DCC-GARCH: come stimare correlazioni variabili nel tempo tra attività

Una matrice di covarianza è più di un elenco di relazioni di lungo periodo. In un dato momento decisionale, un investitore può aver bisogno della varianza condizionale di ciascun rendimento e della covarianza condizionale di ogni coppia, dati i soli dati disponibili fino a quel momento. Se volatilità e movimenti congiunti cambiano nel tempo, un’unica matrice stimata sull’intero campione mescola fasi tranquille, periodi di stress e possibili cambiamenti strutturali.

DCC-GARCH è un modo per lasciare evolvere la matrice di correlazione condizionale mantenendo il modello compatto. Nel 2002 Robert Engle propose una specificazione di correlazione condizionale dinamica che combina modelli di volatilità univariati con una ricorsione di correlazione basata su pochi parametri (Engle, 2002). L’approccio affronta un problema pratico di scala: un modello di covarianza completamente libero richiederebbe sempre più parametri all’aumentare del numero di attività.

Il metodo è utile quando si vuole capire come cambia la dipendenza condizionale dopo aver considerato la volatilità variabile di ciascuna serie. Non stabilisce perché le attività si muovono insieme. Per una prima introduzione alla varianza variabile nel tempo di una singola serie, consulta la guida a clustering della volatilità e GARCH. Per le correlazioni tra coppie valutarie e i limiti dell’interpretarle come esposizione condivisa, consulta la guida alla correlazione tra coppie forex.

Sia \(r_t\) il vettore dei rendimenti di \(N\) attività e sia \(\mu_t\) la media condizionale. L’innovazione è \(\epsilon_t=r_t-\mu_t\). DCC scompone la matrice di covarianza condizionale nel modo seguente:

\[ H_t=\operatorname{Var}(\epsilon_t\mid\mathcal{F}_{t-1})=D_tR_tD_t, \]

dove \(\mathcal{F}_{t-1}\) è l’informazione disponibile prima di osservare il tempo \(t\), \(D_t=\operatorname{diag}(\sigma_{1,t},\ldots,\sigma_{N,t})\) contiene le deviazioni standard condizionali e \(R_t\) è una matrice di correlazione condizionale.

La varianza \(\sigma_{i,t}^2\) può essere modellata con un’equazione univariata della famiglia GARCH, ad esempio:

\[ \sigma_{i,t}^{2}=\omega_i+\alpha_i\epsilon_{i,t-1}^{2}+\beta_i\sigma_{i,t-1}^{2}. \]

Il modello marginale risponde a una domanda precisa: come cambia la scala dell’innovazione dell’attività \(i\) in funzione della sua storia. Non dice che cambi anche la correlazione con l’attività \(j\). Viceversa, una variazione di \(R_t\) non implica di per sé che la volatilità di una delle due attività stia aumentando.

La covarianza combina i due effetti:

\[ H_{ij,t}=\sigma_{i,t}\sigma_{j,t}\rho_{ij,t}. \]

La covarianza può aumentare perché cresce la volatilità marginale di una o di entrambe le attività, anche se \(\rho_{ij,t}\) resta invariata. DCC tenta di stimare separatamente la variazione nel tempo della correlazione condizionale che rimane dopo aver considerato la volatilità marginale. Questa è la differenza fondamentale rispetto a stimare modelli GARCH indipendenti e poi trattare come costante la covarianza dei rendimenti grezzi.

Dopo aver stimato la media condizionale e le varianze marginali, si formano le innovazioni standardizzate:

\[ z_t=D_t^{-1}\epsilon_t. \]

Se i modelli marginali sono adeguati, ciascuna componente di \(z_t\) dovrebbe avere varianza condizionale approssimativamente unitaria. Le componenti possono comunque essere dipendenti nello stesso momento: il loro andamento congiunto è l’informazione usata per aggiornare le correlazioni. La standardizzazione evita che un grande movimento grezzo in un’attività normalmente molto volatile sia automaticamente considerato una prova di dipendenza più forte rispetto a un movimento standardizzato comparabile in un’altra attività.

Nella pratica, i residui standardizzati sono quantità stimate, non verità osservate direttamente. Un modello della media inadeguato può lasciare una struttura prevedibile in \(\epsilon_t\); un modello della volatilità inadeguato può lasciare cambiamenti di scala in \(z_t\). La fase di correlazione può assorbire entrambi i problemi e distorcere \(R_t\). Anche code pesanti, valori anomali, date mancanti, orari di negoziazione non coincidenti, operazioni societarie e prezzi obsoleti influenzano i residui forniti alla ricorsione.

Engle e Sheppard descrivono un approccio in due fasi: stimare i modelli GARCH univariati e poi stimare i parametri di correlazione dai residui standardizzati (Engle e Sheppard, 2001). Separare le stime marginali rende DCC pratico, ma il risultato della seconda fase va interpretato alla luce delle specificazioni della prima fase e dell’allineamento delle serie in ingresso.

La ricorsione DCC standard aggiorna innanzitutto una matrice ausiliaria positiva definita \(Q_t\):

\[ Q_t=(1-a-b)\bar{Q}+a z_{t-1}z_{t-1}^{\top}+bQ_{t-1}. \]

Qui \(\bar Q\) è una matrice di lungo periodo delle innovazioni standardizzate, \(a\) controlla quanto i movimenti congiunti recenti incidono sull’aggiornamento e \(b\) controlla la persistenza rispetto al precedente \(Q\). Nella comune specificazione scalare DCC, se \(a,b\ge0\), \(a+b<1\) e \(\bar Q\) e \(Q_0\) sono definite positive, la ricorsione ordinaria genera matrici definite positive. La stazionarietà stretta e la validità dell’inferenza dipendono comunque dal modello complessivo e dalle sue ipotesi. Questi vincoli appartengono alla specificazione scelta e non sono una garanzia universale per ogni variante.

In generale, gli elementi diagonali di \(Q_t\) non sono uguali a uno, quindi \(Q_t\) non è una matrice di correlazione. Definendo \(S_t=\operatorname{diag}(Q_t)\), si normalizza così:

\[ R_t=S_t^{-1/2}Q_tS_t^{-1/2}. \]

Il risultato ha diagonale unitaria ed elementi fuori diagonale pari a correlazioni condizionali senza scala. La covarianza condizionale è quindi \(H_t=D_tR_tD_t\). Tenere distinti \(Q_t\), \(R_t\) e \(H_t\) evita un errore comune: la ricorsione aggiorna una matrice ausiliaria di dipendenza, la normalizzazione produce le correlazioni e le deviazioni standard marginali le riportano alla scala dei rendimenti. Questo ruolo della normalizzazione è centrale nel metodo di Engle (2002).

<!-- learn:illustration --> <!-- Illustrazione concettuale senza testo: flussi di rendimento con ampiezze di volatilità diverse confluiscono in una fascia comune di dipendenza che cambia gradualmente; non sono dati di mercato né una previsione. -->

In una comune implementazione a due fasi, si stima prima una media condizionale e una varianza della famiglia GARCH univariata per ciascuna attività. Si usano poi i modelli stimati per calcolare \(z_t\) e si stimano i parametri DCC dalla parte di correlazione di una verosimiglianza o quasi-verosimiglianza. La prima fase può usare una verosimiglianza gaussiana anche se i rendimenti non sono gaussiani; in condizioni di regolarità ciò può fungere da quasi-massima verosimiglianza, ma errori standard e inferenza devono riflettere lo stimatore e le ipotesi effettive.

La separazione è efficiente rispetto al calcolo di un sistema GARCH multivariato senza restrizioni, ma crea dipendenze tra le fasi: l’incertezza dei parametri marginali influenza i residui standardizzati e, quindi, la stima di seconda fase. I valori stimati di \(a\) e \(b\) non misurano direttamente costanti immutabili del mercato. Dipendono dal campione, dai modelli marginali, dall’inizializzazione, dalle ipotesi distributive e dalla stabilità della dinamica delle correlazioni.

L’input di lungo periodo \(\bar Q\) spesso si basa sulla covarianza campionaria dei residui standardizzati, ma definizioni e correzioni esatte variano. Un’implementazione dovrebbe dichiarare come stima \(\bar Q\), inizializza \(Q_0\), tratta le osservazioni mancanti, impone i vincoli e calcola la verosimiglianza. L’ottimizzazione vicino a \(a+b=1\), una \(\bar Q\) quasi singolare o un universo di attività eccessivamente ampio possono creare instabilità. Conviene riportare diagnostiche di convergenza e analisi di sensibilità rispetto a finestre e specificazioni marginali ragionevoli.

Per transazioni con orari irregolari, gli input sincronizzati del DCC standard possono essere inappropriati senza un disegno di campionamento deliberato. Può servire uno stimatore diverso per gestire osservazioni asincrone; consulta la guida alla covarianza di Hayashi–Yoshida. Anche la shrinkage di un target di covarianza rumoroso, come illustrato nella guida alla shrinkage di Ledoit–Wolf, è un passaggio distinto e non va confusa con la ricorsione dinamica delle correlazioni DCC.

Consideriamo due innovazioni standardizzate e un aggiornamento DCC inventato. Poniamo \(a=0.05\), \(b=0.90\), \(\bar q_{12}=0.10\), \(q_{12,t-1}=0.30\) e \(z_{1,t-1}=1.5,\ z_{2,t-1}=1.0\). Questi input sono inventati solo per mostrare l’aritmetica e non sono stime basate su dati di mercato. L’aggiornamento dell’elemento incrociato è

\[ q_{12,t}=(1-0.05-0.90)(0.10)+0.05(1.5)(1.0)+0.90(0.30)=0.350. \]

Per illustrare la normalizzazione, supponiamo che i valori diagonali inventati siano \(\bar q_{11}=\bar q_{22}=1\) e \(q_{11,t-1}=q_{22,t-1}=1\). La stessa ricorsione produce

\[ q_{11,t}=0.05(1)+0.05(1.5^2)+0.90(1)=1.0625,\qquad q_{22,t}=0.05(1)+0.05(1.0^2)+0.90(1)=1. \]

La correlazione normalizzata è quindi

\[ \rho_{12,t}=\frac{0.350}{\sqrt{1.0625\cdot1}}\approx0.340. \]

L’elemento ausiliario fuori diagonale è passato da 0.30 a 0.35, mentre la correlazione riportata è circa 0.34 perché è cambiata anche la diagonale di \(Q_t\). Presentare \(q_{12,t}=0.35\) come correlazione significherebbe saltare la normalizzazione. Il calcolo illustra un solo passaggio ricorsivo: non dice nulla sulla significatività statistica, sulla persistenza futura, sui pesi ottimali di portafoglio o sul valore di una strategia.

Il DCC standard è parsimonioso perché spesso applica gli stessi parametri scalari di risposta e persistenza a tutte le coppie. Questa restrizione può essere utile con molte attività, ma risultare troppo forte se coppie diverse si adeguano a velocità diverse. Inoltre, il nome DCC può indicare parametrizzazioni, vincoli, metodi di stima o convenzioni d’inizializzazione differenti; occorre specificare quale si usa.

Il lavoro di Aielli sul DCC corretto mostra che l’estimatore convenzionale e l’interpretazione dei suoi parametri di correlazione possono presentare problemi quando la dimensione trasversale cresce; propone quindi cDCC con una ricorsione modificata (Aielli, 2013). cDCC non è semplicemente un altro nome per il DCC standard. La distinzione è particolarmente importante quando il sistema viene esteso a molte attività o i coefficienti vengono interpretati strutturalmente.

Le specificazioni asymmetric generalized DCC affrontano un altro limite: le innovazioni standardizzate positive e negative possono influire in modo diverso sulle correlazioni future. Il modello AG-DCC di Cappiello, Engle e Sheppard consente parametri di impatto delle notizie e di smoothing specifici per serie, oltre a asimmetrie condizionali nelle correlazioni (Cappiello, Engle e Sheppard, 2006). AG-DCC aggiunge flessibilità rispetto alla ricorsione scalare comune, ma cambiano anche numero di parametri, vincoli e interpretazione. Non va sostituito al DCC standard senza dichiararlo, né considerato migliore senza una valutazione.

Un \(R_t\) stimato descrive correlazioni condizionali implicite nel modello, date la frequenza dei dati, la finestra campionaria, la specificazione della media, i modelli marginali di volatilità e la variante DCC scelta. Non identifica un contagio causale. Una correlazione che aumenta durante una fase di ribasso può dipendere da notizie comuni, cambiamenti nella composizione, liquidità, specificazione inadeguata della volatilità o altri meccanismi; la sola stima non consente di distinguerli.

Per misurare il rischio, confronta la previsione di covarianza dinamica con riferimenti sensati, come una covarianza campionaria mobile o un modello a correlazione costante. A ogni origine di previsione usa solo informazioni allora disponibili, mantieni uguali universo di attività e orizzonte, e riporta la funzione di perdita. Se è previsto un impiego in portafoglio, monitora le variazioni di pesi, concentrazione, turnover, finanziamento e costi di transazione. Una correlazione stimata più alta può ridurre la diversificazione in uno specifico modello di rischio, ma non prevede che i prezzi di entrambe le attività scenderanno.

Verifica che le correlazioni stimate restino nei limiti validi, che il corrispondente \(R_t\) rimanga positivo definito e che i residui standardizzati marginali non conservino autocorrelazione o varianza variabile. Esamina la sensibilità alla selezione delle attività, all’inizializzazione, ai valori anomali, alla finestra e alla variante del modello. Una persistenza prossima al limite può rallentare la risposta a una rottura; una ricorsione regolare può anche rimanere indietro dopo un cambiamento improvviso del regime. Se confronti molte coppie o varianti, dichiara i criteri di selezione e mantieni confronti fuori campione per evitare di scegliere solo risultati favorevoli.

DCC-GARCH si comprende meglio come un modello compatto di covarianza condizionale: le equazioni marginali stimano scale variabili, una ricorsione di dipendenza segue i movimenti congiunti delle innovazioni standardizzate e la normalizzazione trasforma la matrice ausiliaria in correlazioni. La matrice stimata può contribuire all’analisi del rischio quando le ipotesi sono esplicite e le previsioni vengono valutate. Da sola non dimostra l’efficacia stabile di una copertura, non spiega la causa di uno shock e non prova che una strategia genererà rendimenti.