측 기간 \(h\)에 대해 그 시점에 발표한 예측 \(f_{t+h\mid t}\)과 이후 실현된 목표값 \(y_{t+h}\)을 짝지으세요. 아래 식은 표기를 간단히 하려고 이렇게 맞춘 관측값을 \((f_t,y_t)\)로 씁니다. 여기서 아래첨자 \(t\)는 예측 쌍을 가리키며, 예측은 그보다 앞선 정보 마감 시점에 만들어졌습니다. 두 값은 같은 변수, 예측기간, 단위, 시각 규칙을 가리켜야 합니다. 예를 들어 5일 수익률을 예측한 값에 하루 수익률 실현값을 대응시키면, 회귀는 처음 의도한 예측의 보정 여부를 묻지 못합니다.

각 예측 원점에 실제로 이용 가능했던 예측을 사용합니다. 예측값, 모형 버전, 데이터 빈티지, 정보 마감시각을 보존해야 합니다. 거시지표는 첫 발표치가 나중에 개정될 수 있습니다. 첫 발표치를 기준으로 보정 여부를 평가할지, 나중에 확정된 값으로 평가할지 정하고 그대로 기록합니다. 개정된 입력을 과거 시점에 알 수 있었던 자료처럼 바꾸면 원래 예측자가 이용할 수 없던 정보를 평가에 넣을 수 있습니다.

거래 자료에서는 종가 대 종가, 장중, 야간 수익률의 구성도 일관되게 맞춥니다. 여러 기간을 겹쳐 예측하면 인접한 예측 오차가 서로 의존하게 됩니다. 공통 평가 표본도 중요합니다. 변동성이 큰 날짜에 한 모형만 예측값이 빠져 있다면, 날짜 구성이 달라서 생긴 차이를 보정 문제처럼 오해할 수 있습니다. 평가하는 예측열에는 같은 목표변수와 예측 원점 일정을 적용해야 합니다.

모형의 적합값과 실제로 생성한 예측값을 구분합니다. MZ 회귀에 쓰는 관측값으로 예측 모형까지 추정했다면 표본 내 적합이 보정된 것처럼 보이게 할 수 있습니다. 미래 예측을 평가하려면 시간순 표본외 예측을 만들고, 각 원점에서 그때 알 수 있었던 정보만으로 모형을 다시 추정해야 합니다. 모형이나 임계값 선택에 사용하지 않은 확인용 기간도 남겨 둡니다.

기본 수준 회귀식은 다음과 같습니다.

yₜ = α + β fₜ + uₜ

(yₜ)는 실현된 목표값, (fₜ)는 예측값, (uₜ)는 회귀 잔차입니다. 널리 쓰이는 공동 보정 제한은 다음과 같습니다.

H₀: α = 0 그리고 β = 1

두 제한이 모두 성립하면 실현값과 예측값의 선형 관계가 45도 기준선과 일치합니다. 일정한 가감이 필요하지 않고, 예측이 한 단위 움직일 때 적합된 실현값도 한 단위 움직입니다. 회귀를 추정한 뒤 표본 설계에 맞는 공분산 추정량으로 Wald 또는 이에 해당하는 F 검정을 해 두 제한을 함께 확인합니다. 절편과 기울기를 따로 검정하는 것과 둘의 공동 제한을 검정하는 것은 다릅니다.

회귀 잔차 (uₜ)가 원래 예측 오차 (yₜ − fₜ)와 항상 같은 것은 아닙니다. 공동 귀무가설 아래에서는 같지만, 가설에서 벗어나면 추정된 절편과 기울기가 선형 이동과 재조정을 흡수합니다. 평균적으로 예측이 얼마나 빗나갔는지와 보정 관계를 함께 볼 수 있도록 원래 예측 오차도 회귀계수와 나란히 보고합니다.

이 MZ 제한은 예측 불편성 또는 합리성 검정이라고 불리기도 합니다. 다만 어떤 정의를 쓰는지 구분해야 합니다. 평균적인 무조건부 예측 오차가 0이라는 조건은 (E[yₜ − fₜ] = 0)입니다. 절편과 기울기를 각각 (0, 1)로 제한하면 특정한 선형 관계까지 요구하므로 일반적으로 더 강한 조건입니다. Holden과 Peel은 자신들의 정식화에서 전통적인 공동 제한이 예측 불편성의 충분조건이지만 필요조건은 아님을 보였습니다(1990년 논문). 시험한 제한을 밝히지 않은 채 ‘불편’과 ‘MZ 보정’을 같은 뜻으로 쓰지 않습니다.

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다음 세 예측값과 이후 실현값을 가정해 보겠습니다.

예측값의 평균은 2, 실현값 평균도 2이며 평균 예측 오차는 0입니다. 그런데 각 값은 (yₜ = 1 + 0.5 fₜ) 관계에 있으므로 MZ 회귀의 절편은 (α = 1), 기울기는 (β = 0.5)이고 귀무가설의 (0, 1)과 다릅니다. 오차는 평균에서 상쇄되지만, 이 가상 자료에서 실현값은 예측값이 움직이는 폭의 절반만큼만 움직입니다. 따라서 선형 보정 제한은 맞지 않습니다.

이 숫자는 산술을 설명하기 위해 구성한 예시이지 시장자료나 추론에 쓸 표본이 아닙니다. 잡음이 전혀 없는 세 점만으로 의미 있는 p값을 계산하거나 실제 예측 체계의 실패를 주장할 수 없습니다. 실제 표본의 공동 검정은 추정 불확실성을 반영합니다. 계수 차이가 커도 추정이 부정확할 수 있고, 관측값이 충분하면 작은 차이도 정확히 추정될 수 있습니다. 이 예시는 평균 오차와 MZ 제한이 서로 다른 질문이라는 점만 보여 줍니다.

(1 + 0.5 fₜ)처럼 보정한 값은 세 관측값으로 만든 회귀식이므로 이 예시의 실현값을 정확히 재현합니다. 그렇다고 다음 기간에도 잘 맞는 것은 아닙니다. 보정을 예측 절차에 넣으려면 과거 학습 구간에서 계수를 추정한 뒤, 계수를 결정하는 데 쓰지 않은 이후 자료로 조정된 예측을 평가합니다.

절편 (α)는 예측값이 0일 때 적합된 실현값입니다. 따라서 0이 예측 범위 안에 있거나 가까운지에 따라 실용적 의미가 달라집니다. 기울기 (β)는 예측값에 따라 적합된 실현값이 얼마나 크게 바뀌는지를 나타냅니다. 절편을 고려했을 때 기울기가 1보다 작으면 예측값이 움직이는 폭이 실현값보다 크고, 1보다 크면 적합된 실현값이 더 크게 움직입니다. 다른 계수도 함께 자유롭게 추정한다면 하나의 계수만으로 관계 전체를 설명할 수 없습니다.

높은 (R²)가 보정을 증명하지는 않습니다. 잡음 없이 (yₜ = 2 + 1.1 fₜ) 관계를 이루는 가상 자료의 (R²)는 1이지만, 절편과 기울기는 MZ 귀무가설에 맞지 않습니다. (R²)는 선형 회귀가 설명하는 변동의 비율을 요약하고, 공동 검정은 그 회귀선이 45도 기준선과 같은지를 묻습니다. 반대로 자료에 잡음이 많으면 공동 제한을 기각하지 않더라도 (R²)가 낮을 수 있습니다. 보정과 정밀도는 관련은 있지만 다른 속성입니다.

개별 t 통계량만 보고 보정 결과를 추론하지 않습니다. 절편과 기울기 추정치는 서로 상관될 수 있으므로 공동 Wald/F 통계량은 둘의 공분산을 사용합니다. (α), (β), 각 계수의 불확실성, 공동 통계량과 p값, 표본 수, 원래 예측 오차의 평균을 보고합니다. 필요하면 45도 선과 함께 산점도나 구간별 평균을 그리되, 자료를 본 뒤 구간을 정했다면 그 점을 밝힙니다. 선형 검정은 굽은 보정 오류, 국면 변화, 꼬리 구간의 오차를 놓칠 수 있습니다.

제곱오차 기준에서 최적 점예측은 예측자가 가진 정보집합에 조건을 둔 목표변수의 조건부 기대값입니다. 이 조건은 예측 당시 이미 알 수 있었던 정보를 사용해 이후 예측 오차를 맞힐 수 없어야 한다는 뜻을 포함합니다. MZ 회귀는 상수와 예측값 자체가 만드는 선형 관계만 점검합니다. 정보집합에 들어 있는 다른 변수가 오차를 예측하는지는 자동으로 시험하지 않습니다.

더 강한 진단에서는 사전에 정한 정보 변수 (zₜ)를 예측 오차 회귀에 추가할 수 있습니다. 예를 들어 다음과 같습니다.

yₜ − fₜ = δ₀ + δ₁ zₜ + vₜ

예측 원점에 알려진 변수가 이후 오차를 설명한다면, 예측자가 이용 가능한 정보를 충분히 반영하지 않았을 수 있습니다. 다만 변수의 시점을 정확히 맞추고 신중히 선택해야 합니다. 여러 시차, 시장 상태, 변환을 시험하면 또 다른 다중 탐색 문제가 생깁니다. 짧은 변수 목록에서 예측력을 찾지 못해도 전체 정보집합에 대한 효율성이 증명되는 것은 아닙니다.

Zarnowitz는 설문 예측을 평가하며 편향, 오차의 자기상관, 표본 크기, 검정력을 함께 다룹니다(NBER Working Paper 1070, 1983). 따라서 MZ는 선형 보정 진단 또는 약한 예측 효율성 점검으로 설명해야 합니다. 예측자가 관련 정보를 모두 최적으로 사용했다는 증명은 아닙니다. Giacomini–White 안내는 선택된 손실 모멘트에 따른 별도의 조건부 비교를 다룹니다.

예측 오차는 이분산이나 자기상관을 보일 수 있고, 롤링 방식의 다기간 예측에서는 목표기간이 겹칠 수 있습니다. 통상적인 OLS 계수 계산만으로 공동 제한의 표준오차가 타당해지는 것은 아닙니다. 예측기간, 의존 구조, 모형 추정 절차에 맞는 추론 방법을 사용하고 보고합니다. 모든 설계에 자동으로 맞는 대역폭이나 보정식은 없습니다.

추정된 예측값에는 추가 문제가 있습니다. 같은 짧은 표본으로 예측 모형을 추정하고, 보정식을 만들고, 그 보정을 다시 검정하면 보통의 회귀 불확실성이 전체 절차를 반영하지 못할 수 있습니다. 중첩 예측모형의 정확도를 비교할 때는 귀무분포가 달라질 수도 있습니다. 실제 예측 생성 절차를 다룬 결과를 적용하거나, 보정 절차를 완전히 정한 뒤 이후 홀드아웃에서 평가합니다. 여러 회귀식, 목표변수, 표본을 시험한 뒤 마지막 p값만 확증 결과로 제시하면 안 됩니다.

기각하지 못했다고 예측이 보정됐다고 증명되는 것은 아닙니다. 검정력이 낮거나 신뢰구간이 넓을 수 있습니다. 기각 결과도 목표변수, 표본, 선형식, 공분산 추정에 조건부입니다. 합리적인 평가 선택에 따라 결과가 얼마나 달라지는지 확인하되, 그 점검 내역과 사전에 정한 검정을 구분합니다. 예측값이 지속성이 크거나 평가 표본에 독립적인 국면이 몇 개 없으면 특히 중요합니다.

MZ는 예측값과 실현값의 선형 보정 제한을 검정합니다. 반면 Diebold–Mariano 검정은 정한 점수 아래 두 예측 절차의 평균 손실이 같은지를 묻습니다. 한 예측은 보정이 잘 되어도 선택한 점수에서 정확도가 낮을 수 있고, 평균 정확도는 더 높아도 MZ 보정 제한을 만족하지 않을 수 있습니다.

예측 원점에 알 수 있었던 정보에 따라 정확도가 달라지는지가 궁금하면 Giacomini–White 검정이 선택한 조건부 손실 모멘트를 평가합니다. 많은 예측이나 거래 규칙을 탐색한 뒤 후보군 전체에 대해 질문한다면 Model Confidence Set이나 White Reality Check/Hansen SPA 같은 집단 단위 절차가 다른 선택 문제를 다룹니다. 어느 방법도 목표변수와 정직한 예측 원점을 먼저 정의하는 일을 대신하지 않습니다.

기본 MZ 수준 회귀는 수치형 목표변수의 점예측에 맞습니다. 분위수, 확률, 구간, 밀도 예측에는 예측 객체에 맞춘 보정 검정과 점수함수가 필요합니다. 평균 예측에 대한 좋은 결과를 별도 근거 없이 꼬리위험 예측이나 변동성 분포로 확장해서는 안 됩니다.

예측 목표, 기간, 단위, 정보 마감시각, 평가일, 데이터 빈티지, 표본외 여부를 밝힙니다. 회귀식과 예측 오차의 정의, 검정한 제한을 정확히 적습니다. ‘불편성’이 평균 오차 0을 뜻하는지, 공동 MZ 제한 (α = 0, β = 1)을 뜻하는지도 구분합니다.

회귀계수, 표준오차 또는 신뢰구간, 공동 Wald/F 통계량, 자유도, p값, 예측 원점 수, 평균 예측 오차, (R²)를 보고하고 그 해석 범위를 설명합니다. 예측기간이 중첩되거나 오차가 시계열로 의존하면 공분산 또는 재표집 방법을 밝힙니다. 모형 추정, 보정, 선택 과정과 함께 시험한 다른 목표변수, 표본, 변환도 공개합니다.

이렇게 기록하면 독자는 평균 편향, 선형 보정, 정보 효율성, 모형 간 정확도 비교를 구분할 수 있습니다. 이는 서로 다른 경험적 주장입니다. 회귀 제한 하나를 통과해도 예측의 모든 사용 방식이 검증되는 것은 아니며, 예측 평가만으로 거래비용 차감 후 수익성이 입증되는 것도 아닙니다.