ADF 검정과 Phillips–Perron 검정: 단위근 검정은 어떻게 다른가

자기회귀 수준식에서 단위근은 충격이 수준에서 사라지지 않을 수 있음을 뜻합니다. 1차 차분을 종속변수로 두고 시차 수준을 설명변수로 놓으면 이 가설을 회귀계수로 표현할 수 있습니다. 시차 수준의 계수가 0이면, 선택한 모형 아래에서 수준 과정의 근은 1입니다. 음의 계수는 정해둔 결정론적 항과 나머지 가정이 맞을 때 정상성 대립가설 쪽의 증거가 됩니다.

따라서 일반적인 ADF와 PP의 귀무가설은 “이 시계열이 정상이다”가 아닙니다. 귀무가설은 단위근이고, 대립가설은 선택한 결정론적 항 주변의 정상성입니다. 통계량이 충분히 음수가 아니어서 귀무가설을 기각하지 못했다고 해서 단위근이 증명되는 것은 아닙니다. 근이 1에 가까운 지속성 강한 정상과정과 단위근을 구분할 정보가 표본에 부족할 수도 있습니다.

이는 KPSS처럼 정상성을 귀무가설로 삼는 검정이나, 공적분을 직접 묻는 검정과 다릅니다. 정상성과 단위근 안내는 더 넓은 개념을 설명하고, Engle–Granger 안내는 비정상 계열의 선형결합이 정상일 수 있는 특수한 경우를 다룹니다.

단위근 회귀에는 결정론적 항을 넣지 않거나, 상수를 넣거나, 상수와 선형 시간 추세를 함께 넣을 수 있습니다. 이 설정은 보기 좋게 만드는 선택지가 아닙니다. 상수는 단위근 귀무가설 아래의 표류와 정상성 대립가설 아래의 0이 아닌 평균을 허용합니다. 시간 추세는 정상성 대립가설이 결정론적 추세를 중심으로 움직이도록 합니다. 어떤 항을 고르는지에 따라 검정 모형과 영가설 분포가 달라집니다.

필요하지 않은 추세항을 넣으면 추가 모수를 추정해야 하므로 검정력이 낮아질 수 있습니다. 실제 표류나 추세를 빼면 검정의 크기와 해석이 왜곡될 수 있습니다. 계열이 생성된다고 생각하는 방식과 그래프를 바탕으로 설정을 미리 정하고, 그에 맞는 임계값을 써야 합니다. 원하는 결론이 나오는 설정을 사후에 고르면 안 됩니다.

로그 가격, 스프레드, 금리, 수익률에도 같은 원칙이 적용됩니다. 가격 수준에 그럴듯한 상승 추세가 수익률에는 맞지 않을 수 있습니다. 어떤 경제적 대상을 분석하는지 검정이 대신 결정해주지는 않습니다. 결정론적 항은 숨겨도 되는 전처리 옵션이 아니라 검정 가설의 일부입니다.

Augmented Dickey–Fuller 회귀식은 다음처럼 쓸 수 있습니다.

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + Σᵢ₌₁ᵖ φᵢΔyₜ₋ᵢ + εₜ

여기서 dₜ는 선택한 결정론적 항이며 귀무가설은 H₀: γ = 0입니다. 추가된 차분 시차항의 목적은 회귀식에 남는 오차가 검정 근사를 쓸 수 있을 만큼 적절하게 거동하도록 만드는 것입니다. 이 항은 단기 동학을 회귀식 안에서 모수적으로 나타내며, 단위근에 관한 별도 제약을 뜻하지는 않습니다.

시차 차수 p는 중요한 선택입니다. 시차가 너무 적으면 εₜ에 계열상관이 남아 의도한 근사가 흔들릴 수 있습니다. 너무 많이 넣으면 자유도가 줄고 특히 표본이 짧을 때 검정력이 약해질 수 있습니다. Harris(1992)의 몬테카를로 연구는 ADF 시차 구조, 검정 크기, 검정력에 관한 운용상 선택을 다룹니다. 최대 시차를 명시한 뒤 합리적인 정보 기준과 잔차 진단을 함께 보고, 인접한 시차 선택에서 결론이 달라지는지도 공개하는 편이 실용적입니다. 선택된 시차가 작다는 이유만으로 잔차 의존성이 무해하다고 볼 수는 없습니다.

일부 동학에서는 시차 선택 자체가 어렵습니다. Ng와 Perron은 오차의 이동평균 근이 −1에 가까운 상황에서 전통적인 AIC나 BIC가 자신들이 분석한 단위근 검정 설정의 필요한 증강 시차보다 작은 값을 선택할 수 있음을 보였습니다. 이들의 수정 정보 기준은 GLS 디트렌딩을 적용한 단위근 절차와 관련 검정에서 그런 선택 문제를 다루도록 설계되었습니다. 이는 특정 동학에서의 경고이지, 한 정보 기준이나 긴 시차가 언제나 우월하다는 정리는 아닙니다.

Phillips–Perron 검정은 ADF의 시차 차분항 합이 없는 Dickey–Fuller 형태의 회귀식에서 출발합니다.

Δyₜ = dₜ′δ + γyₜ₋₁ + uₜ

그 다음 단기 분산과 장기 공분산 추정치를 사용해 검정통계를 수정합니다. 장기분산 추정치의 한 형태는 다음과 같습니다.

Ω̂ₗ = γ̂₀ + 2Σⱼ₌₁ˡ K(j/(ℓ+1))γ̂ⱼ

여기서 γ̂ⱼ는 잔차 자기공분산, K는 커널 가중치, ℓ은 대역폭 또는 절단 차수입니다. PP 통계량의 종류와 소프트웨어 관례에 따라 구체적인 정의가 달라질 수 있습니다. 핵심 차이는 유지됩니다. ADF는 차분 시차항을 회귀식에 더하고, PP는 더 간결한 회귀식에서 얻은 통계량에 비모수적 의존성 보정을 적용합니다.

PP를 단순히 “강건 표준오차를 쓴 ADF”라고 부르면 부정확합니다. PP의 보정은 단위근 검정통계량과 그 점근적 취급을 바꾸며, 일반적인 강건 회귀 출력이 보통의 t 임계값을 유효하게 만들지는 않습니다. 대역폭과 커널은 보정에 얼마나 많은 의존성을 반영할지 결정합니다. 대역폭이 지나치게 작으면 중요한 상관을 놓칠 수 있고, 지나치게 크면 잡음이 많은 장기분산 추정치가 생길 수 있습니다.

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단위근 귀무가설에서는 시차 수준이 정상 설명변수가 아니라 확률적 추세로 만들어집니다. 그 결과 DF 계열 통계량의 극한분포는 표준 분포와 다릅니다. 표본이 크더라도 관행적인 t 표가 기준분포가 아닙니다. 임계값은 회귀식에 상수가 없는지, 상수가 있는지, 상수와 추세가 있는지, 어떤 통계량과 구현을 쓰는지에 따라 달라집니다.

PP 통계량도 의존성을 반영하도록 변환되지만, 단위근 귀무가설은 여전히 알맞은 비표준 기준분포에 대해 평가합니다. 결정론적 항과 통계량에 맞는 검증된 구현의 임계값이나 p값을 사용해야 합니다. 한 사양의 ADF 통계량을 다른 사양의 PP 임계값과 비교하거나, 출력된 계수 t비를 일반적인 Student t 통계량으로 읽어 기각 여부를 판단하지 마세요.

점근적 보정이 모든 유한 표본에서 잘 작동한다는 보장은 없습니다. Schwert의 몬테카를로 연구는 단위근 절차가 모형 오지정에 민감하고, 방법별 유한 표본 거동도 달라질 수 있음을 보고합니다. p값은 표본 길이, 자료 생성 과정의 특징, 시차 또는 대역폭, 회귀식 사양을 함께 고려해 읽어야 합니다.

검정의 크기는 참인 단위근 귀무가설을 기각할 확률이고, 검정력은 정해진 정상성 대립가설 아래에서 이를 기각할 확률입니다. 실제 의존성 구조에서 크기가 맞지 않으면 한 표본에서 그럴듯해 보이는 결과가 오판으로 이어질 수 있습니다. ADF 시차 차수와 PP 장기분산 보정은 관련된 의존성 문제를 서로 다른 근사로 다룹니다. 그러므로 한쪽 결과가 다른 쪽을 자동으로 견고하게 확인해주는 것은 아닙니다.

ADF에서는 시차를 추가한 뒤에도 잔차 자기상관이 남는지, 시차를 조금 늘리면 추론이 크게 달라지는지 살펴보세요. PP에서는 커널과 대역폭 규칙을 보고하고 합리적인 대안을 시험해보세요. 이는 민감도 점검이지, 여러 사양을 검색해 가장 유리한 p값만 남겨도 된다는 허가는 아닙니다. Ng–Perron의 결과는 시차 선택이 오차 과정과 결정론적 추세 제거와 상호작용하며, 기계적인 정보 기준 하나로 모든 자료를 판정하기 어렵다는 점도 보여줍니다.

두 검정 모두 정상 대립가설이지만 매우 지속적인 과정에 대해서는 검정력이 낮을 수 있습니다. 귀무가설을 기각하지 못했다고 해서 차분이 필요하다는 적극적 증거가 생기는 것은 아닙니다. 표본이 짧거나, 근이 1에 가깝거나, 결론이 모형 선택에 중요하다면 ADF와 PP를 서로 독립적인 투표로 세지 말고 가정을 분명히 한 보완적 근거와 다른 절차를 고려하세요.

수준의 급변, 추세 변화, 정책 체제 변경, 환율 페그의 변경, 시장 구조의 전환은 계열을 매우 지속적으로 보이게 할 수 있습니다. 실제로는 변하는 결정론적 경로 주변의 정상 구간들로 더 잘 설명될 수도 있습니다. Perron은 주요 역사적 구조 변화의 가능성을 허용하면 단위근 결론이 달라질 수 있음을 분석했습니다. 표준 ADF와 PP 사양이 모든 구조 변화를 자동으로 찾아주지는 않습니다.

계열을 시각화하고 알려진 제도 변화를 기록한 뒤, 실제 질문에 구조 변화 고려 검정이나 구간별 모형이 맞는지 판단하세요. 동일 표본에서 결과를 본 뒤 변화 시점을 탐색하면 추론 자체에 영향이 생길 수 있습니다. 따라서 탐색에 맞는 임계값을 가진 절차를 쓰거나 그 결과가 탐색적이라는 점을 밝혀야 합니다. Bai–Perron 안내는 회귀식의 구조 변화 추정을 다루며, 표준 ADF나 PP에 끼워 넣는 보정은 아닙니다.

어떤 변수를 변환했는지도 중요합니다. 가격 수준, 로그 가격, 가격 스프레드, 수익률은 서로 다른 경제적 대상입니다. 단위근이 있을 법한 수준을 차분하면 더 안정적인 계열이 나올 수 있지만, 원래 정상인 수준을 차분하면 정보를 잃고 불필요하게 잡음이 커질 수 있습니다. 페어 트레이딩 연구에서는 공적분 분석을 통해 별개의 확률적 추세와 잠재적으로 정상적인 스프레드를 구분할 수 있습니다. 어느 진단도 단독으로 전략의 수익성을 입증하지는 않습니다.

다음과 같은 가상의 수준 과정이 있다고 해봅시다.

yₜ = yₜ₋₁ + μ + εₜ

상수 표류 μ가 있고 혁신 εₜ는 계열상관을 가질 수 있습니다. 양변에서 yₜ₋₁을 빼면 Δyₜ = μ + εₜ가 됩니다. 따라서 대응하는 차분 회귀식에서 시차 수준 yₜ₋₁의 계수 γ는 0이며, 이것이 단위근 귀무가설의 표현입니다. 이 대수만으로 p값을 구할 수는 없습니다. 추론의 기준분포는 여전히 비표준이며, 결정론적 항과 의존성을 처리하는 방식에 달려 있습니다.

ADF를 적합한다면 차분 시차항이 회귀식에 단기 의존성을 표현하려 합니다. PP를 적합한다면 기본 회귀식은 더 간결하고, 검정통계량이 추정 장기 공분산 보정을 받습니다. 반대로 자료에 결정론적 추세의 구조 변화가 있으면 소프트웨어가 정밀해 보이는 통계량을 출력하더라도 두 표준 구현 모두 오지정일 수 있습니다.

그러므로 비교에는 세 층이 있습니다. 실질적인 귀무가설, 회귀식 및 결정론적 사양, 잔차 의존성 보정입니다. 앞의 두 가지를 고정하면 ADF와 PP는 유용한 대안 진단이 되지만, 셋을 모두 바꾸며 어느 한쪽이 기각할 때까지 시도하는 것은 아닙니다. 결과 차이는 가정과 설정을 살펴보라는 신호이지, 한 검정이 자동으로 모형을 결정한다는 뜻이 아닙니다.

변수와 변환, 표본 기간, 관측 빈도, 결정론적 항, ADF 시차 선택 규칙과 선택된 차수, 또는 PP 통계량과 커널 및 대역폭을 기록하세요. 귀무·대립가설, 통계량, 그에 맞는 임계값 또는 p값, 잔차 자기상관이나 구조 변화 점검도 밝혀야 합니다. 합리적인 설정에 따라 결과가 민감하면 그 사실을 설명하고 선호하는 이야기를 지지하는 사양만 보여주지 마세요.

실용적인 절차는 먼저 분석 대상과 경제적 모형을 정하고, 결정론적 항을 선택하고, 적절히 설정한 ADF 또는 PP 검정을 수행한 다음, 계열 의존성과 구조 변화 가능성을 진단하고 보완적 근거와 비교하는 것입니다. 분산비 검정 안내는 확률보행 행동의 다른 함의를 검토합니다. 그 검정은 귀무가설이 같지 않으며 단위근 검정을 대체하지 않습니다.

ADF나 PP에서 p값이 특정 임계값을 넘었다고 차분하라는 지시가 내려오는 것은 아닙니다. 차분은 계열과 분석 질문에 관한 모형 선택입니다. 변화량 예측, 장기 관계 추정, 거래 스프레드 검정, 수준의 정보 유지 여부에 따라 선택은 달라집니다. 검정은 결정에 도움을 주지만, 최종 변환은 자료 생성 과정, 안정성, 예측 목적, 공적분 구조도 고려해야 합니다.

결과를 실무 의사결정에 연결할 때는 유의수준 하나만 보지 마세요. 표본에서 얻은 경제적 크기와 추정 불확실성, 그리고 변환 뒤에도 질문에 답할 수 있는지를 함께 살펴야 합니다. 예측에서 수준이 중요하다면 차분 모형과 수준 모형의 표본 밖 성능을 비교하는 절차도 검토할 수 있습니다.