회귀 안정성과 구조 변화를 보는 CUSUM 검정

긴 표본 전체에서 적합한 회귀식이 그럴듯해 보여도 중간에 관계가 바뀌었을 수 있습니다. 한 시기의 양의 예측오차와 나중 시기의 음의 예측오차가 일반적인 전체 표본 요약에서는 서로 상쇄되기도 합니다. 회귀 CUSUM 검정은 시간 순서를 보존합니다. 재귀 예측오차를 누적해 계수가 안정적일 때 예상되는 경로에서 얼마나 멀리 움직였는지 확인합니다.

Brown, Durbin, Evans는 재귀 잔차를 이용한 회귀 안정성 도구를 개발했으며, 그중에는 CUSUM과 제곱 CUSUM이 있습니다. 이 검정은 모형 가정 아래 회귀 관계가 표본 기간 내내 일정하다는 설명이 자료와 맞는지 다룹니다. 변화가 왜 생겼는지는 설명하지 않습니다. 별도로 정한 목표 평균에서 벗어난 값을 누적하는 산업 공정관리 CUSUM 규칙과도 구분해야 합니다.

이 글은 Brown–Durbin–Evans 회귀 CUSUM을 설명합니다. 소프트웨어가 “CUSUM”이라는 이름으로 서로 다른 통계량을 제공할 수 있으므로, 보고서에는 이름만 적지 말고 잔차의 종류, 스케일 조정, 경계선, 기준 분포를 밝혀야 합니다.

회귀식을 \(y_t=x_t'\beta+u_t\)라고 두겠습니다. \(x_t\)에는 모형에 절편이 있으면 절편도 포함하고, \(k\)는 계수의 개수입니다. 먼저 계수를 추정할 수 있고 열 순위가 충분한 관측 구간을 정합니다. 그 이후 각 관측값은 \(t-1\)까지의 자료로 회귀식을 적합한 다음 예측합니다.

이전 관측까지의 설명변수를 모은 행렬을 \(X_{t-1}\)이라 하면 재귀 잔차는 다음과 같습니다.

\[ w_t=\frac{y_t-x_t'\hat\beta_{t-1}}{\sqrt{1+x_t'(X_{t-1}'X_{t-1})^{-1}x_t}},\qquad t=k+1,\ldots,T. \]

분자는 한 단계 앞서 계산한 예측오차입니다. 분모는 \(x_t\)의 레버리지에 따라 달라지는 예측 불확실성을 조정합니다. 그 자체가 시장 변동성의 추정치는 아닙니다. 적절한 고정 설명변수와 독립·등분산 오차를 갖는 고전적인 안정 선형모형 아래에서는 재귀 잔차의 평균이 0이고 서로 비상관이며 오차 분산도 같습니다. 이런 성질이 누적의 근거입니다. 최소제곱으로 회귀식을 추정했다는 이유만으로 성질이 자동으로 성립하지는 않습니다.

초기 관측은 계수를 정하는 데 쓰이며, 이 재귀 과정에서 나온 표본 외 잔차와 같지 않습니다. 초기 설계행렬이 거의 특이행렬이면 이후 예측도 불안정해질 수 있습니다. 초기 표본, 설명변수, 변환 방식을 밝혀야 합니다. 각각의 선택이 잔차 경로와 검정 질문을 바꾸기 때문입니다.

선택한 구현에서 쓰는 오차 스케일을 \(\hat\sigma\)라고 하면 관측 \(r\)까지의 누적 경로는 다음처럼 쓸 수 있습니다.

\[ C_r=\frac{1}{\hat\sigma}\sum_{t=k+1}^{r}w_t. \]

안정성 귀무가설 아래에서는 양·음의 innovation이 표본 오차를 제외하면 서로 균형을 이룹니다. 그래프로 그린 경로를 해당 검정의 귀무분포에서 계산한 임계 경계와 비교합니다. 경계선을 넘으면 지정한 수준에서, 가정이 적절하다는 조건 아래 계수 일정성 가설을 기각합니다. 스케일링과 경계 구성은 구현마다 다를 수 있으므로 직접 그은 고정 띠를 해당 임계값 대신 쓰면 안 됩니다.

경로의 방향을 보면 패턴을 해석하는 데 도움이 됩니다. 양의 재귀 오차가 계속되면 실제 관측값이 이전에 적합한 값보다 반복해서 커서 합이 올라갑니다. 음의 오차가 이어지면 내려갑니다. 오차가 번갈아 나타나면 개별 잔차의 절댓값이 작지 않아도 경로는 이전 수준 주변에 남을 수 있습니다. 따라서 CUSUM은 예측오차의 크기와 순서를 함께 이용합니다.

절편 변화는 다른 조건이 비슷할 때 같은 방향의 잔차를 만들기 쉽습니다. 기울기 변화는 \(x_t\)의 위치와 부호에 따라 예측오차 방향이 달라질 수 있습니다. 설명변수가 평균을 오가면 실제 기울기 변화가 있어도 단일 누적합이 일부 상쇄될 수 있습니다. 그러므로 경로가 경계 안에 있다는 사실은 모든 회귀계수가 그대로라는 증명이 아닙니다. 재귀계수 경로, 상호작용 검정, 검정력도 함께 살펴야 합니다.

스케일 조정한 가상 재귀 잔차가 여섯 번 연속 \(+0.4\)라면 누적 변화는 \(+2.4\)입니다. 반대로 \(+0.4,-0.4,+0.4,-0.4,+0.4,-0.4\) 순서라면 마지막 합은 0입니다. 두 경우 오차 절댓값은 같지만 첫 번째에는 한쪽 방향이 이어집니다. 작동 방식을 보여주기 위한 합계이며, 임계값·p값이나 실제 자산에 대한 근거는 아닙니다.

제곱 CUSUM은 부호 대신 재귀 잔차의 제곱을 더합니다. 누적 비중을 단순화해 쓰면 다음과 같습니다.

\[ Q_r=\frac{\sum_{t=k+1}^{r}w_t^2}{\sum_{t=k+1}^{T}w_t^2}. \]

오차 분산이 일정하고 안정된 과정이라면 누적 비중은 관측 개수에 비례해 대체로 직선적으로 커집니다. 큰 제곱 잔차가 몰리는 구간에서는 경로가 가팔라지고, 조용한 기간에는 완만해질 수 있습니다. Brown, Durbin, Evans는 부호 CUSUM과 함께 이 방법을 다루고, 이후 연구에서는 일반 최소제곱 잔차를 이용하는 제곱 CUSUM 검정도 살펴봤습니다.

제곱 잔차 경로를 순수한 변동성 검정이나 계수 변화의 깔끔한 대안으로 읽으면 안 됩니다. 큰 관측값, 분산 변화, 잘못 지정한 조건부 평균, 변하는 회귀계수가 모두 영향을 줄 수 있습니다. 반대로 부호 CUSUM은 양·음 오차가 균형을 이루더라도 분산이 바뀌면 기준 분포에 맞지 않을 수 있습니다. ARCH-LM 검정은 제곱 잔차의 예측 가능성이라는 더 구체적인 질문을 다루지만, 모든 변동성 패턴을 진단하지는 않습니다.

고정 시점 Chow 검정은 사전에 지정한 날짜의 전후 회귀계수를 비교합니다. 회귀 CUSUM은 시간순 재귀 경로를 점검하며 하나의 외부 지정 날짜를 요구하지 않습니다. 경계선 통과는 한 차례의 급격한 변화가 정확히 언제 시작됐는지 알려주지 않습니다. 완만한 이동, 여러 번의 변화, 이상치가 이어지는 현상, 분산 모형의 실패는 서로 다른 경로를 만들 수 있습니다.

단절 시점이 미지수이고 단일 단절을 정식으로 검정하려면 Andrews의 supremum Wald, 우도비, 라그랑주 승수 절차처럼 후보 날짜를 검색하고 그 검색을 반영한 비표준 임계값을 쓰는 방법이 있습니다. 통계량과 임계값은 Brown–Durbin–Evans의 CUSUM 띠와 서로 바꿔 쓸 수 없습니다. 다중 단절에는 별도의 절차와 가정이 필요합니다. 지정 날짜를 비교하는 Chow 검정 안내와 미지 단절점에 관한 Andrews 논문을 함께 보세요.

분석자가 여러 진단을 실행할 때 이 차이가 중요합니다. CUSUM, 제곱 CUSUM, 후보 날짜, 설명변수, 표본 구간을 계속 바꿔 가장 인상적인 결과를 보고하면 선택 문제가 생깁니다. 사전 지정한 검정 한 번의 명목 유의수준은 이런 여러 시도 중 적어도 하나가 우연히 경보를 낼 확률을 나타내지 않습니다. 어떤 경로와 통계량을 검토할지 미리 기록하거나, 검색을 반영하는 추론 절차를 사용합니다.

과거 검정은 고정된 역사 표본을 평가합니다. 모니터링 규칙은 기준 기간 이후 새로 들어오는 관측값을 반복해서 평가합니다. 새 관측마다 일회성 경계선을 그대로 적용해도 명목 오경보율이 유지되는 것은 아닙니다. 반복 판단을 하는 연속 절차의 확률 구조는 다른 문제입니다.

Chu, Stinchcombe, White는 안정된 관계를 추정한 과거 표본을 출발점으로 삼아 실시간으로 변화를 감시하는 fluctuation·CUSUM 절차를 개발했습니다. 논문의 점근 조건에서 반복 확인을 고려한 모니터링 경계를 사용합니다. 기준 표본이 적절해야 하고, 경보 뒤 행동, 계수 갱신 시점, 모니터링 종료 시점도 정해야 합니다. 과거 회귀 CUSUM 그래프를 이 선택 없이 온라인 절차라고 부르면 안 됩니다.

거래 시스템에서 경보는 새 자료와 모형의 관계가 더 이상 안정성 가정에 잘 맞지 않을 가능성을 알립니다. 사전에 정한 위험 검토나 조사를 시작할 수 있습니다. 어떤 계수가 변했는지, 주문을 내야 하는지, 노출을 줄이면 수익이 개선되는지는 알려주지 않습니다. 반복 모니터링을 사용한다면 통계 임계값뿐 아니라 탐지 지연과 오경보 비용도 평가해야 합니다.

고전적인 재귀 잔차 유도는 올바르게 지정된 선형 관계, 일정한 오차 분산, 시계열 상관이 없는 오차 과정을 가정합니다. 금융 시계열에는 변동성 군집, 두꺼운 꼬리, 낡거나 서로 비동시적인 가격, 겹치는 수익률 구간, 시장 구조 변화가 나타날 수 있습니다. 잔차가 한쪽으로 이어지는 현상은 실제 계수 변화일 수도 있지만, 누락된 동학이나 타임스탬프 오류, 기준 분포를 바꾼 변동성 구간에서 비롯될 수도 있습니다.

최소제곱 회귀 뒤 공분산 추정량만 바꿔도 유효한 CUSUM 경계가 자동으로 생기지는 않습니다. 이분산 또는 의존 조건에 대한 강건 추론에는 해당 조건에 맞게 설계된 통계량과 기준 분포가 필요합니다. 회귀 CUSUM 그래프는 안정성 진단이며 잔차 의존성 확인, 조건부 이분산 검정, 모형 명세 검토를 대신하지 않습니다. 관련 질문은 ARCH-LM 변동성 군집 안내와 강건 표준오차 안내에서 이어가세요.

잔차를 만들기 전에 관측 간격과 시장 달력을 정합니다. 긴 휴일을 가로지르는 종가 간 수익률과 보통 거래일의 수익률은 같은 길이의 구간이 아닙니다. 기업행위, 선물 계약 롤, 통화 환산, 결측 관측도 불안정한 것처럼 보이는 예측오차를 만들 수 있습니다. 시점 \(t\)의 관측이 모형에서 무엇을 뜻하는지 밝히지 않고 결측을 채우거나 자산 가격을 기계적으로 맞추면 안 됩니다.

종속변수, 설명변수, 절편, 변환, 표본 날짜, 빈도, 초기 추정 구간, 재귀 잔차 개수를 적습니다. 잔차에 재귀 예측 분산을 반영했는지와 \(\hat\sigma\)를 어떻게 추정했는지 밝힙니다. CUSUM 또는 제곱 CUSUM의 종류, 기준 분포, 임계 수준, 경계 규칙, 결과에 영향을 주는 소프트웨어 기본값도 명시합니다.

적합 계수와 잔차 진단을 함께 보이며 경로 또는 검정 통계량을 제시합니다. 경계 통과는 검정한 모형 아래 일정성에 반하는 근거이지 경제적 원인이나 특정 사건의 인과효과 추정치가 아닙니다. 예측이나 거래가 목적이라면 시간 순서를 보존한 표본 외 구간을 쓰고, 경보를 실제로 알 수 있었던 시점, 스프레드, 시장 충격, 수수료, 대차, 금융 비용, 회전율을 공개합니다. 고정 모형을 기준으로 대응 효과도 비교합니다. 안정성 경보는 모형을 검토하게 할 수 있지만, 적응형 규칙의 거래 우위를 증명하지 않습니다.

Brown, Durbin, Evans는 1975년 논문에서 재귀 잔차 CUSUM과 제곱 CUSUM 안정성 절차를 소개했습니다. McCabe와 Harrison은 일반 최소제곱 잔차를 사용한 제곱 CUSUM 검정을 연구했습니다. 미지 단절점은 Andrews(1993), 순차 모니터링은 Chu, Stinchcombe, White(1996)를 참고할 수 있습니다. 함께 읽을 주제로 OLS 회귀, Chow 검정, 변동성 군집을 확인하세요.