Metode COS untuk Penetapan Harga Opsi Dijelaskan
Pelajari bagaimana metode COS menggabungkan densitas yang dipotong, koefisien Fourier-kosinus, koefisien payoff, dan kendali konvergensi untuk menetapkan harga opsi
Jawaban langsung
Metode COS memotong distribusi log harga ke interval hingga, mengembangkan densitasnya dalam deret kosinus, dan memperoleh koefisien dari fungsi karakteristik. Koefisien payoff kemudian mengubah ekspansi tersebut menjadi harga opsi
COS adalah metode penetapan harga berbasis deret Fourier
Misalkan state log terminal X memiliki fungsi karakteristik yang diketahui dan opsi membayar v(X) pada jatuh tempo
Setelah didiskontokan di bawah ukuran penetapan harga yang sesuai, nilai yang diinginkan adalah integral v(x) terhadap densitas bersyarat X
COS mengaproksimasi integral itu dengan deret kosinus hingga, bukan dengan mensimulasikan lintasan atau menyelesaikan grid harga secara mundur terhadap waktu
Rentang state tak hingga dipotong terlebih dahulu
Karena log harga biasanya hidup di garis riil, metode ini memilih interval hingga [a,b] yang memuat sebagian besar massa probabilitas yang relevan secara ekonomi
Probabilitas di luar [a,b] menciptakan galat pemotongan domain sebelum suku kosinus mana pun dihilangkan
Interval yang terlalu sempit melewatkan ekor; interval yang terlalu lebar memerlukan lebih banyak suku untuk menyelesaikan fitur lokal yang sama
Fungsi karakteristik menyediakan koefisien densitas
Pada [a,b], densitas dikembangkan dalam cos(kπ(x−a)/(b−a)) untuk bilangan bulat k nonnegatif
Koefisien kosinusnya diaproksimasi dari Re{φ(kπ/(b−a))e^{-ikπa/(b−a)}}, sehingga tidak perlu memulihkan densitas penuh secara eksplisit
Suku frekuensi nol memperoleh bobot setengah dalam jumlah beraksen prima yang umum, sebuah konvensi kecil yang berdampak nyata pada level harga
Koefisien payoff melengkapi rumus harga
Setiap koefisien densitas dikalikan dengan integral v(x) terhadap basis kosinus yang bersesuaian pada [a,b]
Untuk call dan put Eropa, koefisien payoff ini memiliki bentuk analitis; payoff lain mungkin memerlukan integrasi numerik yang stabil
Setelah koefisien model dan koefisien payoff dipisahkan, banyak strike atau kontrak dapat menggunakan kembali sebagian besar pekerjaan transformasi yang sama
Konvergensi cepat bersifat kondisional
Densitas mulus dengan koefisien kosinus yang cepat meluruh dapat menghasilkan konvergensi yang sangat cepat, sering kali eksponensial, ketika jumlah suku N meningkat
Jatuh tempo pendek, densitas tajam, atom, ekor berat, atau payoff diskontinu dapat memperlambat konvergensi dan menghasilkan ringing di sekitar titik yang tidak mulus
Karena itu, reputasi kecepatan metode ini bergantung pada regularitas, bukan jaminan akurasi tetap untuk setiap model dan payoff
Pemilihan interval adalah bagian dari anggaran galat
Heuristik umum menggunakan kumulan, seperti c₁±L√(c₂+√c₄), ketika kumulan itu ada dan konvensinya berlaku
Skala L tidak universal, dan kumulan orde tinggi yang tidak andal atau tidak ada dapat membuat aturan interval yang familiar menjadi menyesatkan
Batas probabilitas ekor, interval referensi yang lebih lebar, dan stabilitas pada pilihan [a,b] memberikan bukti lebih kuat daripada satu pengaturan heuristik
Verifikasi memisahkan galat rentang dari galat deret
Perbesar [a,b] sambil mempertahankan N yang cukup besar untuk mendiagnosis pemotongan domain, lalu naikkan N pada interval stabil untuk menguji konvergensi deret
Periksa fungsi karakteristik di nol, konvensi bobot setengah, diskonto, koefisien payoff, paritas, batas, monotonisitas, dan konveksitas
Bandingkan harga terpilih dengan kuadratur Fourier langsung atau metode independen lain sebelum menggunakan COS di dalam loop kalibrasi
Pertanyaan umum
Apa itu metode COS?
Ini adalah metode penetapan harga opsi yang mengaproksimasi densitas terminal dengan deret Fourier-kosinus, dengan koefisien yang berasal dari fungsi karakteristik
Apakah COS sama dengan penetapan harga FFT?
Tidak. Keduanya menggunakan transformasi, tetapi COS mengevaluasi ekspansi kosinus pada interval state yang dipilih, bukan memerlukan grid strike FFT yang saling terkait
Bagaimana interval [a,b] dipilih?
Heuristik kumulan umum digunakan, tetapi interval harus divalidasi dengan informasi ekor dan stabilitas harga karena tidak ada satu lebar yang universal
Mengapa penetapan harga COS dapat tidak akurat?
Interval sempit, suku terlalu sedikit, regularitas densitas yang lemah, payoff diskontinu, kesalahan koefisien, atau input transformasi yang tidak valid semuanya dapat menimbulkan galat